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重难点专题24 向量压轴小题十大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）
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这是一份重难点专题24 向量压轴小题十大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用），文件包含重难点专题24向量压轴小题十大题型汇总原卷版docx、重难点专题24向量压轴小题十大题型汇总解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共138页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题24向量压轴小题十大题型汇总
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc146230376" 题型1平面向量的线性运算 PAGEREF _Tc146230376 \h 1
\l "_Tc146230377" ◆类型1基底法 PAGEREF _Tc146230377 \h 1
\l "_Tc146230378" ◆类型2三点共线方程组法 PAGEREF _Tc146230378 \h 3
\l "_Tc146230379" ◆类型3坐标法 PAGEREF _Tc146230379 \h 3
\l "_Tc146230380" ◆类型4等和线法法 PAGEREF _Tc146230380 \h 5
\l "_Tc146230381" 题型2向量数量积最值取值范围问题 PAGEREF _Tc146230381 \h 6
\l "_Tc146230382" ◆类型1定义法 PAGEREF _Tc146230382 \h 6
\l "_Tc146230383" ◆类型2基底法（线性表示） PAGEREF _Tc146230383 \h 8
\l "_Tc146230384" ◆类型3坐标法 PAGEREF _Tc146230384 \h 9
\l "_Tc146230385" ◆类型4极化恒等式法 PAGEREF _Tc146230385 \h 10
\l "_Tc146230386" ◆类型5几何意义法 PAGEREF _Tc146230386 \h 11
\l "_Tc146230387" 题型3向量模长最值取值范围问题 PAGEREF _Tc146230387 \h 11
\l "_Tc146230388" ◆类型1坐标法 PAGEREF _Tc146230388 \h 11
\l "_Tc146230389" ◆类型2几何意义法 PAGEREF _Tc146230389 \h 12
\l "_Tc146230390" ◆类型3三角换元法 PAGEREF _Tc146230390 \h 13
\l "_Tc146230391" ◆类型4三角不等式法 PAGEREF _Tc146230391 \h 13
\l "_Tc146230392" 题型4向量共线的应用 PAGEREF _Tc146230392 \h 14
\l "_Tc146230393" 题型5向量夹角 PAGEREF _Tc146230393 \h 16
\l "_Tc146230394" 题型6向量平行与垂直的应用 PAGEREF _Tc146230394 \h 17
\l "_Tc146230395" 题型7投影向量 PAGEREF _Tc146230395 \h 17
\l "_Tc146230396" 题型8解析几何与向量 PAGEREF _Tc146230396 \h 18
\l "_Tc146230397" 题型9奔驰定理与面积比 PAGEREF _Tc146230397 \h 20
\l "_Tc146230398" 题型10向量四心 PAGEREF _Tc146230398 \h 21
题型1平面向量的线性运算
◆类型1基底法
【例题1-1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，点E为边CD中点，点F为边BC上靠近点B的三等分点，连接AF，BE交于点M，连接AC，点N为AC上靠近点C的三等分点，记AB=a，AD=b，则下列说法正确的是（ ）
A．点M，N，E三点共线
B．若AM=λa+μb，则λ+μ=97
C．BN=73BM
D．S△ABM=17S，S为平行四边形ABCD的面积
【变式1-1】1. （2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若AF=xAE+yDC，且x>m>0，y>0，则myx−m的最大值为（ ）
A．8243B．4243C．381D．481
【变式1-1】2. （2022秋·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考期末）已知O是ΔABC内一点，且OA+OB+OC=0，点M在ΔOBC内（不含边界），若AM=λAB+μAC，则λ+2μ的取值范围是
A．1,52B．1,2C．23,1D．12,1
【变式1-1】3.（2020春·湖北襄阳·高三襄阳四中校考阶段练习）在ΔABC中，AC=2,AB=2,∠BAC=120∘,AE=λAB,AF=μAC，M为线段EF的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为（ ）
A．73B．273C．2D．213
◆类型2三点共线方程组法
【例题1-2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，AD=DB,E是线段BC上的点，且满足BE=2EC，线段CD与线段AE交于点F，则下列结论正确的是（ ）
A．AE=13AB+23ACB．3DF=2CF
C．AF=14AB+12ACD．4AF=3AE
◆类型3坐标法
【例题1-3】（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，延长边CD至点E，使得DE=CD.动点P从点A出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A点，若AP=λAB+μAE，则（ ）
A．满足λ+μ=1的点P有且只有一个
B．满足λ+μ=2的点P有两个
C．λ+μ存在最小值
D．λ+μ不存在最大值
【变式1-3】1.（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知AB=BC=CD=1,AB⊥BC,AC⊥CD,AC与BD交于点O，若DO=λAB+μAC，则λ+μ=（ ）
A．2−1B．1−2C．2+1D．−2−1
【变式1-3】2. （多选）（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中∠COD=2π3，OC=4OA=4，动点P在CD上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧AB于点Q，且OQ=xOC+yOD，则下列说法正确的是（ ）
A．若y=x，则x+y=1B．若y=2x，则OA⋅OP=0
C．AB⋅OP≥−2D．PA⋅PB≥232
【变式1-3】3. （多选）（2023·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB 为直径的半圆上任意点，AP=λAB+μAE，则（ ）
A．μ最大值为1B．AP·AB最大值是8
C．λ最大值为5+14D．AP⋅ AC最大值是8+82
【变式1-3】4. （2023·北京海淀·校考模拟预测）已知点O是边长为4的正方形的中心，点P是正方形ABCD所在平面内一点，OP=1，若AP=λAB+μAD．
（1）λ的取值范围是 ；
（2）当λ+μ取得最大值时，AP=
【变式1-3】5.（2023·全国·高三专题练习）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB//DC，AD=DC=1，AB=2，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设AP=λAD+μABλ,μ∈R，则λ2+72λμ最大值是 .
◆类型4等和线法法
【例题1-4】（2023·全国·高三专题练习）已知A、B、C是圆O:x2+y2=4上的三点，∠AOB=2π3,CO的延长线与线段AB交于点D，若OC=mOA+nOB，则m+n的取值范围为 .
题型2向量数量积最值取值范围问题
◆类型1定义法
【例题2-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，△ABC中，∠C=π4，AC=2，BC=6+2.在△ABC所在的平面内，有一个边长为1的正方形ADEF绕点A按逆时针方向旋转（不少于1周），则AE⋅BD的取值范围是（ ）
A．−3,5B．−4,6C．−5,9D．−3,4
【变式2-1】1.（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，∠A=60°，BC=23，O为△ABC的外心，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，且OD2+OE2+OF2=4，则OA⋅OB+OB⋅OC+OC⋅OA= .
