新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题14 导数压轴小题十四大题型汇总（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc145423898" 题型1恒成立问题之直接求导型 PAGEREF _Tc145423898 \h 1
\l "_Tc145423899" 题型2恒成立问题之分离参数型 PAGEREF _Tc145423899 \h 2
\l "_Tc145423900" 题型3恒成立问题之隐零点型 PAGEREF _Tc145423900 \h 4
\l "_Tc145423901" 题型4恒成立问题之洛必达法则 PAGEREF _Tc145423901 \h 5
\l "_Tc145423902" 题型5恒成立问题之两个函数问题 PAGEREF _Tc145423902 \h 6
\l "_Tc145423903" ◆类型1同变量型 PAGEREF _Tc145423903 \h 6
\l "_Tc145423904" ◆类型2不同变量型 PAGEREF _Tc145423904 \h 7
\l "_Tc145423905" ◆类型3函数相等型 PAGEREF _Tc145423905 \h 7
\l "_Tc145423906" 题型6恒成立问题之构造函数 PAGEREF _Tc145423906 \h 9
\l "_Tc145423907" 题型7零点问题 PAGEREF _Tc145423907 \h 10
\l "_Tc145423908" 题型8同构问题 PAGEREF _Tc145423908 \h 11
\l "_Tc145423909" 题型9整数解问题 PAGEREF _Tc145423909 \h 12
\l "_Tc145423910" 题型10函数凹凸性问题 PAGEREF _Tc145423910 \h 13
\l "_Tc145423911" 题型11倍函数问题 PAGEREF _Tc145423911 \h 14
\l "_Tc145423912" 题型12二次型函数问题 PAGEREF _Tc145423912 \h 16
\l "_Tc145423913" 题型13嵌套函数问题 PAGEREF _Tc145423913 \h 17
\l "_Tc145423914" 题型14切线放缩法 PAGEREF _Tc145423914 \h 18
题型1恒成立问题之直接求导型
【例题1】（2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】1. （2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）对正实数a有在定义域内恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】2. （2022秋·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习）若不等式对恒成立，其中，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】3. （2023春·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）一般地，对于函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为．若关于的不等式对于任意恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【变式1-1】4. （2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知函数，若对任意的恒成立，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】5.（2022春·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知函数，若存在，对于任意，都有，则实数a的取值范围是 .
题型2恒成立问题之分离参数型
【例题2】（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．B．0C．1D．3
【变式2-1】1. （2022秋·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）已知不等式对恒成立，则取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】2. （2023·全国·高三专题练习）已知f(x)，g(x)分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在(0，ln 2)上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】3. （2022秋·山西运城·高三校考阶段练习）已知，是函数的两个极值点，且，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-1】4. （2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
题型3恒成立问题之隐零点型
【例题3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数，，若恒成立，则实数m的取值范围为 ．
【变式3-1】1. （2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）若关于的不等式对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】2. （2023·全国·高三专题练习）已知函数，对任意，都有恒成立，则实数的取值范围是 .
【变式3-1】3. （2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）若关于x的不等式对任意的恒成立，则整数k的最大值为 .
【变式3-1】4. （2022·安徽·巢湖市第一中学校联考模拟预测）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
题型4恒成立问题之洛必达法则
【例题4】(多选)已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是周期为的奇函数B．在上为增函数
C．在内有21个极值点D．在上恒成立的充要条件是
【变式4-1】1. （2020春·黑龙江哈尔滨·高三黑龙江实验中学校考开学考试）已知函数 (a∈R),若在x∈(0,1］ 时恒成立,则实数a的取值范围是
A．［,+ ∞）B．[,+∞)C．[2,+∞)D．[1,+∞)
【变式4-1】2. （2020·江西九江·统考三模）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】3. （2020春·河北唐山·期中）若对恒成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【变式4-1】4.(多选) （2023春·河南许昌·）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是周期为的奇函数B．在上为增函数
C．在内有21个极值点D．在上恒成立的充要条件是
题型5恒成立问题之两个函数问题
◆类型1同变量型
【例题5-1】（2023秋·广东阳江·高三统考开学考试）已知函数，，，恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】1. （2022秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知函数若不等式对一切恒成立，则正整数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】2. （2023·江苏·统考模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．－1C．D．－2
【变式5-1】3. （2022·全国·高三专题练习）已知函数，，若对恒成立，求实数的取值范围.
