新高考数学三轮冲刺练习查补易混易错点02 不等式（2份，原卷版+解析版）

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均值不等式及其应用求最值求取值范围等
函数恒成立存在求参题型的应用
利用函数性质，利用求导比大小时不等式综合应用
课标全国卷的线性规划及其应用
易错点1：忽视（漏）运用均值不等式是否满足“一正二定三相等”
易错点2：忽视（漏）连续使用均值不等式是否保证相等一致
易错点3：忽视（漏）不等式性质正确应用
易错点4：忽视（漏）在求解转化不等式时保持“等价”
易错点5：忽视（漏）一元二次不等式轴与定义域区间的关系
易错点6：忽视（漏）解分式不等式时直接把分布当“正数”去分母
易错点7：忽视（漏）对形如[a，b]范围取绝对值时直接定为[|a|，|b|]
易错点8：忽视（漏）对含参数不等式讨论时分类不当讨论不当
易错点9：忽视（漏）线性规划开放性区域图形的“平行线”特性
易错点10：忽视（漏）恒成立（存在）求参时“取大还是取小”的依据
易错点11：忽视（漏）不等式恒成立（存在）求参时主变量与参变量的选择
一、单选题
1．（2023春·高三模拟）已知是定义在上的周期为3的偶函数，若，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和周期性将条件进行转化，利用不等式的解法即可得到结论．
【详解】由是定义在上的周期为3的偶函数，
则，
即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
2．（上海·高考真题）已知集合，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解绝对值不等式可得集合M，解分式不等式可得集合P，即可求得.
【详解】集合，解绝对值不等式，可得，
集合，解分式不等式，可得，
则，
故选：B.
【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，绝对值不等式与分式不等式的解法，属于基础题.
3．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分式不等式的解法和对数函数定义域的求法求出集合，再求其交集即可.
【详解】，
因此.
故选：C.
4．（2023·北京·统考模拟预测）已知实数x，y满足，，则的最小值为（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】C
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，将目标函数对应的直线进行平移，找到取最小值的点即可计算．
【详解】作出不等式组表示的平面区域，得如图所示及其内部，
将直线平移，当直线经过点时，目标函数有最小值，最小值为.
故选：C
5．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意知是方程的两实数根，由韦达定理可求出，代入不等式中，解不等式即可求出答案.
【详解】由不等式的解集为，
知是方程的两实数根，
由根与系数的关系，得，解得：，
所以不等式可化为，解得：或，
故不等式的解集为：.
故选：D.
6．（2023·全国·高三专题练习）若实数，满足，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质，通过逐一分析判断各选项，即可判断出结果.
【详解】对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，因为，当时，，故B错误；
对于C，因为，所以，，所以，即，即，故C正确；
对于D，若，显然有，故D错误．
故选：C．
7．（2022北京·高三强基计划）设x，y，z是大于零的实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式可求代数式的最大值.
【详解】设题中代数式为M，则
，
等号当
故选：A.
8．（2021·浙江·统考高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
二、多选题
9．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，先变形后利用基本不等式进行求解.
【详解】A选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，A正确；
B选项，因为a，b都是正实数，故，
当且仅当，即时，等号成立，B错误；
C选项，，故恒成立，C正确；
D选项，a是正实数，故，其中，
故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.
故选：AC
10．（2023春·浙江金华·高三校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则不是等边三角形
【答案】ABD
【分析】A .利用大角对大边以及正弦定理边化角来判断；
B.利用以及余弦函数的性质来判断；
C.先利用正弦定理边化角，然后利用倍角公式变形得关系，进而可得三角形的形状；
D.直接根据来判断.
【详解】对于A：，，由正弦定理可得，A正确；
对于B：在锐角中，，，，B正确；
对于C：在中，若，由正弦定理可得，
，或，或，则是等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D：在中，若，则不是等边三角形，D正确.
故选：ABD.
11．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（ ）
A．函数是R上的减函数B．函数是奇函数
C．若，则的解集为D．函数()+为偶函数
【答案】ABC
【分析】利用单调性定义结合可判断A；利用特殊值求出，从而证明可判断B，根据条件求出，进而利用单调性解不等式可判断C，利用奇偶性的定义可判断D.