【变式2-1】2.（2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且OP=2，弦AC,BD均过点P，则下列说法错误的是（ ）
A．PA⋅PC为定值B．OA⋅OC的取值范围是−2,0
C．当AC⊥BD时，AB⋅CD为定值D．AC⋅BD的最大值为12
【变式2-1】3.（2023春·福建福州·高三校考阶段练习）圆O为锐角△ABC的外接圆，AC=2AB=2，点P在圆O上，则BP⋅AO的取值范围为（ ）
A．−12,4B．0,2C．−12,2D．0,4
【变式2-1】4.（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC中，∠A=60°，AB=6，AC=4，O为△ABC的外心，若AO=λAB+μAC，则λ+μ的值为 .
【变式2-1】5.（2023·全国·高三专题练习）如图，菱形ABCD的边BC上有一点E，边DC上有一点F（E，F不与顶点重合）且BE>DF，若△AEF是边长为3的等边三角形，则BA⋅BE的范围是 .
◆类型2基底法（线性表示）
【例题2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E在边BC上，BC=3BE，若G为线段DC上的动点，则AG⋅AE的最大值为（ ）
A．2B．83
C．103D．4
【变式2-2】1. （2023·全国·高三专题练习）在直角△ABC中，AB⊥AC,AC=3,AB=1，平面ABC内动点P满足CP=1，则AP⋅BP的最小值为 .
【变式2-2】2. （多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，已知直线l1//l2，点A是l1，l2之间的一个定点，点A到l1，l2的距离分别为1，2.点B是直线l2上一个动点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点C，GA+GB+GC=0，则（ ）
A．AG=13AB+ACB．△GAB面积的最小值是23
C．AG≥1D．GA⋅GB存在最小值
◆类型3坐标法
【例题2-3】（2023·全国·高三专题练习）在Rt△ABC中，∠A=90∘,AB=2,AC=4，D为BC的中点，点P在△ABC斜边BC的中线AD上，则PB⋅PC的取值范围为（ ）
A．−5,0B．−3,0C．0,3D．0,5
【变式2-3】1.（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知e为单位向量，向量a,b满足a−2e=2,b−3e=3，则a⋅b的取值范围是 .
【变式2-3】2. （2023·上海黄浦·格致中学校考三模）已知平面向量a，b，c满足a=1，a⋅b=b⋅c=1，a−b+c≤22，则a⋅c的最大值为 ．
【变式2-3】3. （2023·天津河西·统考二模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图l是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若AE=λAC+μAFλ,μ∈R，则λ+μ的值为 ；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则AP⋅BC的取值范围是 ．
【变式2-3】4. （2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知△ABC是面积为33的等边三角形，四边形MNPQ是面积为2的正方形，其各顶点均位于△ABC的内部及三边上，且可在△ABC内任意旋转，则BP⋅CQ的最大值为（ ）
A．−92B．32C．6−2−2D．6+2−2
◆类型4极化恒等式法
【例题2-4】（2023·全国·高三专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=2，M为线段AB上的动点（包含端点），D为AC的中点．将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则ME⋅MF的最小值为（ ）
A．−2B．−32
C．−1D．−12
【变式2-4】（2023·全国·高三专题练习）在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且AD=λBC,AD⋅AB=−32，则实数λ= ；若M，N是线段BC上的动点，且MN=1，则DM⋅DN的最小值为 ．
◆类型5几何意义法
【例题2-5】（2023·新疆·校联考二模）已知平面向量a，b，c，满足a=2，a−b=23，若对于任意实数x，都有b−xa≥b−a成立，且c−a≤1，则b⋅c的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式2-5】（2023·陕西汉中·统考二模）已知A−3,0，B3,0，P为平面内一动点（不与A,B重合），且满足PAPB=2，则PA⋅PB 的最小值为 ．
题型3向量模长最值取值范围问题
◆类型1坐标法
【例题3-1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）（多选题）已知向量a,b,c满足a=3,b=1,a−b=7,c=2c−a.设m=tb,t∈R，则（ ）
A．m−c的最小值为2
B．m−c的最小值为23−2
C．m−c的最大值为23+2
D．m−c无最大值
【变式3-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量a，b，c满足|a|=|b|=1，a⊥(a−2b)，(c−2a)⋅(c−b)=0，则|c|的最大值为（ ）
A．0B．3C．7+32D．7
【变式3-1】2. （2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知平面向量a，b，c，满足a=1，a,b=7a−c,9a−c=π6，则b−c的取值范围是 ．
【变式3-1】3. （2023·上海·高三专题练习）设x、y∈R，若向量a，b，c满足a=(x,1)，b=(2,y)，c=(1,1)，且向量a−b与c互相平行，则|a|+2|b|的最小值为 ．
【变式3-1】4. （2023·上海·高三专题练习）已知平面向量a ,b ,c ,e满足a =3, e =1 , b −a =1,=2π3，且对任意的实数t ，均有 c −t e ≥c −2 e，则c − b的最小值为 .
【变式3-1】5.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量a，b，且满足a⋅b=|a|=|b|=2，若e为平面单位向量，则a⋅e+b⋅e的最大值
【变式3-1】6.（2023春·上海虹口·高三统考期中）已知平面向量a，b，c，e满足a=3，e=1，b−a=1，=2π3，且对任意的实数t，均有c−te≥c−2e，则c−b的最小值为 .
◆类型2几何意义法
【例题3-2】（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在Rt△ABC中，AC=BC=4，D是以BC为直径的圆上一点，则AB+AD的最大值为（ ）
A．12B．82C．56D．65
【变式3-2】1. （2023·全国·高三专题练习）已知非零向量a，b，c满足a=4，a⋅b=2b，c2=32a⋅c−5，则对任意实数t，c−tb的最小值为 ．
【变式3-2】2. （2023·全国·高三专题练习）已知平面向量a，b，c，满足b=2，a+b=1，c=λa+μb且λ+2μ=1，若对每一个确定的向量a，记c的最小值为m，则当a变化时，实数m的最大值为 .
【变式3-2】3. （2023·全国·高三专题练习）已知平面向量a,b,c满足a=2b=2,csa,b=−csc−a,c−b=−22，则以c为直径长的圆的面积的最大值为 .
【变式3-2】4. （2023·上海·高三专题练习）已知点A,B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且OA=2aa>0．若存在m,n∈R，使得mAB+OA与nAB+OB垂直，且mAB+OA−nAB+OB=a，则AB的最小值为 ．
【变式3-2】5.（2020秋·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知平面向量a,b满足a=b=a·b=2，且a−cb−c=0，则b+2c的最大值是 ．
【变式3-2】6.（2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）设向量OA，OB满足OA=OB=2，OA⋅OB=2，若m，n∈R，m+n=1，则mAB+12BO−nBA的最小值为 ．
◆类型3三角换元法
【例题3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知向量a，b满足2a+b=3，b=1，则a+2a+b的最大值为 .
