湖南省部分名校2024-2025学年高二上学期开学联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省部分名校2024-2025学年高二上学期开学联考数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第一册 20%，必修第二册 60%，选择性必修第一册第
一章 20%.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合交集定义即可求得结果.
【 详 解 】 令 分 别 等 于 1， 2， 3， 4， 解 得 分 别 等 于 -1， 0， 1， 2， 则 ， 所 以
.
故选：B
2. 已知函数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】由 ，解得 或 ，而 能推出 ，
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所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
3. 若 是偶函数，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数 是奇函数， 是偶函数，得出 为奇函数即可
计算求参.
【详解】 定义域为 ， 是奇函数，
因为 是偶函数，所以 为奇函数.
所以 ，解得 .
故选：D.
4. 若 是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间基底的概念对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意， 是空间的一个基底，
A 选项，由于 ，所以 共面，A 选项错误.
B 选项，由于不存在实数 ，使得 ，
所以 不共面，所以 B 选项正确.
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C 选项，由于 ，所以 共面，C 选项错误.
D 选项，由于 ，
所以 共面，D 选项错误.
故选：B
5. 已知平面 的一个法向量为 ，点 在 外，点 在 内，且 ，则点
到平面 的距离 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由空间向量法可得出 ，即可得解.
【详解】因为平面 的一个法向量为 ，点 在 外，点 在 内，
且 ，则点 到平面 的距离 .
故选：C.
6. 续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一.某大学科研团队
利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重 克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的
持续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8 名参赛学生的成绩依
次为 ，则这组数据的上四分位数（也叫第 75 百分位数）为（ ）
A. 93 B. 92 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据百分位数的定义和求解的方法步骤即可计算求解.
【详解】8 名学生的成绩从低到高依次为 ，且 ，
故上四分位数为 .
故选：D.
7. 某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过
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两次就拨对号码的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，事件可表示为第一次拨对和第一次没拨对第二次拨对的互斥事件的和，再由互斥事件
概率加法公式及古典概型求解.
【详解】设 第 次拨号拨对号码 .
拨号不超过两次就拨对号码可表示为 ，
所以拨号不超过两次就拨对号码的概率为 .
故选：B
8. 已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据基本不等式求出 和 的取值范围，求出 的最小值.
【详解】因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
又 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
故选：C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
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9. 设复数 ，则下列命题中正确的是（ ）
A. 的虚部是
B.
C. 复平面内 z 与 分别对应的两点之间的距离为 1
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据复数的运算，结合复数的相关定义，即可判断选项.
【详解】A. ，所以 的虚部是 ，故 A 错误；
B. ， ，故 B 正确；
C.复数 对应的点是 ， 对应的复数是 ，两点之间的距离为 ，故 C 错误；
D. ， ，故 D 正确.
故选：BD
10. 将函数 图象的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，则
（ ）
A. 为偶函数
B. 的最小正周期为
C. 与 在 上均单调递减
D. 函数 在 上有 5 个零点
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【答案】ACD
【解析】
分析】诱导公式结合余弦函数性质可判断 A；根据周期变换求 ，由周期公式可判断 B；整体代入法
求单调区间即可判断 C；直接解方程求零点可判断 D.
【详解】对 A， ，显然为偶函数，A 正确；
对 B，由题知， ，则最小正周期 ，B 错误；
对 C，由 得 ， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，
由 得 ， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，C 正确；
对 D，由 得 ，
所以 或 ，
即 或 ，
因为 ，所以 ，
所以函数 在 上有 5 个零点，D 正确.
故选：ACD
11. 已知厚度不计的容器是由半径为 ，圆心角为 的扇形以一条最外边的半径为轴旋转 得到的，下列
几何体中，可以放入该容器中的有（ ）
A. 棱长为 的正方体
B. 底面半径和高均为 的圆锥
C. 棱长均为 的四面体
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D. 半径为 的球
【答案】AC
【解析】
【分析】根据所得图形，数形结合，可判断 A，再由图形内接正四面体可判断 C，由 C 求三角形外接圆半
径判断 B，根据截面图计算可判断 D.
【详解】设扇形所在圆的半径为 ，对于 A，设正方体的棱长为 ，如图，
则可容纳的最长对角线 ，解得 ，故 A 正确.
对于 C，如图，
取三段 圆弧的中点 ，则四面体 的棱长均为 2m，所以可以容纳，故 C 正确.
对于 B，如图，
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同选项 C 的分析， 的外接圆半径为 ，所以不可以容纳，故 B 错误.
对于 D，如图，
设球的半径为 ，按正中间剖开所得的轴截面，如图，
可知圆 与圆 内切， ，解得
，所以不可以容纳，故 D 错误.
故选：AC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. __________
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式以及二倍角公式即可求得结果.
【详解】 .
故答案为： .