【详解】设，且，，则，
而
，
又当时，恒成立，即，，
函数是R上的减函数，A正确；
由，
令可得，解得，
令可得，即，而，
，而函数的定义域为R，
故函数是奇函数，B正确；
令可得，解得，
因为函数是奇函数，所以，
由，可得，
因为函数是R上的减函数，所以，C正确；
令，易知定义域为R，
因为，显然不恒成立，所以不是偶函数，D错误.
故选：ABC.
12．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有两个极值点
B．若关于的方程恰有1个解，则或
C．函数的图像与直线可能有2个交点
D．若，且，则存在最小值
【答案】ABD
【分析】化简函数，作出图像，根据图像分析选项A，.根据方程根与零点关系结合图像即可分析选项B，由图像交点的条件及图像分析构造函数，利用函数导数分析即可得选项C，选项D结合条件利用构造函数对函数求导，利用导数分析即可求得的最小值.
【详解】由函数，
可得，
则函数的图像如图所示：
对于A选项，由图可知，和是函数的两个极
值点，故A正确；
对于B选项，若函数恰有1个零点，
即函数与的图像仅有一个交点，可得或，
故B正确；
对于C选项，因为函数在点处的切线为，
函数在处的切线为，
如图中虚线所示，易知当，即时，
的图像与直线恰有一个交点；
当，即时，
令，得，
令，
则，
由二次函数的图像及零点存在定理可知，
方程有且只有一个实数根；
当，即时，
令，
设，
则（仅当时取等号），
即函数在上单调递增，
由于，
，
所以函数有且仅有一个实数根；
故C错误.
对于D选项，由，
则，
则，
设，
则，
设，
所以
当时，，
所以在上单调递增，
且，所以存在，
使，且当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以存在最小值，
故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
13．（2020·山西临汾·统考模拟预测）已知为实数，则下列各式是的充分不必要条件的有______．（只需填序号）
①；②；③；④．
【答案】①
【分析】根据充分条件与必要条件的概念，以及不等式的性质，逐项判断，即可得出结果.
【详解】等价于；
①若，则，，所以能推出；
但由，只能得到同号，故是的充分不必要条件；
②由可得，不能推出，故不是的充分条件；
③若，当时，无意义；当时，可得：，因此或，
因此由不能推出，即不是的充分条件；
④若，当时，无意义，故不是的充分条件；
故答案为：①.
【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，涉及不等式的性质，属于基础题型.
14．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知实数，满足，且，则的取值范围是________.
【答案】
【分析】根据不等式的性质判断与的大小关系是否满足不等式，从而可结合线性规划求目标函数的取值范围.
【详解】实数，满足，且，
若，则，所以，又，所以，
则，即，则，所以与已知矛盾，
故，要满足，则，
即，满足该二元一次不等式的平面区域如下图所示：
设目标函数为，则，故直线的纵截距的取值范围即可得的取值范围，
由可行域可得直线经过时得纵截距的最大值，无最小值，又，所以，故，
所以的取值范围是.
故答案为：.
15．（2021·河南·校联考模拟预测）已知关于的方程有两个实根，，则下列不等式中正确的有______.（填写所有正确结论的序号）
①； ②
③； ④.
【答案】①
【分析】解方程得到，，，再利用作差法和基本不等式得解.
【详解】因为，所以或，
所以或，
因为关于的方程有两个实根，，
所以，，
对于①②，
，
所以，所以①正确，②错误.
对于③④，，
因为.
,
所以或者.
所以③④错误.
故答案为：①
16．（2021·全国·统考模拟预测）已知不为的正实数满足则下列不等式中一定成立的是 _____.（将所有正确答案的序号都填在横线上）
①；② ；③；④；⑤．
【答案】④⑤.
【分析】根据对数函数单调性先分析出的大小关系，然后结合函数性质以及不等式的性质逐项分析.
【详解】因为且不为，由对数函数的单调性可知，
①当时，，所以，故①不一定成立；
②因为，由指数函数的单调性可知,故②不成立；
③当时，，所以，故③不一定成立；
④因为，所以，故④一定成立；
⑤因为，所以，故⑤一定成立；
故答案为：④⑤.