【变式3-3】1. （2023·全国·高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为2，动点P在以D为圆心且与AC相切的圆上，则BP⋅AC的取值范围是 ．
【变式3-3】2. （2023·全国·高三专题练习）已知a,b,c,d是单位向量，满足a⊥b,m=a+2b,|m−c|2+|m−d|2=20，则|c−d|的最大值为 ．
◆类型4三角不等式法
【例题3-4】（2023·上海·高三专题练习）已知非零平面向量a、b、c满足a=5，2b=c，且b−a⋅c−a=0，则b的最小值是
【变式3-4】1. （2022秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）若直线ax−y=0a≠0与函数fx=2cs2x+1ln2+x2−x图象交于不同的两点A,B，且点C6,0，若点Dm,n满足DA+DB−DC⋅DC=0，则m+n的取值范围是 .
【变式3-4】2.（多选） （2020·北京·高三校考强基计划）设平面向量a,b,c满足|a|≤2,|b|≤1，且|a−2b−c|≤|a+2b|，则|c|的（ ）
A．最大值为42B．最大值为26
C．最小值为0D．最小值为2
题型4向量共线的应用
【例题4】（2023秋·江西·高三校联考开学考试）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csB=23，P为△ABC内一点．若点P满足CP+bcBP=acPA，且BP=xBA+yBC，则x+y的最大值为 ．
【变式4-1】1. （2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，点D在线段AB上，且AD=13AB，E是CD的中点，延长AE交BC于点H，点P为直线AH上一动点（不含点A），且AP=λAB+μAC（λ,μ∈R）．若AB=4，且λAC=μBC，则△CAH的面积的最大值为 ．
【变式4-1】2. （多选）（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，AC=4，AB=5，BC=6，D为AC中点，E在BD上，且BE=12ED，AE延长线交BC于点F，则下列结论正确的有（ ）
A．AE=3B．AE⋅BC=−514
C．△ACF的面积为37D．AF=6EF
【变式4-1】3. （多选）（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F，若BC=λCE，ED=μDA，AB=3BF λ,μ>0，则（ ）
A．EB=14EF+14EAB．λμ=14
C．1λ+1μ的最大值为1D．EC⋅ADEB⋅EA≥−49
【变式4-1】4. （2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）在△ABC中，AB⋅AC=9，sinB=csAsinC，S△ABC=6，P为线段AB上的动点，且CP=x⋅CA|CA|+y⋅CB|CB|，则2x+1y的最小值为（ ）
A．116+63B．116C．1112+63D．1112
【变式4-1】5.（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）在△ABC中，AB=4，BC=3，CA=2，点P在该三角形的内切圆上运动，若AP=mAB+nAC（m，n为实数），则m+n的最小值为（ ）
A．518B．13C．718D．49
【变式4-1】6.（2022·全国·高三专题练习）过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，PC=34AC，QC=nBC，则n的值为 .
题型5向量夹角
【例题5】（2023·山东济宁·统考二模）已知向量a、b不共线，夹角为θ，且a=2，b=1，a+λb+a−λb=42，若433≤λ<22，则|csθ|的最小值为 ．
【变式5-1】1. （2023·福建泉州·统考模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设Ax1,y1，Bx2,y2，则曼哈顿距离dA,B=x1−x2+y1−y1，余弦距离eA,B=1−csA,B，其中csA,B=csOA,OB（O为坐标原点）．已知M2,1，dM,N=1，则eM,N的最大值近似等于（ ）
（参考数据：2≈1.41，5≈2.24．）
A．0.052B．0.104C．0.896D．0.948
【变式5-1】2. （多选）（2023·福建·校联考模拟预测）半圆形量角器在第一象限内，且与x轴、y轴相切于D、E两点.设量角器直径AB=4，圆心为C，点P为坐标系内一点.下列选项正确的有（ ）
A．C点坐标为2,2B．OA+OB=22
C．cs∠AOB∈13,55D．若PA2+PB2+PO2最小，则OP=423
【变式5-1】3. （2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知OA+OB与OC为相反向量，若OA=2，OB+OC=4，则OA，OB夹角的余弦的最小值为 ．
【变式5-1】4. （2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知平面向量a=OA，b=OB，c=OC，满足4OC⋅AC=1−OA2，4OB⋅CB=1−OC2，则向量a−4b与c−2b所成夹角的最大值是（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
题型6向量平行与垂直的应用
【例题6】（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，△ABC的外心为O，三条高线AD,BE,CF交于一点H，ED与AB的延长线交于点I，FD与AC的延长线交于点J，则（ ）
A．∠BDF=∠BACB．OB⋅FD=0
C．OC⋅ED=0D．OH⋅IJ=0
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）设A,B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且OA=2.若存在m,n∈R，使得mAB+OA与nAB+OB垂直，且mAB+OA−nAB+OB=2，则AB的最小值为 .
题型7投影向量
【例题7】（2023春·辽宁·高三辽师大附中校考阶段练习）已知点D在线段AB上，CD是△ABC的角平分线，E为CD上一点，且满足BE=BA+λADAD+ACACλ>0,CA−CB=6,BA=14，设BA=a,则BE在a上的投影向量为 ．（结果用a表示）．
【变式7-1】1. （2023·天津·统考二模）在△ABC中，AB=32，角A为锐角，且向量AB在向量AC上的投影向量的模是3，则A= ；若AC=6，则函数fx=xAB−13AC+xAB−12ACx∈R的最小值为 .
