数学人教版（2024）第十章 二元一次方程组10.3 实际问题与二元一次方程组第3课时教学设计及反思

这是一份数学人教版（2024）第十章 二元一次方程组10.3 实际问题与二元一次方程组第3课时教学设计及反思，共3页。教案主要包含了素养目标，教学重点，教学难点，教学过程，作业布置等内容，欢迎下载使用。
【素养目标】
1.会用列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组.
2.进一步经历用二元一次方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
3.培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值.
【教学重点】用列表的方式分析题目中各个量的关系.
【教学难点】借助列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系.
【教学过程】
活动一：旧知回顾，新课导入
[设计意图]
以经济问题为例，列出二元一次方程，进而引入新课.
填一填：
(1)某工厂去年的总产值是x万元，今年的总产值比去年增加了20% ，则今年的总产值是(1＋20%)x万元；
(2)若该厂去年的总支出是y万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出是(1－10%)y万元；
(3)若该厂今年的利润比去年增加了50%，则结合(1)(2)可列方程为(1＋20%)x－(1－10%)y＝(1＋50%)(x－y).
在上册我们已经学习了用一元一次方程解决销售问题，本节课我们将探究学习如何用二元一次方程组解决实际销售问题.
[教学建议]教师引导学生回顾销售利润相关公式，将填空补充完整，引入本节课对销售问题的探究.
活动二：问题引入，自主探究
[设计意图]
以教材探究题为例，引入销售问题，运用间接设元法解决实际问题.
探究点 调配问题
例1 (教材P103探究3)如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连.这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地.已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/(t·km)，铁路运价为0.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费5 200元，铁路运费16 640元.那么这批纺织面料的销售额比原料费(原料费只计长绒棉的价格)与运输费的和多多少元？
我们通过问题串的形式一起来探究下：
问题1 本题最终要解决的问题是什么？
纺织面料的销售额－(原料费＋运输费)＝？，即求这批纺织面料的净利润.
问题2 销售额、原料费、运输费各是多少？它们与哪些量有关？是什么关系？
销售额和原料费无法直接求出，运输费为(5 200＋16 640)元.
①销售额＝产品数量×产品单价，
②原料费＝原料数量×原料单价，
③运输费＝运价×货物质量×路程.
上述相等关系中，产品数量和原料数量为未知量.
问题3 我们设购买x t长绒棉，制成y t纺织面料.请根据题中数量关系填写下表：
问题4 根据上表中运费之间的关系，列出方程组，求出未知数的值.
根据题意，得0.5（10x＋20y）＝5 200，0.2（120x＋110y）＝16 640.
整理，得x＋2y＝1 040，12x＋11y＝8 320.解这个方程组，得x＝400，y＝320.
问题5 求这个实际问题的最终答案.
42 500×320－30 800×400－5 200－16 640＝1 258 160(元).
因此，这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多1 258 160元.
[对应训练]
1.教材P104练习第1，2题.
2.如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的路程是到A地路程的2倍.该食品厂从A地收购一批食材运回食品厂，全部加工成食品(制作过程中有损耗)运到B地销售，两次运输(第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地)共支出公路运费15 600元，铁路运费20 600元.已知公路运费为1.5元/(t·km)，铁路运费为1元/(t·km).
(1)这家食品厂到A，B两地的路程分别是多少千米？
(2)若这家食品厂此次收购的食材每吨花费5 000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863 800元，则这批食品每吨的售价应为多少元？(利润＝总售价－总成本－总运费)
解：(1)设这家食品厂到A地的路程是x km，到B地的路程是y km.
根据题意，得x＋y＝20＋100＋30，y＝2x.解这个方程组，得x＝50，y＝100.
答：这家食品厂到A地的路程是50 km，到B地的路程是100 km.
(2)食品厂到A地的铁路路程为50－20＝30(km)，食品厂到B地的铁路路程为100－30＝70(km).
设这家食品厂此次收购食材m t，销售食品n t.
根据题意，得1.5×（20m＋30n）＝15 600，1×（30m＋70n）＝20 600.解这个方程组，得m＝220，n＝200.
这批食品每吨的售价应为(863 800＋15 600＋20 600＋220×5 000)÷200＝10 000(元).
答：要想该批食品销售完后工厂共获利863 800元，则这批食品每吨的售价应为10 000元.
[教学建议]教师带领学生共同完成问题1～3，分析出题中各个量之间的相等关系并用含未知数的式子表示出关键量，之后由学生独立完成问题4和5.注意强调：当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，可把关键量设为间接未知数列方程组求解，再求得问题的答案.对于数量关系比较复杂的应用题，可采用列表法进行分析，进而列出方程.
活动三：知识延伸，举一反三
[设计意图]
以实际问题为例，引入行程问题.例2 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，上坡路每分钟走40 m，则他从家里到学校需10 min，从学校到家里需15 min.小华家离学校多远？
问题1 请分析小华从家到学校和从学校到家的路况.
如图，小华家到学校的路程分为两段：平路与坡路.小华从家到学校的路况是先走平路再走下坡路；小华从学校到家的路况是先走上坡路再走平路.
问题2 为什么题干中从家到学校和从学校到家所花费的时间不一样？
因为去学校时的坡路是下坡，回家时的坡路是上坡，坡路的路程固定，但下坡和上坡的速度不一样，所以花费的时间也不一样，故往返花费的时间不一样.
问题3 该问题应如何设元？
设小华家到学校平路长x m，坡路长y m.
问题4 请找出题中的相等关系，并用含x，y的等式表示出来.
①往：走平路的时间＋走下坡的时间＝10 min，即x60＋y80＝10；
②返：走上坡的时间＋走平路的时间＝15 min，即y40＋x60＝15.
问题5 请写出完整的解答过程.
解：设小华家到学校平路长x m，坡路长y m.
根据相等关系，得x60＋y80＝10，y40＋x60＝15.
解这个方程组，得x＝300，y＝400.
小华家到学校的路程为300＋400＝700(m).
答：小华家离学校700 m远.
[对应训练]
教材P104练习第3题.
[教学建议]学生独立思考作答，教师统一答案.本题的重点在于分析出往程的下坡在返程会变成上坡，结合对应的速度即可表示出相应路段所花费的时间，进而由相等关系构建出方程组.虽然往返时，上下坡会发生转换，但对应路段的路程始终是不变的.
活动四：随堂训练，课堂总结
[课堂总结]师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
在用二元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数？可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系？
【作业布置】
1.教材P105习题8.3第2，7，8题.