新高考数学二轮复习核心专题讲练第3讲 双曲线（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：双曲线的定义及其应用
突破二：求双曲线的轨迹方程
突破三：双曲线的渐近线
突破四：双曲线的离心率
突破五：双曲线中焦点三角形
突破六：双曲线中中点弦问题
突破七：双曲线弦长及面积
突破八：双曲线中定点，定值问题
突破九：双曲线中定直线问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、双曲线的定义
（1）定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
（2）集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
（3）说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
①若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
②若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
2、双曲线的简单几何性质
3、等轴双曲线
（，）当时称双曲线为等轴双曲线
①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为；
④等轴双曲线的方程，；
4、直线与双曲线的位置关系
（1）代数法：设直线，双曲线联立解得：
①时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
②时，
存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若，
时，，直线与双曲线相交于两点；
时，，直线与双曲线相离，没有交点；
时，直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
5、弦长公式
（1）直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则

为直线斜率
（2）通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.
6、双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
7、双曲线中点弦的斜率公式
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
第二部分：重难点题型突破
突破一：双曲线的定义及其应用
1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离为（ ）
A．2B．10C．14D．2或10
2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知，点满足方程，且有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））设为椭圆和双曲线的一个公共点，且在第一象限，是的左焦点，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·江西·模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，过点作渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·青海西宁·二模（文））设双曲线的左焦点为，点为双曲线右支上的一点，且与圆相切于点，为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A．B．1C．D．2
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（理））已知双曲线的离心率为，其左，右焦点分别为，过且与x轴垂直的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为___________.
9．（2022·河北邯郸·一模）已知点在双曲线的右支上，，动点满足，是双曲线的右焦点，则的最大值为___________.
突破二：求双曲线的轨迹方程
1．（2022·湖南·长沙一中高二期中）已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·湖北省天门外国语学校高二阶段练习）直线和上各有一点（其中点的纵坐标分别为且满足），的面积为4，则的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·云南省玉溪第一中学高三开学考试）方程－＝12的化简结果为（ ）
A．－＝1B．－＝1C．－＝1(x＞0)D．－＝1(x＞0)
4．（2022·全国·高二课时练习）动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）已知椭圆的方程为，其左､右顶点分别为，一条垂直于轴的直线交椭圆于两点，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为___________.
6．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为______．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，以为一个焦点作过，的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程是________.
突破三：双曲线的渐近线
1．（2022·福建·莆田二中高二阶段练习）已知双曲线的一个焦点为，则双曲线C的一条渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东省实验中学高二阶段练习）与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·贵州·高三阶段练习（理））点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·上海松江·一模）已知，是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段的延长线交于点，是坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为______
5．（2022·江苏连云港·高二期中）已知双曲线的左､右焦点分别为为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且，则的渐近线方程为__________.
突破四：双曲线的离心率
1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别是，，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的值是（ ）
A．B．2C．D．3
2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别是，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江西·南昌二中高二阶段练习）已知，分别为双曲线C：左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·上海宝山·一模）双曲线C的左、右焦点分别为、，点A在y轴上.双曲线C与线段交于点P，与线段交于点Q，直线平行于双曲线C的渐近线，且，则双曲线C的离心率为______.
5．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知直线与双曲线相交于两个不同的点，且双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．
突破五：双曲线中焦点三角形
1．（2022·陕西·乾县第二中学高二阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的左､右两支分别交于两点，，则实数（ ）
A．B．C．2D．4
2．（2022·福建省永泰县城关中学高二期中）设，是双曲线C：的两个焦点，O为坐标原点，点P在C的渐近线上，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·辽宁沈阳·高二期中）是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线的左、右焦点分别为，点为圆与此双曲线的一个公共点，则的面积（ ）
A．有最大值4B．有最小值2C．为D．为
5．（2022·全国·高二单元测试）双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（ ）
A．B．C．32D．42
突破六：双曲线中中点弦问题
1．（2022·浙江·高二阶段练习）已知双曲线，过点的直线与该双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．该直线不存在
2．（2022·四川·射洪中学高二期中）直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．（2022·全国·高三专题练习）过点作直线l与双曲线交于P，Q两点，且使得A是的中点，直线l方程为（ ）
A．B．2x+y-3=0C．x=1D．不存在
4．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点的直线与双曲线交两点，且线段的中点坐标为，则双曲线方程是_______________.
5．（2022·全国·高二课时练习）点平分双曲线的一条弦，则这条弦所在直线的方程一般式为_________________.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是______.
突破七：双曲线弦长及面积
1．（2022·四川·简阳市阳安中学高二阶段练习（理））已知双曲线：与双曲线的渐近线相同，且经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知双曲线的左､右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.