【变式7-1】2.（多选） （2023·全国·高三专题练习）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数fx=AD−xAB，则函数fx的最小值为2+2
B．PA⋅PB的最大值为12+82
C．AG在AB方向上的投影向量为−AB2
D．OA+OC=3OB
题型8解析几何与向量
【例题8】（多选）（2023秋·河南·高三校联考开学考试）⊙Q:(x+1)2+(y−1)2=2与l:y=−x交于A,B,M为曲线y=1x(x>0)上的动点，则（ ）
A．M到直线l距离最小值为2
B．MA⋅MB>0
C．存在点M，使得△MAB为等边三角形
D．MA⋅MB最小值为1
【变式8-1】1. （2023·四川成都·校联考二模）已知直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)相交于A，B两点，点A在第一象限，经过点A且与直线l垂直的直线与双曲线C的另外一个交点为M，点N在y轴上，BN//NM，点O为坐标原点，且ON2=7OA⋅NO，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y=±3xB．y=±5xC．y=±6xD．y=±7x
【变式8-1】2. （2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知向量a=(x+1,5+y),b=(x−1,5−y)，满足a⊥b的动点M(x,y)的轨迹为E，经过点N(2,0)的直线l与E有且只有一个公共点A，点P在圆x2+(y−22)2=1上，则AP的最小值为（ ）．
A．3−22B．2−1
C．22−2D．1
【变式8-1】3. （2023·海南海口·海南中学校考二模）如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆M:x2+y+m2=n2和N:x2+y−12=1外切也形成一个8字形状，若P0,−2，A1,−1为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则PA⋅PB的最大值为（ ）．
A．32+22B．22+1C．3+2D．32+2
【变式8-1】4. （2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C:x24+y22=1上两点A，B满足kOA⋅kOB=−12．若椭圆C上一点M满足OM=λOA+μOB，则λ+μ的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【变式8-1】5.（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，F1A⋅F1B=0，BF2=35BA，则C的离心率为 ．
【变式8-1】6.（2023春·全国·高三竞赛）设圆(x−3)2+(y−4)2=25的圆心为C，点N6,0，M12,10，P为直线y=x上一点．若圆上存在两点A，B，使得点P满足MA=MB+MP，则△PCN面积的取值范围为（ ）
A．2,51B．3,51C．2,52D．3,52
题型9奔驰定理与面积比
【例题9】（多选）（2023·全国·高三专题练习）有下列说法其中正确的说法为（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若a∥bb≠0，则存在唯一实数λ使得a=λb
C．两个非零向量a，b，若a−b=a+b，则a与b共线且反向
D．若2OA+OB+3OC=0，S△AOC，S△AOB分别表示△AOC，△AOB的面积，则S△AOC:S△AOB=1:3
【变式9-1】（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC，则有SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题不正确的有（ ）
A．若OA+OB+OC=0，则O为△ABC的重心
B．若OA+2OB+3OC=0，则SA:SB:SC=1:2:3
C．若OA=OB=2,∠AOB=5π6，2OA+3OB+4OC=0，则S△ABC=92
D．若O为△ABC的垂心，则tan∠BAC⋅OA+tan∠ABC⋅OB+tan∠ACB⋅OC=0
题型10向量四心
【例题10】(多选)（2023·全国·高三专题练习）设点M在△ABC所在平面内，则下列结论正确的是（ ）
A．若AM=ABAB+ACAC，且AM=λAB+1−λAC0<λ<1，则BM=MC
B．若MA+2MB+3MC=0，则△ABC的面积与△ABM的面积之比为2:1
C．若MA+2MB+3MC=0，且M为△ABC的垂心，则cs∠AMB=−1010
D．若AM=λABABcsB+ACACcsCλ∈R，则M的轨迹经过△ABC的垂心
【变式10-1】1. （多选）（2023·全国·高三专题练习）已知点O在△ABC所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若OA⋅OB=OA⋅OC=OB⋅OC且AB⋅AC=1，则AO⋅AB=1
B．若AO⋅ABOB−OA=AO⋅ACOC−OA且CO⋅CAOA−OC=CO⋅CBOB−OC，则sin2∠AOC+sin∠ABC=0
C．若AO=λABABsinB+BC2ACsinC，其中λ>0，则动点O的轨迹经过△ABC的重心
D．若AO=λABcsB+12AB+λACcsC+12AC，其中λ>0，则动点O的轨迹经过△ABC的垂心
【变式10-1】2. （2023·全国·高三专题练习）对于给定的△ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H，则下列结论不正确的是（ ）
A．AO⋅AB=12AB2
B．OA⋅OB=OA⋅OC=OB⋅OC
C．过点G的直线l交AB、AC于E、F，若AE=λAB，AF=μAC，则1λ+1μ=3
D．AH与ABABcsB+ACACcsC共线
1.（多选）（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知向量a，b，c满足a=2，a−b=c−b=c=1，则可能成立的结果为（ ）
A．b=1B．b=3C．b⋅c=3D．b⋅c=32
2. （2023·天津和平·统考一模）已知四边形ABCD,DC=tAB,AB=6,AD=4,∠DAB=60∘，且AD⋅CD=−6，点E为线段BD，上一点，且AE=1+λAD+23CB，则λ= ，过E作EF∥BC交AB于点F，则FD⋅FC= .
3. （2022·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校联考二模）在梯形ABCD中，AB∥CD,AD=1,AB=3,CD=1,AM=13AB,CM与BD相交于点Q．若MP=13MC，则AQ⋅DP= ；若AC⋅AB=32，N为线段AC延长线上的动点，则NQ⋅NB的最小值为 ．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a=3,1,b=2,2，则csa+b,a−b=（ ）
A．117B．1717C．55D．255
5．（2023·全国·统考高考真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC⋅ED=（ ）
A．5B．3C．25D．5
6．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a,b,c满足a=b=1,c=2，且a+b+c=0，则cs〈a−c,b−c〉=（ ）
A．−45B．−25C．25D．45
7．（2023·全国·统考高考真题）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若PO=2，则PA⋅PD的最大值为（ ）
A．1+22B．1+222
C．1+2D．2+2
8．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a=1,1,b=1,−1，若a+λb⊥a+μb，则（ ）
A．λ+μ=1B．λ+μ=−1
C．λμ=1D．λμ=−1
9．（2023·天津·统考高考真题）在△ABC中，∠A=60∘，BC=1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设AB=a,AC=b，则AE可用a,b表示为 ；若BF=13BC，则AE⋅AF的最大值为 ．
10．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a，b满足a−b=3，a+b=2a−b，则b= ．
11．（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量a,b满足|5a−b|=4,a⋅b∈[0,1]，则a的取值范围是 ．
平面向量基本定理（平面内三个向量之间关系）；若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1＋λ2e2.
1.选定基底，则λ1、λ2，是唯一的
2.处理技巧：可“绕三角形”，可待定系数，可建系.
等和线原理：OA=λOB+μOC⟺λ+μ=1
OF=λOB+μOC⟺λ+μ=mm=OFOE,
求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义（包括向量数量积几何意义）
（2）利用向量的坐标运算（自主建系，只要题目有可以建系的条件，可通过建系法求解）；（3）利用向量三角不等式
（a+b）2=a2+2ab+b2（a−b）2=a2−2ab+b2⟹ab=14[a+b2−（a−b）2],
在△ABC中，D是边BC的中点，则AB∙AC=|AD|2−|DB|2
设平面上三点O，A，B不共线，则平面上任意一点P与A，B共线的充要条件是存在实数入与出，使得OP=λOA+μOB且λ+μ=1.特别地，当P为线段AB的中点时，OP=12OA+12OB.
