新高考数学二轮复习重难点题型突破练习专题18 三角函数中w取值范围问题八大题型汇总（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc145949086" 题型1单调性与 取值范围问题 PAGEREF _Tc145949086 \h 1
\l "_Tc145949087" 题型2图像平移伸缩与 取值范围问题 PAGEREF _Tc145949087 \h 5
\l "_Tc145949088" 题型3对称轴与 取值范围问题 PAGEREF _Tc145949088 \h 9
\l "_Tc145949089" 题型4对称中心与 取值范围问题 PAGEREF _Tc145949089 \h 12
\l "_Tc145949090" 题型5零点与 取值范围问题 PAGEREF _Tc145949090 \h 15
\l "_Tc145949091" 题型6最值与 取值范围问题 PAGEREF _Tc145949091 \h 23
\l "_Tc145949092" 题型7极值与 取值范围问题 PAGEREF _Tc145949092 \h 27
\l "_Tc145949093" 题型8新定义 PAGEREF _Tc145949093 \h 30
题型1单调性与 取值范围问题
【例题1】（2023·全国·高三专题练习）规定：设函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【答案】（注：可以用不等关系表示）
【分析】讨论和的条件，时，，根据正余弦函数的单调区间解不等式即可.
【详解】函数，
当时，，
当时，，
时，，在上单调递增，
则有或，
解得，当时，有解；
或，当时，有解.
实数的取值范围是.
故答案为：
【变式1-1】1. （2023·河南·统考模拟预测）若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】有函数在区间上有两个零点可知，由在上单调递增可求出的取值范围，然后联立即可求出答案.
【详解】解：由题意得：
函数在上恰有两个零点，
，
解得：①，
又在上单调递增，
，解得：②，
由①②式联立可知的取值范围是.
故选：B
【变式1-1】2. （2023秋·辽宁·高三校联考开学考试）已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦型函数的单调性及已知区间单调性求参数范围即可.
【详解】当时，，
因为在上单调递增，所以，解得.
当时，，
因为，所以.
因为在上单调递减，所以且，解得，
又，所以的取值范围是.
故选：A
【变式1-1】3. （2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，化简，结合余弦型函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数 ，
令，解得，且，
即函数的单调递增区间为且，
要使得在区间上单调递增，
则满足，解得，其中，
又由，解得，因为，所以，
所以，即实数的取值范围为.
故选：A.
【变式1-1】4. （2023春·安徽阜阳·高三校考阶段练习）已知函数在上单调递增，且当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知，分别根据函数在区间上单调递增，在时，恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合的本身范围进行求解.
【详解】由已知，函数在上单调递增，
所以，解得：，
由于，所以，解得：①
又因为函数在上恒成立，
所以，解得：，
由于，所以，解得：②
又因为，当时，由①②可知：，解得；
当时，由①②可知：，解得.
所以的取值范围为.
故选：B.
【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.
题型2图像平移伸缩与 取值范围问题
【例题2】（2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，，为的导函数，且，若当时，的取值范围为，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据三角函数平移变换原则可得，结合可求得；利用整体代换的方式，结合余弦型函数的值域可求得结果.
【详解】，，
，，
，，又，，
；
当时，，
，，解得：.
故选：D.
【变式2-1】1. （2022秋·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考期中）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由三角函数图象平移规则求得函数，再利用正弦曲线的零点即可求得的取值范围
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数
由函数在上没有零点，则，则
由，可得
假设函数在上有零点，
则，则
由，可得
又，则
则由函数在上没有零点，且，可得
故选：A
【变式2-1】2. （2023秋·山西运城·高三统考阶段练习）已知函数，现将该函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且在区间上单调递增，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，化简函数，结合图象平移求出函数，进而求出单调递增区间，再列出不等式求解作答.
【详解】函数，
因此，，
由，解得，
即函数在上单调递增，
于是，即，
解得，由，得，而，即或，
当时，，当时，，
所以的取值范围为.