【变式5-1】4. （2020·全国·高三专题练习）设三次函数，（a,b,c为实数且）的导数为，记，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为
◆类型2不同变量型
【例题5-2】（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）设函数，，其中．若对任意的正实数，，不等式恒成立，则a的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．e
【例题5-2】1. （多选）（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知，.若存在，，使得成立，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．不存在，使得成立D．恒成立，则
【变式5-2】2. （2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学阶段练习）已知函数，(是自然对数的底数)，对任意的，存在，有，则的取值范围为 .
【变式5-2】3. （2022秋·四川·高三棠湖中学阶段练习）函数，，当时，对任意、，都有成立，则的取值范围是 ．
【变式5-2】4.（2021秋·湖北襄阳·高三开学考试）已知函数，， .
◆类型3函数相等型
【例题5-3】（2021秋·江西·高三阶段练习）已知函数， ，若对任意的，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】1. （2022·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知函数，，若对任意，总存在，使，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-3】2. （2023·新疆乌鲁木齐·乌市一中校考三模）已知函数，若存在，使得，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-3】3. （2021·河南·统考一模）定义：.设函数，，若，，使得，，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【变式5-3】4. （2021春·江苏南通·高三统考阶段练习）已知函数，，若对，，使成立，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
题型6恒成立问题之构造函数
【例题6】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则下列关系式恒成立的为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】1. （2023·全国·模拟预测）已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-1】2. （2022秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】3. （2022秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知函数，对任意的实数，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】4. （2022秋·湖南长沙·高三长沙市明德中学校考开学考试）已知，，其中，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型7零点问题
【例题7】（2022秋·江西抚州·高三临川一中校考期中）若函数在区间上有零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】1. （2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-1】2. （2021秋·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知函数有且只有一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】3. （2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设，，已知函数，有且只有一个零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】4. （2023·四川广元·校考模拟预测）若函数在上存在两个零点，则a的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
题型8同构问题
【例题8】（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】1. （2021秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】2. （2023秋·广东中山·高三校考阶段练习）对任意，恒成立，则实数的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】3. （2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已如函数，若任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】4. （2022秋·福建莆田·高三莆田二中校考阶段练习）对任意 ，若不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】5.（2023春·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为．若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”．已知在区间上为“凹函数”，则实数a的取值范围为 ．
题型9整数解问题
【例题9】（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-1】1. （2023·重庆巴南·统考一模）已知偶函数满足，，且当时，.若关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-1】2. （2023·全国·高三专题练习）函数，若不等式最多只有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-1】3. （2023春·湖北武汉·高三武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习）已知函数，，若关于x的不等式在区间内有且只有两个整数解，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式9-1】4. （2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）已知，若有且只有两个整数解使成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式9-1】5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型10函数凹凸性问题
【例题10】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知函数，满足f（x）＜0恒成立的最大整数m的值为 ．
【变式10-1】1. （2021春·湖北鄂州·高二统考期末）已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．11
【变式10-1】2. （2023秋·江苏南京·高三南京市中华中学校考阶段练习）已知实数，满足，则的值为
A．B．C．D．
【变式10-1】3. （2022秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型11倍函数问题
【例题11】（2023春·北京海淀·高二校考阶段练习）若存在且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”．设，，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式11-1】1. （2020秋·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）对于函数y=f(x)，若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb](k>0)，则称y=f(x)为k倍值函数.若f(x)=ex+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．(e+，+∞)B．(e+，+∞)
C．(e+2，+∞)D．(e+3，+∞)
【变式11-1】2. （2022·全国·高三专题练习）如果存在，且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”．设，，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为 ．
【变式11-1】3. （2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有 ．
①； ②；
③； ④．
【变式11-1】4. (2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n层（，），设第1层的“环境满意度”为1，且第k层（，）比第层的“环境满意度”多出；又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1，且第k层（，）比第层的“高层恐惧度”高出倍.在上述条件下，若第k层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为，，记小王对第k层“购买满意度”为，且，则小王最想买第 ( ) 层住宅.
（参考公式及数据：，，，）
【变式11-1】5.（2022·全国·高三专题练习）若存在实数，对任意成立，则称是在区间上的“倍函数”.已知函数和，若是在上的倍函数，则的取值范围是 .
题型12二次型函数问题
【例题12】（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围为 ．
【变式12-1】1. （2023·全国·校联考二模）已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是 .
