回归教材重难点01 数列-【查漏补缺】2022年高考数学（理）三轮冲刺过关

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回归教材重难点01 数列 数列一般作为高考全国卷第17题或第18题，数列作为高中数学学科的主干内容，又是历年来是高考重点考查内容之一，经常以其作为载体考查学生分析问题、构建数学模型、解决问题的能力.但是考查内容又比较侧重基本公式的应用和基础运算能力，所以掌握数列的常见题型及解题策略尤为重要.而作为数列解答题目的考查，命题立意相对稳定，难度上多为中档题目.若在学习过程中掌握了典型题型的解题方法，就可以在高考中顺利地解决数列问题.数列主要考查以下题型：(1)等差数列与等比数列的综合；(2)求解数列的通项和前项和；(3)数列的综合.1.判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下.(1)定义法：对于的任意正整数：①若为一常数，则为等差数列；②若为常数，则为等比数列.(2)通项公式法：①若，则为等差数列；(2)若，则为等比数列.(3)中项公式法：①若，则为等差数列；②若，则为等比数列.(4)前项和法：若的前项和满足：①，则为等差数列.②，则为等比数列.2.常见求解数列通项公式的方法有如下六种：(1)观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式.(2)累加法：形如的解析式.(3)累乘法：形如(4)公式法(5)取倒数法：形如的关系式(6)构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差(比)数列构造为等差(比)数列来求通项公式.3.求数列前项和的常见方法有以下四种.(1)公式法：利用等差、等比数列的前项和公式求数列的前项和.(2)裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.其方法核心有两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消.常见的裂项相消变换有以下形式.①分式裂项：；②根式裂项：；③对数式裂项；④指数式裂项4.几种常见的数列放缩方法：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）.【真题演练】1．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【解析】【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.2．（2021·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.【详解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于为数列的前n项积，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以数列是以为首项，以为公差等差数列;[方法二]【最优解】： 由已知条件知       ①于是．            ②由①②得．        ③又，            ④由③④得．令，由，得．所以数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法三]：   由，得，且，，．又因为，所以，所以．在中，当时，．故数列是以为首项，为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法   由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．下面用数学归纳法证明．当时显然成立．假设当时成立，即．那么当时，．综上，猜想对任意的都成立．即数列是以为首项，为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，,,当n=1时，,当n≥2时,,显然对于n=1不成立,∴.【整体点评】（1）方法一从得，然后利用的定义，得到数列的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从的定义，替换相除得到，再结合得到，从而证得结论，为最优解；方法三由，得，由的定义得，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列，然后利用数学归纳法证得结论．（2）由（1）的结论得到，求得的表达式,然后利用和与项的关系求得的通项公式；3．（2021·全国·高考真题（理））已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】证明过程见解析【解析】【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+与关系式设，则，当时，；当时，；因为也是等差数列，所以，解得；所以，，故.[方法二] ：待定系数法设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，则，将代入，化简得对于恒成立．则有，解得．所以．选①③作条件证明②：因为，是等差数列，所以公差，所以，即，因为，所以是等差数列.选②③作条件证明①：[方法一]：定义法设，则，当时，；当时，；因为，所以，解得或；当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；当时，，不合题意，舍去.综上可知为等差数列.[方法二]【最优解】：求解通项公式因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论.4．（2021·全国·高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然为偶数，则，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知，所以．