故答案为：
【变式2-1】3. （2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据函数图像平移变换，写出函数的解析式，再由函数 在区间上单调递增，列出不等式组求出的取值范围即可
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象,
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
得到函数的图象，
函数在区间上单调递增，
所以，即，解得，①
又，
所以，解得，②
由①②可得，
故答案为: .
【变式2-1】4. （2023·河南开封·统考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在区间内有5个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，再根据余弦函数的图象可得，求解即可.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象.
时，，
在轴右方的零点为
因为函数的图象在区间内有5个零点，
所以，解得.
故选:D.
题型3对称轴与 取值范围问题
【例题3】（2023秋·福建福州·高三统考开学考试）若定义在上的函数的图象在区间上恰有5条对称轴，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的对称轴方程为，，原题等价于有5个整数k符合，解不等式即得解.
【详解】由已知，，
令，，得，，
依题意知，有5个整数k满足，即，
所以，则，故，
故选：A．
【变式3-1】1. （2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是（ ）
A．在区间上有且仅有3个不同的零点
B．的最小正周期可能是
C．的取值范围是
D．在区间上单调递增
【答案】C
【分析】根据已知，利用整体代换技巧以及三角函数的性质进行求解判断.
【详解】因为函数在区间上有且仅有4条对称轴，
令，则，
所以有4个整数符合，
由得，，，
则，所以，所以，故C正确；
对于A，当，，因为，所以，
当时，在区间上有且仅有3个不同的零点，
当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，故A错误；
对于B，周期，因为，则，所以，
因为，故B错误；
对于D，当，，因为，
所以，因为，所以在区间上不一定单调递增，故D错误.
故选：C.
【变式3-1】2. （2023·广东深圳·校考一模）将函数的图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍后，所得函数的图像在区间上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，则的值为 ．
【答案】2
【分析】先求函数的解析式，画出大致图像，再结合已知条件即可求出的值.
【详解】由题可知．
因为，所以．
所以的图像大致如图所示，
要使的图像在区间上有且仅有两条对称轴和两个对称中心，
则，解得，
因为，所以．
故答案为：2
【变式3-1】3. （2023秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用整体换元法，结合余弦函数的性质即可求解.
【详解】函数 ．
当时，令，则，
若在有且仅有3个零点和3条对称轴，
则在有且仅有3个零点和3条对称轴，
则，解得.
故选：A．

题型4对称中心与 取值范围问题
【例题4】（2020秋·陕西宝鸡·高三校考阶段练习）已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】由函数图象的对称中心为列方程，由整理出方程并求解，联立方程组表示出，结合及得到的范围，从而求解．
【详解】因为函数的图象的一个对称中心为所以，整理得：，
所以，
又即：，
所以或
由得：，
由得：，
所以的最小值为
故选A
【点睛】本题主要考查了三角函数性质，及解三角方程，注意及这个要求
【变式4-1】1. （2023·全国·高三专题练习）已知函数（）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】由正切函数的性质得出，继而由周期公式得出.
【详解】解：设的最小正周期为，由函数（）的图象上相邻两
个对称中心之间的距离为，知，，
又因为，所以，即，则．
故选：B．
【变式4-1】2. （2022·四川绵阳·统考模拟预测）若存在实数，使得函数(>0)的图象的一个对称中心为(，0)，则ω的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据正弦型函数的对称性进行求解即可.
【详解】由于函数的图象的一个对称中心为，所以，所以，
由于，则，
因为，所以可得：，
故选：C
【变式4-1】3. （2023·四川成都·川大附中校考模拟预测）已知函数的图象在上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据两角和的正弦公式和二倍角公式化简，再根据正弦函数的对称轴和对称中心可求出结果.
【详解】
,
当时，为常数，不合题意，
当， 时， ，
要使在上恰有一条对称轴和一个对称中心，
则，即，
当， 时，，
要使在上恰有一条对称轴和一个对称中心，
则，即.
故答案为：.