【变式12-1】2. （2023·全国·高三专题练习）函数，若关于的方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围为 .
【变式12-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 ．
【变式12-1】4. （2023秋·广东东莞·高三校考期末）已知函数,若关于x的方程有8个不同的实数解，则整数m的值为 .（其中e是自然对数的底数）
【变式12-1】5. （2022秋·山西运城·高三统考期中）已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围是 .
题型13嵌套函数问题
【例题13】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若曲线上存在点使得，则a的取值范围是 ．
【变式13-1】1. （2020春·浙江·高二校联考期末）已知函数，，记函数g(x)和h(x)的零点个数分别是M ，N，则（ ）
A．若M=1，则N≤2B．若M=2，则N≥2
C．若M=3，则N=4D．若N=3，则M=2
【变式13-1】2. （2023·天津·二模）已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式13-1】3. （2023·浙江·二模）已知函数，则至多有 个实数解.
【变式13-1】4. （2023·江苏·校联考模拟预测）已知函数，若有六个零点，则实数的取值范围是 ．
【变式13-1】5. （2023·四川·校联考模拟预测）已知函数，若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，且，则的取值范围是 ．
题型14切线放缩法
【例题14】（2022高三专题练习）已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为 ．
【变式14-1】1. （2022·湖南·校联考模拟预测）若关于x的不等式恒成立，则的最大值是 .
【变式14-1】2. （2018秋·江苏南京·高三统考期中）存在使对任意的恒成立，则的最小值为 .
【变式14-1】3. （2020春·湖北荆门·高三荆门市龙泉中学校考阶段练习）若关于的不等式恒成立，则的最小值是 .
1. （2023·全国·模拟预测）已知当时，关于的不等式恒成立，则实数的值不可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2. （2023·江西·校联考二模）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3. （2022·山东·校联考模拟预测）已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4. （2023·山东·山东省实验中学校考二模）已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值是 ．
5. （2022·江西·校联考模拟预测）若不等式对任意恒成立，则实数的值为 ．
6. （2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知，不等式对恒成立，则实数的最小值为 .
7. （2023·河南·校联考模拟预测）若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
8. （2023·青海西宁·统考二模）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
9. （2023·福建泉州·统考模拟预测）方程满足的正整数解的组数为（ ）
A．0B．1C．2D．无数组
10. （2021·天津蓟州·天津市蓟州区第一中学校考模拟预测）偶函数满足，当时，，不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11. （2020·河北衡水·校考一模）设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．，B．，C．，D．，
无论大题小题，分类讨论求参是导数基础，也是复习训练重点之一：
1.移项含参讨论是所有导数讨论题的基础，也是学生日常训练的重点.
2.讨论点的寻找是关键.
3.一些题型，可以适当的借助端点值来"压缩"参数的讨论范围
分离参数是属于“暴力计算”型方法，分离参数：将参数提取到单独的一側，然后通过求解函数的最值来求解参数的取值范围.
1. 分离参数思维简单，不需过多思考；
2. 参变分离原则是容易分离且构造的新函数不能太过复杂
3. 缺点是，首先得能分参，其次求导计算可能十分麻烦，甚至需要二阶，三阶..等等求导.
解题框架（主要的）：
（1）导函数（主要是一阶导函数）等零这一步，有根但不可解.但得到参数和的等量代换关系.备用
（2）知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根
（3）利用与参数互化得关系式，先消掉参数，得出不等式，求得范围.
（4）再代入参数和互化式中求得参数范围.
如果最值恰好在“断点处”，则可以通过洛必达法则求出“最值”.
此类函数，多采用两函数“取最值法”.一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．
-些复杂结构，需要先构造合理的函数形式再求导研究，以达到"化繁为简"的目的
1.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
2.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理，可以通过构造函数的方法、把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
3.利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
同构法的三种基本模式：
①乘积型，如可以同构成，进而构造函数；
②比商型，如可以同构成，进而构造函数；
③和差型，如，同构后可以构造函数或.
1.通过函数讨论法，参变分离，数形结合等来切入
2.讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题
凹凸函数常见的图形

1.保值函数，包括“倍增函数”，“倍缩函数”，“K倍函数”，等等新定义
2.应用函数思想和方程思想.
换元为主要切入点.注意借助于双坐标系来转换
换元为主要切入点.注意借助于双坐标系来转换