由（为奇数）及（为偶数）可知，数列从第一项起，若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以，则．[方法三]：累加法由题意知数列满足．所以，，则．所以，数列的通项公式．（2）[方法一]：奇偶分类讨论．[方法二]：分组求和由题意知数列满足，所以．所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列的前20项和为：．【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.5．（2020·全国·高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．【答案】（1），，，证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即．证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；［方法二］：构造法由题意可得，．由得．，则，两式相减得．令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以．［方法三］：累加法由题意可得，．由得，即，，……．以上各式等号两边相加得，所以．所以．当时也符合上式．综上所述，．［方法四］：构造法，猜想．由于，所以可设，其中为常数．整理得．故，解得．所以．又，所以是各项均为0的常数列，故，即．（2）由（1）可知，［方法一］：错位相减法，①，②由①②得：，即.［方法二］【最优解】：裂项相消法，所以．［方法三］：构造法当时，，设，即，则，解得．所以，即为常数列，而，所以．故．［方法四］：因为，令，则，，所以．故．【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列的部分项从而归纳得出数列的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；方法二：根据递推式，代换得，两式相减得，设，从而简化递推式，再根据构造法即可求出，从而得出数列的通项公式；方法三：由化简得，根据累加法即可求出数列的通项公式；方法四：通过递推式求出数列的部分项，归纳得出数列的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成，求出，从而可得构造数列为常数列，即得数列的通项公式．（2）方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；方法三：由时，，构造得到数列为常数列，从而求出；方法四：将通项公式分解成，利用分组求和法分别求出数列的前项和即可，其中数列的前项和借助于函数的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算．6．（2020·全国·高考真题（理））设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，，；（2）设的前项和为，，，①，②①②得，，.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.【好题演练】1．（2022·全国·模拟预测（理））已知等比数列的公比，且，设数列的前项和为．(1)证明：；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）利用等比数列求和公式化简直接可证；（2）写出数列与的通项公式，利用裂项相消法求和.(1)证明：由已知得，且，所以，所以；(2)由数列为等比数列，且，所以，则，所以.2．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知等差数列公差不为零，，，数列各项均为正数，，．(1)求数列，的通项公式；(2)若恒成立，求实数的最小值．【答案】(1)，(2)【解析】【分析】（1）求数列的通项公式，根据等差数列，利用基本量计算即可求解，求数列的通项公式，先因此分解，得到数列为等比数列后可求解；（2）根据（1）得，再令，再研究其单调性可求解.(1)设等差数列的公差为d，由条件，解得，或，∵，∴∴∵，∴，∵，∴又，∴，∴，∴是以1为首项，为公比的等比数列．∴(2)∵，∴，即，即恒成立，设，则，即时；时；时，∴或5时，为的最大项．∴，故实数的最小值为．3．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，若，则正整数n的最小值．【答案】(1)；(2)11﹒【解析】【分析】(1)利用累乘法可求数列的通项公式；(2)利用错位相减法求出，代入求解不等式即可.(1)当时，，则，即，，n＝1也满足上式，故；(2)①，②，①－②得，∴，代入，得，化简得．∵，∴正整数n的最小值为11．4．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前2n项的和【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用累乘法求得数列的通项公式；（2）利用分组求和法求得.(1)∵，，，∴，∴，∴，，，…，，将上述式子左右分别相乘得，∴．∵满足上式，∴．(2)∵，令，，的前项和为，的前项和为，∴，，∴．5．（2022·全国·模拟预测（理））已知正项数列的前n项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由得出数列是等差数列，从而易得通项公式；（2）按的奇偶性分类讨论，在为偶数时，并项利用因式分解再由等差数列的前项和公式计算，为奇数时，由计算可得．(1)时，，又，解得，由得，时，，两式相减得，，又，所以，是等差数列，所以；(2)由（1），，，为偶数时，，为奇数时，，所以．6．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）当时，有，两式作商求得，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法求得，进而求得，再根据的单调性，即可求解.