题型5零点与 取值范围问题
【例题5】（2023秋·山西大同·高三统考开学考试）已知函数的最小正周期为，若，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数的周期公式和求出，再根据余弦函数的图象可得结果.
【详解】由题意的最小正周期为T，则，
又，可得，即，
又，所以，
在区间上恰有3个零点，
当时，，
结合函数的图象如图所示：

则在原点右侧的零点依次为，，，，…，
所以，解得，即的取值范围为．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：根据余弦函数的图象求解是解题关键.
【变式5-1】1. （2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由得，根据题意得，进而可得的取值范围.
【详解】因为，所以，
因为在上没有零点，所以，解得.
又因为，所以.
故选：B
【变式5-1】2. （2022·全国·高三专题练习）已知函数（，）在区间上单调，且满足.
（1）若，则函数的最小正周期为 .
（2）若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】（1）由题可得对称中心，根据三角函数的性质结合条件判断的大概取值范围，再结合条件可得函数的对称轴即可得到的值从而得出最小正周期；
（2）根据函数的对称中心及的大概取值范围，结合三角函数的图象可得，从而解出.
【详解】因为函数在区间上单调，且满足，
∴对称中心为，
代入可得，，①
∵在区间上单调，且对称中心为，
又∵，，
∴在区间上单调，
∴， ，即，
∴.
（1）∵，
∴关于对称，代入可得，，②
①－②可得，，即，，又，
∴，；
（2）∵对称中心为，∴，
∵在区间上恰有5个零点，
∵相邻两个零点之间的距离为，五个零点之间即，六个零点之间即，
∴只需即可，
所以，又∵，
∴.
故答案为：；.
【变式5-1】3. （2022秋·山东临沂·高三校考期末）若函数在上恰有三个零点，则（ ）
A．的取值范围为
B．在上恰有两个极大值点
C．在上有极大值点
D．在上单调递增
【答案】AD
【分析】利用整体代换先求出在区间上的取值范围，再根据零点个数可求得的取值范围，可判断A；根据极值点定义可得在的极值点个数是由的取值决定的，可能有一个也可能有两个即可判断B；同理在上可能有极大值点，也可能没有，即C错误；由时，，可得在上单调递增可判断D.
【详解】由题可知，时，，
若函数在上恰有三个零点，根据三角函数图象性质可知解得，即选项A正确；
由可知，当时，，此时在上只有1个极大值点，
当时，，在上恰有两个极大值点；所以B错误；
当时，，
不妨取，此时，即当时，，由正弦函数图象性质可知在上没有极大值点；即C错误；
当时，，而，
所以当时，，由正弦函数图象性质可知在上单调递增，即D正确；
故选：AD.
【变式5-1】4. （2023·上海·高三专题练习）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为
【答案】
【分析】利用的图像与性质，直接求出函数的零点，再利用题设条件建立不等关系且，从而求出结果.
【详解】因为，由，得到，
所以或，
所以或，
又因为存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，所以
且，即且，解得.
故答案为：
【变式5-1】5.（2023·全国·高三专题练习）设，函数．若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据在上单调递增，结合正弦函数的单调性可得，从而可求得在上单调递增这个条件的范围，再根据函数与的图象有三个交点，则在上函数与的图象有两个交点，即方程在上有两个不同的实数根，从而可得第二个条件下的的范围，取交集即可得出答案，注意说明时，函数与的图象只有一个交点.
【详解】解：当时，，
因为在上单调递增，
所以，解得，
又因函数与的图象有三个交点，
所以在上函数与的图象有两个交点，
即方程在上有两个不同的实数根，
即方程在上有两个不同的实数根，
所以，解得，
当时，
当时，令，
由，
当时，，
此时，，
结合图象，所以时，函数与的图象只有一个交点，
综上所述，.
故选：B.