2．（2022·上海市闵行区教育学院附属中学高二期末）已知双曲线的渐近线为，左焦点为经过点的直线交双曲线于两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线在轴上截距为2，求；
(3)若的中点横坐标为1，求直线的方程．
3．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））已知双曲线C：的离心率为，实轴长为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求m的值.
4．（2022·湖北·高二阶段练习）已知双曲线的焦距长为8.
(1)求的方程；
(2)若，过点的直线交于两点，若，求直线的方程.
5．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））已知双曲线的渐近线方程为，且经过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积．
6．（2022·上海市延安中学高三阶段练习）已知双曲线中，，虚轴长为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点，倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积.
7．（2022·福建省南安国光中学高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，焦距为．点在第一象限的双曲线上，过点作双曲线切线与直线交于点．
(1)证明：；
(2)已知斜率为的直线与双曲线左支交于 两点，若直线，的斜率互为相反数，求的面积．
突破八：双曲线中定点，定值问题
1．（2022·上海市朱家角中学高一期末）已知双曲线的一条渐近线方程，原点到过、点的直线的距离为．
(1)求双曲线方程；
(2)过点能否作直线，使与已知双曲线交于两点、，且是线段的中点？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
2．（2022·广东·广州市第十七中学高三阶段练习）已知双曲线，四点中恰有三点在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为A．证明：直线AQ过定点．
3．（2022·河南新乡·一模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足直线AC与直线BC的斜率乘积为3．
(1)求动点C的轨迹方程E．
(2)过点作直线l交曲线E于P，Q两点（P，Q在y轴两侧），过原点O作直线的平行线交曲线E于M，N两点（M，N在y轴两侧），试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
4．（2022·江西·赣州市第三中学高二期中）已知双曲线（，）的左焦点坐标为，直线与双曲线交于，两点，线段中点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)经过点且与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，，点，直线，与双曲线分别交于另一点，，若直线与直线的斜率都存在，并分别设为，.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
5．（2022·河南商丘·高二期中（理））椭圆与双曲线之间有许多优美的对称性质，已知椭圆和双曲线
(1)设AB是双曲线的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为弦AB的中点，O为坐标原点，则为定值.类比双曲线的性质：若AB是椭圆的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，试猜想的值，并证明；
(2)设椭圆交x轴于A，B两点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，则为定值，类比椭圆的性质：若双曲线交x轴于A，B两点，点P是双曲线上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交y轴于点M，N，试猜想的值，并证明.
突破九：双曲线中定直线问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知双曲线的一个顶点是，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知点F是双曲线的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））若直线与双曲线的一条渐近线垂直，则a的值为（ ）
A．B．4C．D．2
4．（2022·河北·模拟预测（理））已知双曲线经过点，且右焦点到其渐近线的距离为4，双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）已知是双曲线的左右焦点，直线过与抛物线的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，则（ ）
A．B．C．4D．
6．（2022·广西广西·模拟预测（理））双曲线的左右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则当取到最小值时，双曲线离心率为（ ）
A．B．2C．3D．6
7．（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））已知双曲线的左右焦点分别为，P是双曲线上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，三角形的内切圆在边上的切点为Q，双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，且直线l的倾斜角为，则的值为（ ）
A．2B．3C．D．
二、多选题
9．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知双曲线经过点，则（ ）
A．的实轴长为B．的焦距为
C．的离心率为D．的渐近线方程是
10．（2022·重庆八中模拟预测）已知点，，若某直线上存在点P，使得，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．（2022·全国·大化瑶族自治县高级中学模拟预测（文））若圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为___________.
12．（2022·上海闵行·二模）已知双曲线的实轴为，对于实轴上的任意点，在实轴上都存在点，使得，则双曲线的两条渐近线夹角的最大值为___________；
13．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知双曲线：的左、右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则________.
四、解答题
14．（2022·陕西·咸阳市高新一中模拟预测（文））已知焦点在轴上的双曲线经过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，求弦长．
15．（2022·河南新乡·一模（理））在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足直线AC与直线BC的斜率乘积为3．
(1)求动点C的轨迹方程E．
(2)过点作直线l交曲线E于P，Q两点（P，Q在y轴两侧），过原点O作直线的平行线交曲线E于M，N两点（M，N在y轴两侧），试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
16．（2022·福建漳州·三模）已知圆，圆，动圆P与圆，圆都外切．圆心P的轨迹为曲线C
(1)求C的方程；
(2)已知A，B是C上不同的两点，AB中点的横坐标为2，且AB的中垂线为直线l，是否存在半径为1的定圆E，使得l被圆E截得的弦长为定值，若存在，求出圆E的方程；若不存在，请说明理由
标准方程
（）
（）
图形
性质
范围
或
或
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
，
,
渐近线
离心率
，，
a，b，c间的关系