(1)解：数列满足，且，当时，有，两式作商，可得，又由，得.(2)解：当时，，当时，，所以对任意的，均有，则，可得②，两式相减可得，求得，由，可得，令，则，因为，所以，即随着增大，减小，所以．7．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））设数列{an}的前n项和为Sn，且满足，{bn}是公差不为0的等差数列，b1＝1，b4是b2与b8的等比中项．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)对任意的正整数n，设，求数列{cn}的前2n项和T2n．【答案】(1)，bn＝n(2)T2n【解析】【分析】（1）根据求得；求得的公差，由此求得.（2）利用分组求和法求得.(1)在中，令n＝1得3a1﹣2a1＝2，∴a1＝2，当时，3an﹣1﹣2Sn﹣1＝2，∴3an﹣3an﹣1＝2Sn﹣2Sn﹣1＝2an，即an＝3an﹣1，∴，∴数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴，设{bn}的公差为d，由题意可得，即（1+3d）2＝（1+d）（1+7d），整理得d2﹣d＝0，解得d＝1或0（舍去），∴．(2)由题意可得，∴T2n＝（3+5+…+2n+1）+2（31+33+35+…+32n﹣1） ＝n（n+2）．8．（2022·四川达州·二模（理））已知数列满足，，为的前n项和.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和满足对一切正奇数n恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可得数列是首项为1，公差为2的等差数列，即求；（2）由题可得当 n为奇数时，，进而可得对一切正奇数n恒成立，即得.(1)∵，，∴，∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴；(2)由题可得，∴，∴，n为奇数，∴当 n为奇数，且时，，当时，也适合，故当 n为奇数时，， 又对一切正奇数n恒成立，∴对一切正奇数n恒成立，又，∴.9．（2022·四川宜宾·二模（理））在①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知数列的前项和为，满足___________.记数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)求证：.注：如果两个条件都选择作答，则按照第一个解答评分.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）选择①则利用退位相减法求，选择②则先求，再求（2）利用裂项相消法先求，所要证明的不等式右端可以通过放缩证明，左端利用的单调性可证.(1)选择①由有当时，，解得当时，，所以，即，两边各项同除以得（），当时经检验当时，也成立，故选择②由所以或，所以舍去当时，，当时，，当时，符合上式，(2)选择①由（1）知，已知另一方面，是关于的增函数，综上有：选择②由（1）知另一方面，是关于的增函数，综上有：.10．（2022·江西上饶·二模（理））已知数列，且为等差数列．(1)求的通项公式；(2)若对任意正整数n，都有，求m的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用等差数列的基本量的运算可得，再利用与的关系即得；（2）利用裂项相消法可得，进而即得.(1)由题可知，∴等差数列的公差，∴，∴，当时，，又∵，∴；(2)由（1）可知，∴． 由题可知，∴m的取值范围是.11．（2022·江西·模拟预测（理））已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题知，进而由得，进而结合题意得；（2）结合（1）得，进而根据裂项求和法求解，再证明即可.(1)解：由，令，即，解得，∴，此时数列是等差数列，公差为，首项为.∴(2)证明：因为，，∵，∴.12．（2022·江西鹰潭·一模（理））已知正项数列的首项，前n项和满足.(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【解析】【分析】（1）化简数列的递推公式，得，进而可求解数列的通项公式；（2）利用裂项法，求解，列出不等式，即求.(1)当时，，∴，即，又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故，又由（），当时，也适合，所以.(2)∵，∴，又∵对任意的，不等式恒成立，，∴，解得或.即所求实数的范围是或.13．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））在数列中，(1)求，，；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)，，(2)【解析】【分析】（1）根据通项公式求出前3项即可（2）由题，奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，利用分组求和即可，注意对项数奇偶的讨论.(1)因为所以，，，(2)因为 所以，，，是以1为首项，4为公差的等差数列，，，，是以4为首项，4为公比的等比数列．当n为奇数时，数列的前n项中有个奇数项，有个偶数项．所以；当n为偶数时，数列{的前n项中有个奇数项，有个偶数项．所以．所以14．（2022·江西赣州·一模（理））设正项数列的前项和为，已知.(1)求的通项公式；(2)记，是数列的前项和，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由可求得的值，令，由可得出，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式；（2）计算出，然后利用等差数列的求和公式可求得.(1)解：当时，，所以，又，故；当时，，而，两式相减得，整理得，因为，所以，故是以为公差的等差数列，从而.(2)解：，设，其中，所以.