【变式5-1】6.（2020·全国·高三专题练习）函数，且，，若的图像在内与轴无交点，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】∵的图像在内与轴无交点
∴
∵
∴
∵由对称中心可知
∴
∵假设在区间内存在交点，可知
∴当时，
∴以上并集在全集中做补集，得
故答案为
点睛：本题采用了正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终的结果，对于否定性问题经常这样思考.
【变式5-1】7.（2022秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知函数的图象的两相邻零点之间的距离小于，为函数的极大值点，且，则实数的最小值为 .
【答案】13
【分析】利用辅助角公式化简的表达式，确定，结合求得以及的表达式，结合其平方和为1求得m的值，即可求得，从而可得的表达式，继而求得答案.
【详解】由题意得，（为辅助角），
由题意知，
为函数的极大值点，故，
即，故，
即，
因为，
故，即，
所以，
由于，故，
解得（），故，
则或，
即或，
则实数的最小值为13，
故答案为：13
【点睛】方法点睛：解答此类有关三角函数性质类的题目，要能综合应用三角函数性质，比如周期，最值以及对称性等，求得参数的通式，再结合其他性质即可求解答案.
题型6最值与 取值范围问题
【例题6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数．利用正弦型函数的性质的应用求出结果即可．
【详解】因为在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，
所以，所以．
令，当时，，
于是在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数．
由知，，，
因为在上恰有一个最大值点和一个最小值点，
所以解得．
答案：B.
【变式6-1】1. （2023秋·福建三明·高三三明一中校考开学考试）已知在上存在唯一实数使，又，且，则实数ω的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由三角恒等变换化简函数式，利用条件得出的最大值，从而求得值，然后利用正弦函数性质根据题中唯一解的条件求得的范围．
【详解】 ，∴，
又，∴的最大值是，
所以，又，所以，
∴，
时，又，∴，，
，是唯一的，因此有，解得．
故选：A．
【变式6-1】2. （2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考开学考试）若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数，由函数在上单调列式求解作答.
【详解】依题意，，函数的单调区间为，
由，而，得，
因此函数在区间上单调，
因为函数在区间内没有最值，则函数在区间内单调，
于是，则，解得，
由，且，解得，又，从而或，
当时，得，又，即有，当时，得，
所以的取值范围是.
故选：B
【变式6-1】3. （2023·河南信阳·高三统考期末）已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简函数的解析式，再依据题意列出关于的不等式组，即可求得的取值范围.
【详解】
由，可得
由在区间上恰好取得一次最大值，可得，解之得
又在区间上是增函数，则，解之得
综上，的取值范围是
故选：B
【变式6-1】4. （2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象在轴上的截距为，且在区间上没有最值，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】先求出，根据条件求出周期确定的大致范围，再根据函数的性质建立不等式确定的具体范围.
【详解】由题意可知，，且，则，又在区间上没有最值，，即；
先考虑在区间上存在最值，则，
即，又，即 ，即可取1，2，得；
由在区间上没有最值，可得；
故答案为：.
题型7极值与 取值范围问题
【例题7】（2023秋·湖南长沙·高三湘府中学校考开学考试）若函数在单调，且在存在极值点，则的取值范围为
【答案】
【解析】先通过函数在存在极值点，求出的范围，再根据在单调，求出和之间的不等关系，再结合已求出的的范围，得最终的范围.
【详解】解：因为函数在存在极值点，所以，即，
当，又在单调，
所以，即，
解得，只能取，即，
综上，，
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数的单调性和极值问题，关键是要建立关于和之间的不等关系，是中档题.
【变式7-1】1. （2021春·山东日照·高三统考期中）设函数，已知集合为的极值点，，若存在实数，使得集合中恰好有个元素，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先理解集合的含义，将问题转化为三角函数的周期进行求解．
【详解】集合表示函数在椭圆的内部或边界上的最值点的集合，
而最值点一定在直线上，且当时，
由得，
的周期，
因为存在实数，使得集合中恰好有个元素，
故，解得，
故选：A.