在△ABC中:
重心：PA+PB+PC=0
外心：|PA|=PB=|PC|
内心：向量λ（ABAB+CDAB）(λ≠0)所在直线过△ABC内心（∠BAC角平分线所在直线）
垂心：PA∙PB=PB∙PC=PA∙PC
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题24向量压轴小题十大题型汇总
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc146230376" 题型1平面向量的线性运算 PAGEREF _Tc146230376 \h 1
\l "_Tc146230377" ◆类型1基底法 PAGEREF _Tc146230377 \h 1
\l "_Tc146230378" ◆类型2三点共线方程组法 PAGEREF _Tc146230378 \h 3
\l "_Tc146230379" ◆类型3坐标法 PAGEREF _Tc146230379 \h 3
\l "_Tc146230380" ◆类型4等和线法法 PAGEREF _Tc146230380 \h 5
\l "_Tc146230381" 题型2向量数量积最值取值范围问题 PAGEREF _Tc146230381 \h 6
\l "_Tc146230382" ◆类型1定义法 PAGEREF _Tc146230382 \h 6
\l "_Tc146230383" ◆类型2基底法（线性表示） PAGEREF _Tc146230383 \h 8
\l "_Tc146230384" ◆类型3坐标法 PAGEREF _Tc146230384 \h 9
\l "_Tc146230385" ◆类型4极化恒等式法 PAGEREF _Tc146230385 \h 10
\l "_Tc146230386" ◆类型5几何意义法 PAGEREF _Tc146230386 \h 11
\l "_Tc146230387" 题型3向量模长最值取值范围问题 PAGEREF _Tc146230387 \h 11
\l "_Tc146230388" ◆类型1坐标法 PAGEREF _Tc146230388 \h 11
\l "_Tc146230389" ◆类型2几何意义法 PAGEREF _Tc146230389 \h 12
\l "_Tc146230390" ◆类型3三角换元法 PAGEREF _Tc146230390 \h 13
\l "_Tc146230391" ◆类型4三角不等式法 PAGEREF _Tc146230391 \h 13
\l "_Tc146230392" 题型4向量共线的应用 PAGEREF _Tc146230392 \h 14
\l "_Tc146230393" 题型5向量夹角 PAGEREF _Tc146230393 \h 16
\l "_Tc146230394" 题型6向量平行与垂直的应用 PAGEREF _Tc146230394 \h 17
\l "_Tc146230395" 题型7投影向量 PAGEREF _Tc146230395 \h 17
\l "_Tc146230396" 题型8解析几何与向量 PAGEREF _Tc146230396 \h 18
\l "_Tc146230397" 题型9奔驰定理与面积比 PAGEREF _Tc146230397 \h 20
\l "_Tc146230398" 题型10向量四心 PAGEREF _Tc146230398 \h 21
题型1平面向量的线性运算
◆类型1基底法
【例题1-1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，点E为边CD中点，点F为边BC上靠近点B的三等分点，连接AF，BE交于点M，连接AC，点N为AC上靠近点C的三等分点，记AB=a，AD=b，则下列说法正确的是（ ）
A．点M，N，E三点共线
B．若AM=λa+μb，则λ+μ=97
C．BN=73BM
D．S△ABM=17S，S为平行四边形ABCD的面积
【变式1-1】1. （2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若AF=xAE+yDC，且x>m>0，y>0，则myx−m的最大值为（ ）
A．8243B．4243C．381D．481
【变式1-1】2. （2022秋·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考期末）已知O是ΔABC内一点，且OA+OB+OC=0，点M在ΔOBC内（不含边界），若AM=λAB+μAC，则λ+2μ的取值范围是
A．1,52B．1,2C．23,1D．12,1
【变式1-1】3.（2020春·湖北襄阳·高三襄阳四中校考阶段练习）在ΔABC中，AC=2,AB=2,∠BAC=120∘,AE=λAB,AF=μAC，M为线段EF的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为（ ）
A．73B．273C．2D．213
◆类型2三点共线方程组法
【例题1-2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，AD=DB,E是线段BC上的点，且满足BE=2EC，线段CD与线段AE交于点F，则下列结论正确的是（ ）
A．AE=13AB+23ACB．3DF=2CF
C．AF=14AB+12ACD．4AF=3AE
◆类型3坐标法
【例题1-3】（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，延长边CD至点E，使得DE=CD.动点P从点A出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到A点，若AP=λAB+μAE，则（ ）
A．满足λ+μ=1的点P有且只有一个
B．满足λ+μ=2的点P有两个
C．λ+μ存在最小值
D．λ+μ不存在最大值
【变式1-3】1.（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知AB=BC=CD=1,AB⊥BC,AC⊥CD,AC与BD交于点O，若DO=λAB+μAC，则λ+μ=（ ）
A．2−1B．1−2C．2+1D．−2−1
【变式1-3】2. （多选）（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中∠COD=2π3，OC=4OA=4，动点P在CD上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧AB于点Q，且OQ=xOC+yOD，则下列说法正确的是（ ）
A．若y=x，则x+y=1B．若y=2x，则OA⋅OP=0
C．AB⋅OP≥−2D．PA⋅PB≥232
【变式1-3】3. （多选）（2023·全国·高三专题练习）正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB 为直径的半圆上任意点，AP=λAB+μAE，则（ ）
A．μ最大值为1B．AP·AB最大值是8
C．λ最大值为5+14D．AP⋅ AC最大值是8+82
【变式1-3】4. （2023·北京海淀·校考模拟预测）已知点O是边长为4的正方形的中心，点P是正方形ABCD所在平面内一点，OP=1，若AP=λAB+μAD．
（1）λ的取值范围是 ；
（2）当λ+μ取得最大值时，AP=
【变式1-3】5.（2023·全国·高三专题练习）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB//DC，AD=DC=1，AB=2，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设AP=λAD+μABλ,μ∈R，则λ2+72λμ最大值是 .
◆类型4等和线法法
【例题1-4】（2023·全国·高三专题练习）已知A、B、C是圆O:x2+y2=4上的三点，∠AOB=2π3,CO的延长线与线段AB交于点D，若OC=mOA+nOB，则m+n的取值范围为 .
题型2向量数量积最值取值范围问题
◆类型1定义法
【例题2-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，△ABC中，∠C=π4，AC=2，BC=6+2.在△ABC所在的平面内，有一个边长为1的正方形ADEF绕点A按逆时针方向旋转（不少于1周），则AE⋅BD的取值范围是（ ）
A．−3,5B．−4,6C．−5,9D．−3,4
【变式2-1】1.（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，∠A=60°，BC=23，O为△ABC的外心，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，且OD2+OE2+OF2=4，则OA⋅OB+OB⋅OC+OC⋅OA= .