【点睛】思路点睛：对于三角函数有关的恒成立与有解问题，应根据问题的特征将前者转化为周期的性质来处理.
【变式7-1】2. （2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数在区间内恰有两个零点和一个极值点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】依题意首先求出的大致范围，进而确定的范围，根据题意结合正弦函数可得，即可求出ω的取值范围.
【详解】设函数的最小正周期为，
由正弦型函数可知：两个零点之间必存在极值点，两个极值点之间必存在零点，
则，则，
注意到，解得，
∵，则，
由题意可得：，解得，
故的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：
（1）根据正弦型函数的性质估算的范围；
（2）求的范围，结合正弦函数的图象与性质列式求解.
【变式7-1】3. （2023秋·四川绵阳·高三三台中学校考阶段练习）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若在上有且仅有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据题意得出函数，当时，，要使在上有且仅有3个极值点，需满足，解不等式即可.
【详解】由题可知，，当时，．
因为在上有且仅有3个极值点，所以，解得，
所以的取值范围为：．
故选：C.
【变式7-1】4. （2023秋·江苏苏州·高三统考期末）记函数（）的最小正周期为T，给出下列三个命题：
甲：；
乙：在区间上单调递减；
丙：在区间上恰有三个极值点．
若这三个命题中有且仅有一个假命题，则假命题是 （填“甲”、“已”或“丙”）；的取值范围是 ．
【答案】 甲
【分析】甲，利用三角函数的周期性求出；乙，利用三角函数的单调性求出；丙，利用函数的极值点定义求出，结合已知可知甲是假命题，进而求解.
【详解】对于甲，，即，解得；
对于乙，，，
由正弦函数的单调性得，解得，
又，故，又，则，故，且，
对于丙，，，
由正弦函数的极值点得，解得；
由这三个命题中有且仅有一个假命题，
假设乙是假命题，则甲、丙是真命题，但显然甲、丙矛盾，故该假设不成立；
假设丙是假命题，则甲、乙是真命题，但显然甲、乙矛盾，故该假设不成立；
所以假命题是甲，则乙、丙是真命题，取交集的取值范围是.
故答案为：甲，.
题型8新定义
【例题8】（2021·全国·高三专题练习）若函数的定义域存在，使成立，则称该函数为“互补函数”.若函数在上为“互补函数”，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】先化简得，再根据“互补函数”存在，，进而将问题转化为函数在区间上存在两个极大值点求解，易知，进而分，，三类情况讨论求解.
【详解】解：，
由“互补函数”的定义得：存在，，
所以令，则函数在区间上存在至少两个极大值点，
则，得.
当时，即，显然符合题意；
当时，分以下两种情况讨论，
当，即时，，即，所以；
当，即时，，即，所以.
综上，的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本题解题的关键在于根据“互补函数”的定义将问题转化为函数在区间上存在两个极大值点，进而分类讨论求解.考查三角函数的图象与性质，是难题.
【变式8-1】（2023春·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）设函数定义域为，对于区间，如果存在、，，使得，则称区间为函数的“保区间”.
（1）给出下面3个命题：
①是函数的“保区间”；
②是函数的“保区间”；
③是函数的“保区间”.
其中正确命题的序号为 .
（2）若是函数的“保区间”，则的取值范围为 .
【答案】 ③
【分析】（1）利用“保区间”的定义判断①②③，可得出结果；
（2）根据定义和余弦函数的性质可知存在、使得，分、两种情况讨论，可得出关于的不等式（组），综合可得出正实数的取值范围.
【详解】（1）对于①，对任意的，，
对任意的、，则，①错；
对于②，当时，，
不妨设、且，即，
所以，，则，②错；
对于③，假设存在、且，
使得，可得，
可取，满足条件，③对；
（2）当且，则，
若存在、且使得，则，
所以，存在、使得，
不妨设，即，
因为，所以，，所以，，
即在区间上存在两个不同的整数.
①当时，即当时，区间上必存在两个相邻的整数，合乎题意；
②当时，，而、为偶数，则、，
当时，则，解得，
当时，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：（1）③；（2）.