【变式2-1】2.（2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且OP=2，弦AC,BD均过点P，则下列说法错误的是（ ）
A．PA⋅PC为定值B．OA⋅OC的取值范围是−2,0
C．当AC⊥BD时，AB⋅CD为定值D．AC⋅BD的最大值为12
【变式2-1】3.（2023春·福建福州·高三校考阶段练习）圆O为锐角△ABC的外接圆，AC=2AB=2，点P在圆O上，则BP⋅AO的取值范围为（ ）
A．−12,4B．0,2C．−12,2D．0,4
【变式2-1】4.（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC中，∠A=60°，AB=6，AC=4，O为△ABC的外心，若AO=λAB+μAC，则λ+μ的值为 .
【变式2-1】5.（2023·全国·高三专题练习）如图，菱形ABCD的边BC上有一点E，边DC上有一点F（E，F不与顶点重合）且BE>DF，若△AEF是边长为3的等边三角形，则BA⋅BE的范围是 .
◆类型2基底法（线性表示）
【例题2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E在边BC上，BC=3BE，若G为线段DC上的动点，则AG⋅AE的最大值为（ ）
A．2B．83
C．103D．4
【变式2-2】1. （2023·全国·高三专题练习）在直角△ABC中，AB⊥AC,AC=3,AB=1，平面ABC内动点P满足CP=1，则AP⋅BP的最小值为 .
【变式2-2】2. （多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，已知直线l1//l2，点A是l1，l2之间的一个定点，点A到l1，l2的距离分别为1，2.点B是直线l2上一个动点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点C，GA+GB+GC=0，则（ ）
A．AG=13AB+ACB．△GAB面积的最小值是23
C．AG≥1D．GA⋅GB存在最小值
◆类型3坐标法
【例题2-3】（2023·全国·高三专题练习）在Rt△ABC中，∠A=90∘,AB=2,AC=4，D为BC的中点，点P在△ABC斜边BC的中线AD上，则PB⋅PC的取值范围为（ ）
A．−5,0B．−3,0C．0,3D．0,5
【变式2-3】1.（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知e为单位向量，向量a,b满足a−2e=2,b−3e=3，则a⋅b的取值范围是 .
【变式2-3】2. （2023·上海黄浦·格致中学校考三模）已知平面向量a，b，c满足a=1，a⋅b=b⋅c=1，a−b+c≤22，则a⋅c的最大值为 ．
【变式2-3】3. （2023·天津河西·统考二模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图l是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若AE=λAC+μAFλ,μ∈R，则λ+μ的值为 ；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则AP⋅BC的取值范围是 ．
【变式2-3】4. （2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知△ABC是面积为33的等边三角形，四边形MNPQ是面积为2的正方形，其各顶点均位于△ABC的内部及三边上，且可在△ABC内任意旋转，则BP⋅CQ的最大值为（ ）
A．−92B．32C．6−2−2D．6+2−2
◆类型4极化恒等式法
【例题2-4】（2023·全国·高三专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=2，M为线段AB上的动点（包含端点），D为AC的中点．将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则ME⋅MF的最小值为（ ）
A．−2B．−32
C．−1D．−12
【变式2-4】（2023·全国·高三专题练习）在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且AD=λBC,AD⋅AB=−32，则实数λ= ；若M，N是线段BC上的动点，且MN=1，则DM⋅DN的最小值为 ．
◆类型5几何意义法
【例题2-5】（2023·新疆·校联考二模）已知平面向量a，b，c，满足a=2，a−b=23，若对于任意实数x，都有b−xa≥b−a成立，且c−a≤1，则b⋅c的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式2-5】（2023·陕西汉中·统考二模）已知A−3,0，B3,0，P为平面内一动点（不与A,B重合），且满足PAPB=2，则PA⋅PB 的最小值为 ．
题型3向量模长最值取值范围问题
◆类型1坐标法
【例题3-1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）（多选题）已知向量a,b,c满足a=3,b=1,a−b=7,c=2c−a.设m=tb,t∈R，则（ ）
A．m−c的最小值为2
B．m−c的最小值为23−2
C．m−c的最大值为23+2
D．m−c无最大值
【变式3-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量a，b，c满足|a|=|b|=1，a⊥(a−2b)，(c−2a)⋅(c−b)=0，则|c|的最大值为（ ）
A．0B．3C．7+32D．7
【变式3-1】2. （2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知平面向量a，b，c，满足a=1，a,b=7a−c,9a−c=π6，则b−c的取值范围是 ．
【变式3-1】3. （2023·上海·高三专题练习）设x、y∈R，若向量a，b，c满足a=(x,1)，b=(2,y)，c=(1,1)，且向量a−b与c互相平行，则|a|+2|b|的最小值为 ．
【变式3-1】4. （2023·上海·高三专题练习）已知平面向量a ,b ,c ,e满足a =3, e =1 , b −a =1,
【变式3-1】5.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量a，b，且满足a⋅b=|a|=|b|=2，若e为平面单位向量，则a⋅e+b⋅e的最大值
【变式3-1】6.（2023春·上海虹口·高三统考期中）已知平面向量a，b，c，e满足a=3，e=1，b−a=1，
◆类型2几何意义法
【例题3-2】（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在Rt△ABC中，AC=BC=4，D是以BC为直径的圆上一点，则AB+AD的最大值为（ ）
A．12B．82C．56D．65
【变式3-2】1. （2023·全国·高三专题练习）已知非零向量a，b，c满足a=4，a⋅b=2b，c2=32a⋅c−5，则对任意实数t，c−tb的最小值为 ．
【变式3-2】2. （2023·全国·高三专题练习）已知平面向量a，b，c，满足b=2，a+b=1，c=λa+μb且λ+2μ=1，若对每一个确定的向量a，记c的最小值为m，则当a变化时，实数m的最大值为 .
【变式3-2】3. （2023·全国·高三专题练习）已知平面向量a,b,c满足a=2b=2,csa,b=−csc−a,c−b=−22，则以c为直径长的圆的面积的最大值为 .
【变式3-2】4. （2023·上海·高三专题练习）已知点A,B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且OA=2aa>0．若存在m,n∈R，使得mAB+OA与nAB+OB垂直，且mAB+OA−nAB+OB=a，则AB的最小值为 ．
【变式3-2】5.（2020秋·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知平面向量a,b满足a=b=a·b=2，且a−cb−c=0，则b+2c的最大值是 ．
【变式3-2】6.（2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）设向量OA，OB满足OA=OB=2，OA⋅OB=2，若m，n∈R，m+n=1，则mAB+12BO−nBA的最小值为 ．
◆类型3三角换元法
【例题3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知向量a，b满足2a+b=3，b=1，则a+2a+b的最大值为 .
【变式3-3】1. （2023·全国·高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为2，动点P在以D为圆心且与AC相切的圆上，则BP⋅AC的取值范围是 ．
【变式3-3】2. （2023·全国·高三专题练习）已知a,b,c,d是单位向量，满足a⊥b,m=a+2b,|m−c|2+|m−d|2=20，则|c−d|的最大值为 ．
◆类型4三角不等式法
【例题3-4】（2023·上海·高三专题练习）已知非零平面向量a、b、c满足a=5，2b=c，且b−a⋅c−a=0，则b的最小值是
【变式3-4】1. （2022秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）若直线ax−y=0a≠0与函数fx=2cs2x+1ln2+x2−x图象交于不同的两点A,B，且点C6,0，若点Dm,n满足DA+DB−DC⋅DC=0，则m+n的取值范围是 .
【变式3-4】2.（多选） （2020·北京·高三校考强基计划）设平面向量a,b,c满足|a|≤2,|b|≤1，且|a−2b−c|≤|a+2b|，则|c|的（ ）
A．最大值为42B．最大值为26
C．最小值为0D．最小值为2
题型4向量共线的应用
【例题4】（2023秋·江西·高三校联考开学考试）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csB=23，P为△ABC内一点．若点P满足CP+bcBP=acPA，且BP=xBA+yBC，则x+y的最大值为 ．
【变式4-1】1. （2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，点D在线段AB上，且AD=13AB，E是CD的中点，延长AE交BC于点H，点P为直线AH上一动点（不含点A），且AP=λAB+μAC（λ,μ∈R）．若AB=4，且λAC=μBC，则△CAH的面积的最大值为 ．
【变式4-1】2. （多选）（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，AC=4，AB=5，BC=6，D为AC中点，E在BD上，且BE=12ED，AE延长线交BC于点F，则下列结论正确的有（ ）
A．AE=3B．AE⋅BC=−514
C．△ACF的面积为37D．AF=6EF
【变式4-1】3. （多选）（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F，若BC=λCE，ED=μDA，AB=3BF λ,μ>0，则（ ）
A．EB=14EF+14EAB．λμ=14
C．1λ+1μ的最大值为1D．EC⋅ADEB⋅EA≥−49
【变式4-1】4. （2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）在△ABC中，AB⋅AC=9，sinB=csAsinC，S△ABC=6，P为线段AB上的动点，且CP=x⋅CA|CA|+y⋅CB|CB|，则2x+1y的最小值为（ ）
A．116+63B．116C．1112+63D．1112
【变式4-1】5.（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）在△ABC中，AB=4，BC=3，CA=2，点P在该三角形的内切圆上运动，若AP=mAB+nAC（m，n为实数），则m+n的最小值为（ ）
A．518B．13C．718D．49
【变式4-1】6.（2022·全国·高三专题练习）过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，PC=34AC，QC=nBC，则n的值为 .
题型5向量夹角
【例题5】（2023·山东济宁·统考二模）已知向量a、b不共线，夹角为θ，且a=2，b=1，a+λb+a−λb=42，若433≤λ<22，则|csθ|的最小值为 ．
【变式5-1】1. （2023·福建泉州·统考模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设Ax1,y1，Bx2,y2，则曼哈顿距离dA,B=x1−x2+y1−y1，余弦距离eA,B=1−csA,B，其中csA,B=csOA,OB（O为坐标原点）．已知M2,1，dM,N=1，则eM,N的最大值近似等于（ ）
（参考数据：2≈1.41，5≈2.24．）
A．0.052B．0.104C．0.896D．0.948
【变式5-1】2. （多选）（2023·福建·校联考模拟预测）半圆形量角器在第一象限内，且与x轴、y轴相切于D、E两点.设量角器直径AB=4，圆心为C，点P为坐标系内一点.下列选项正确的有（ ）
A．C点坐标为2,2B．OA+OB=22
C．cs∠AOB∈13,55D．若PA2+PB2+PO2最小，则OP=423
【变式5-1】3. （2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知OA+OB与OC为相反向量，若OA=2，OB+OC=4，则OA，OB夹角的余弦的最小值为 ．
【变式5-1】4. （2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）已知平面向量a=OA，b=OB，c=OC，满足4OC⋅AC=1−OA2，4OB⋅CB=1−OC2，则向量a−4b与c−2b所成夹角的最大值是（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
题型6向量平行与垂直的应用
【例题6】（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，△ABC的外心为O，三条高线AD,BE,CF交于一点H，ED与AB的延长线交于点I，FD与AC的延长线交于点J，则（ ）
A．∠BDF=∠BACB．OB⋅FD=0
C．OC⋅ED=0D．OH⋅IJ=0
【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）设A,B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且OA=2.若存在m,n∈R，使得mAB+OA与nAB+OB垂直，且mAB+OA−nAB+OB=2，则AB的最小值为 .
题型7投影向量
【例题7】（2023春·辽宁·高三辽师大附中校考阶段练习）已知点D在线段AB上，CD是△ABC的角平分线，E为CD上一点，且满足BE=BA+λADAD+ACACλ>0,CA−CB=6,BA=14，设BA=a,则BE在a上的投影向量为 ．（结果用a表示）．
【变式7-1】1. （2023·天津·统考二模）在△ABC中，AB=32，角A为锐角，且向量AB在向量AC上的投影向量的模是3，则A= ；若AC=6，则函数fx=xAB−13AC+xAB−12ACx∈R的最小值为 .