【点睛】关键点点睛：本题第（2）问根据新定义求的取值范围，在讨论时，要确定、的取值，进而可得出关于的不等式组，进而求解.
1.（2023·河南·统考三模）已知函数，其中，若函数满足以下条件：
①函数在区间上是单调函数；②对任意恒成立；
③经过点的任意直线与函数恒有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得到函数的周期为，由②得到是函数的一条对称轴，结合①可知，，再结合②和③即可求解.
【详解】由函数可知，函数的周期为，
由条件②对任意恒成立，可知是函数的一条对称轴，
结合条件①函数在区间上是单调函数，则有
，又，解得，即，
又因为，故，解得，又，
从而或.
当时，；当时，，
由②对任意恒成立，，则，由③经过点的任意直线与函数恒有交点，得，解得，易知，，，
此时由，可得，从而，
由或，得或，
所以或，
故选：A.
【点睛】根据三角函数的单调性和对称轴求参数，研究三角函数的性质基本思想将函数看成的形式，根据整体思想来研究相关性质.
2. （2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由函数在区间不单调，转化为在上存在对称轴，求出对称轴方程，建立不等式组求解即可.
【详解】已知，
令，解得
则函数对称轴方程为
函数在区间不单调，
，解得，
又由，且，得，
故仅当时，满足题意.
故选：C.
3. （2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据为任意实数，转化为研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，求出函数在轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，根据相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，列式可求出结果.
【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，
令 ，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，
故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，
所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，
即，解得.
故选：C
【点睛】关键点点睛：在求解复杂问题时，要善于将问题进行简单化，本题中的以及区间是干扰因素，所以排除干扰因素是解决问题的关键所在.
4. （2023·江西·校联考模拟预测）已知函数，在上有且仅有2个极小值点，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化简的解析式，根据极小值点与三角函数最小值点的对应关系求得正确答案.
【详解】，
由于，所以，
要使在上有且仅有2个极小值点，
则，即．
故选：D
5. （2023·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考模拟预测）已知函数的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将点代入，求得，由在区间内不存在最值，得是单调区间的真子集，利用数轴法得到不等式组，解之即可得到的取值范围.
【详解】因为函数过点，
所以，即，故，
因为，所以，故，
由得，所以的单调递增区间为，
同理：的单调递增区间为，
因为在区间内不存在最值，所以是单调区间的真子集，
当时，有，解得，即，
又因为，，显然当时，不等式成立，且；
当时，有，解得，即，
又因为，，显然当时，不等式成立，且；
综上：或，即
故选：D.
6. （2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先由零点个数求出，再用整体法得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】因为，，其中，解得：，
则，要想保证函数在恰有三个零点，
满足①，，令，解得：；
或要满足②，，令，解得：；
经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，
综上：的取值范围是.
故选：C.
【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定的范围，本题中就要根据零点个数，先得到，从而求出，再进行求解.
7. （2023·江西鹰潭·统考一模）设函数在区间恰有3个极值点，2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，利用余弦函数的图象和性质，求得的取值范围.
【详解】函数在区间恰有3极值点，2个零点，
在恰有3个零点，
又函数在区间恰有2零点，
由于，则，
故问题转化为在上有3个零点，在上有2个零点，
结合正余弦函数图象可得：，故.
故选：C.
.
.
8. （2023·广东佛山·统考一模）已知函数（其中，）.T为的最小正周期，且满足.若函数在区间上恰有2个极值点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意可得为的一条对称轴，即可求得，再以为整体分析可得，运算求解即可得答案.
【详解】由题意可得：的最小正周期，
∵，且，则为的一条对称轴，
∴，解得，
又∵，则，
故，
∵，则，
若函数在区间上恰有2个极值点，则，解得，
故的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识
(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．
(2)整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．
①令ωx＋φ＝，可求得对称轴方程．
②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．
③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．
(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A