【变式7-1】2.（多选） （2023·全国·高三专题练习）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数fx=AD−xAB，则函数fx的最小值为2+2
B．PA⋅PB的最大值为12+82
C．AG在AB方向上的投影向量为−AB2
D．OA+OC=3OB
题型8解析几何与向量
【例题8】（多选）（2023秋·河南·高三校联考开学考试）⊙Q:(x+1)2+(y−1)2=2与l:y=−x交于A,B,M为曲线y=1x(x>0)上的动点，则（ ）
A．M到直线l距离最小值为2
B．MA⋅MB>0
C．存在点M，使得△MAB为等边三角形
D．MA⋅MB最小值为1
【变式8-1】1. （2023·四川成都·校联考二模）已知直线l:y=kx(k>0)与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)相交于A，B两点，点A在第一象限，经过点A且与直线l垂直的直线与双曲线C的另外一个交点为M，点N在y轴上，BN//NM，点O为坐标原点，且ON2=7OA⋅NO，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y=±3xB．y=±5xC．y=±6xD．y=±7x
【变式8-1】2. （2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知向量a=(x+1,5+y),b=(x−1,5−y)，满足a⊥b的动点M(x,y)的轨迹为E，经过点N(2,0)的直线l与E有且只有一个公共点A，点P在圆x2+(y−22)2=1上，则AP的最小值为（ ）．
A．3−22B．2−1
C．22−2D．1
【变式8-1】3. （2023·海南海口·海南中学校考二模）如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆M:x2+y+m2=n2和N:x2+y−12=1外切也形成一个8字形状，若P0,−2，A1,−1为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则PA⋅PB的最大值为（ ）．
A．32+22B．22+1C．3+2D．32+2
【变式8-1】4. （2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C:x24+y22=1上两点A，B满足kOA⋅kOB=−12．若椭圆C上一点M满足OM=λOA+μOB，则λ+μ的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
【变式8-1】5.（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，F1A⋅F1B=0，BF2=35BA，则C的离心率为 ．
【变式8-1】6.（2023春·全国·高三竞赛）设圆(x−3)2+(y−4)2=25的圆心为C，点N6,0，M12,10，P为直线y=x上一点．若圆上存在两点A，B，使得点P满足MA=MB+MP，则△PCN面积的取值范围为（ ）
A．2,51B．3,51C．2,52D．3,52
题型9奔驰定理与面积比
【例题9】（多选）（2023·全国·高三专题练习）有下列说法其中正确的说法为（ ）
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若a∥bb≠0，则存在唯一实数λ使得a=λb
C．两个非零向量a，b，若a−b=a+b，则a与b共线且反向
D．若2OA+OB+3OC=0，S△AOC，S△AOB分别表示△AOC，△AOB的面积，则S△AOC:S△AOB=1:3
【变式9-1】（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,SC，则有SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题不正确的有（ ）
A．若OA+OB+OC=0，则O为△ABC的重心
B．若OA+2OB+3OC=0，则SA:SB:SC=1:2:3
C．若OA=OB=2,∠AOB=5π6，2OA+3OB+4OC=0，则S△ABC=92
D．若O为△ABC的垂心，则tan∠BAC⋅OA+tan∠ABC⋅OB+tan∠ACB⋅OC=0
题型10向量四心
【例题10】(多选)（2023·全国·高三专题练习）设点M在△ABC所在平面内，则下列结论正确的是（ ）
A．若AM=ABAB+ACAC，且AM=λAB+1−λAC0<λ<1，则BM=MC
B．若MA+2MB+3MC=0，则△ABC的面积与△ABM的面积之比为2:1
C．若MA+2MB+3MC=0，且M为△ABC的垂心，则cs∠AMB=−1010
D．若AM=λABABcsB+ACACcsCλ∈R，则M的轨迹经过△ABC的垂心
【变式10-1】1. （多选）（2023·全国·高三专题练习）已知点O在△ABC所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若OA⋅OB=OA⋅OC=OB⋅OC且AB⋅AC=1，则AO⋅AB=1
B．若AO⋅ABOB−OA=AO⋅ACOC−OA且CO⋅CAOA−OC=CO⋅CBOB−OC，则sin2∠AOC+sin∠ABC=0
C．若AO=λABABsinB+BC2ACsinC，其中λ>0，则动点O的轨迹经过△ABC的重心
D．若AO=λABcsB+12AB+λACcsC+12AC，其中λ>0，则动点O的轨迹经过△ABC的垂心
【变式10-1】2. （2023·全国·高三专题练习）对于给定的△ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H，则下列结论不正确的是（ ）
A．AO⋅AB=12AB2
B．OA⋅OB=OA⋅OC=OB⋅OC
C．过点G的直线l交AB、AC于E、F，若AE=λAB，AF=μAC，则1λ+1μ=3
D．AH与ABABcsB+ACACcsC共线
1.（多选）（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知向量a，b，c满足a=2，a−b=c−b=c=1，则可能成立的结果为（ ）
A．b=1B．b=3C．b⋅c=3D．b⋅c=32
2. （2023·天津和平·统考一模）已知四边形ABCD,DC=tAB,AB=6,AD=4,∠DAB=60∘，且AD⋅CD=−6，点E为线段BD，上一点，且AE=1+λAD+23CB，则λ= ，过E作EF∥BC交AB于点F，则FD⋅FC= .
3. （2022·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校联考二模）在梯形ABCD中，AB∥CD,AD=1,AB=3,CD=1,AM=13AB,CM与BD相交于点Q．若MP=13MC，则AQ⋅DP= ；若AC⋅AB=32，N为线段AC延长线上的动点，则NQ⋅NB的最小值为 ．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a=3,1,b=2,2，则csa+b,a−b=（ ）
A．117B．1717C．55D．255
5．（2023·全国·统考高考真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC⋅ED=（ ）
A．5B．3C．25D．5
6．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a,b,c满足a=b=1,c=2，且a+b+c=0，则cs〈a−c,b−c〉=（ ）
A．−45B．−25C．25D．45
7．（2023·全国·统考高考真题）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若PO=2，则PA⋅PD的最大值为（ ）
A．1+22B．1+222
C．1+2D．2+2
8．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a=1,1,b=1,−1，若a+λb⊥a+μb，则（ ）
A．λ+μ=1B．λ+μ=−1
C．λμ=1D．λμ=−1
9．（2023·天津·统考高考真题）在△ABC中，∠A=60∘，BC=1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设AB=a,AC=b，则AE可用a,b表示为 ；若BF=13BC，则AE⋅AF的最大值为 ．
10．（2023·全国·统考高考真题）已知向量a，b满足a−b=3，a+b=2a−b，则b= ．
11．（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量a,b满足|5a−b|=4,a⋅b∈[0,1]，则a的取值范围是 ．
平面向量基本定理（平面内三个向量之间关系）；若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1＋λ2e2.
1.选定基底，则λ1、λ2，是唯一的
2.处理技巧：可“绕三角形”，可待定系数，可建系.
等和线原理：OA=λOB+μOC⟺λ+μ=1
OF=λOB+μOC⟺λ+μ=mm=OFOE,
求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义（包括向量数量积几何意义）
（2）利用向量的坐标运算（自主建系，只要题目有可以建系的条件，可通过建系法求解）；（3）利用向量三角不等式
（a+b）2=a2+2ab+b2（a−b）2=a2−2ab+b2⟹ab=14[a+b2−（a−b）2],
在△ABC中，D是边BC的中点，则AB∙AC=|AD|2−|DB|2
设平面上三点O，A，B不共线，则平面上任意一点P与A，B共线的充要条件是存在实数入与出，使得OP=λOA+μOB且λ+μ=1.特别地，当P为线段AB的中点时，OP=12OA+12OB.
在△ABC中:
重心：PA+PB+PC=0
外心：|PA|=PB=|PC|
内心：向量λ（ABAB+CDAB）(λ≠0)所在直线过△ABC内心（∠BAC角平分线所在直线）
垂心：PA∙PB=PB∙PC=PA∙PC
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