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13. 在所有棱长均相等的正三棱柱 中， 是 的中点， ， ，则
异面直线 ， 所成角的余弦值为__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据已知建立空间直角坐标系，应用空间向量法求出异面直线所成角余弦.
【详解】如图，取 的中点 ，以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 ， ， 轴的正方向，
建立空间直角坐标系.
设 ， 则 ， ， ， ， ，
.
设异面直线 ， 所成的角为 ，则 .
故答案为： .
14. 在 中，点 在 边上， ，则
的外接圆的半径为______.
【答案】
【解析】
【 分 析 】 设 ， 则 由 题 以 及 正 弦 定 理 形 式 的 面 积 公 式 结 合 可 得
，进而可求出 ，再由 即可得解.
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【详解】设 ，则 ，
由 ，得 ，
即 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，则 ，
所以 ，所以 ，
则 外接圆的半径为 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：根据已知条件 的结构特征可知解决本
题的关键是利用 即 求出
.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取 100 名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，
并以此作为样本，按照 进行分组，得到如图所示的
频率分布直方图.已知样本中体育锻炼时间在 内的学生有 10 人.
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（1）求频率分布直方图中 和 的值；
（2）估计样本数据的中位数和平均数（求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.
【答案】（1） ，
（2）中位数是 72 分钟；平均数是 72 分钟
【解析】
【分析】（1）求出在[50，60）内的频率即可求出 ，根据频率之和为 1 即可列式求 .
（2）先求出前 3 组的频率之和以及前 4 组的频率之和得样本数据的中位数 x 在第 4 组， 再依据频率分布
直方图所给数据列出等量关系式求解即可；由平均数的定义和公式直接计算即可.
【小问 1 详解】
由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50，60）内的频率为 ，
则 ，
由各组频率之和为 1，可知 ，
解得 .
【小问 2 详解】
前 3 组的频率之和为 ，
前 4 组的频率之和为 ，
所以样本数据的中位数在第 4 组，设为 ，
所以 ，解得 ，
估计样本数据的中位数是 72 分钟；
估计平均数是 分钟.
16. 小明和小王两名同学组成诗词挑战杯代表队参加市相关部门组建的猜诗词大会，每轮挑战由小明、小王
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各猜一句诗词，已知小明每轮猜对的概率为 ，小王每轮猜对的概率为 .在每轮活动中，小明和小王猜对
与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）求小明在两轮活动中恰好猜对 1 句诗词 概率；
（2）求诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对 3 句诗词的概率.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用分类分步计数原理即可算出结果.
（2）诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对 3 句诗词包括小王回答正确 2 句，小明回答正确 1 句；和小王回
答正确 1 句，小明回答正确 2 句，分别计算概率再相加即可.
【小问 1 详解】
设 表示小明两轮猜对 1 句诗词的事件，则
小问 2 详解】
设 ， 分别表示小明两轮猜对 1 句、2 句诗词的事件， ， 分别表示小王两轮猜对 1 句、2 句诗词的
事件，则 ， ，
， .
设事件 “两轮活动中诗词挑战杯代表队猜对 3 句诗词”，则 ，且 与 互斥， 与
， 与 分别相互独立，
所以 ，
即诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对 3 句诗词的概率是 .
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17. 已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且 .
（1）求 ；
（2）若 为线段 上一点，且 ， ，求 面积的最大值.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式化简，即可得解；
（2）依题意可得 ，将两边平方，根据数量积的运算律及基本不等式求出 的
最大值，最后由面积公式计算可得.
【小问 1 详解】
因为 ，
由正弦定理得 ，
则 ，
化简得 ，
又 ，即 ，
， ， .
【小问 2 详解】
因为 ，
所以 ，
，
可得 ，
，
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，当且仅当 时取等号，
.
故 面积的最大值为 .
18. 在正四棱柱 中，已知 ，点 分别在棱 上，且 四
点共面， .
（1）若 ，记平面 与底面 的交线为 ，证明： .
（2）若 ，记四边形 的面积为 ，求 的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定定理得线面平行，再由线面平行的性质定理得线线平行即可；
（2）利用平行四边形面积公式得出关于 的关系式，再由两角和正切公式及变形，结合均值不
等式，二次函数求最值即可.
【小问 1 详解】
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连接 ，
因为 ，
所以 ，则 .
在正四棱柱 中，易知 ，
所以四边形 是平行四边形，从而 .
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
又 平面 ，平面 平面 ，所以 .
【小问 2 详解】
由正四棱柱对面平行，根据面面平行的性质可得 ，即四边形 为平行四边形.
以 为坐标原点， ， 的方向分别为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.
，
则 ，
，
，
化简可得 .
因为 ，所以 ，
整理得 .
由 ，
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可得 .
，
易知 在 上单调递减，
所以当 时， ，当且仅当 时， 取得最小值
.
19. 给定平面上一个图形 D，以及图形 D 上的点 ，如果对于 D 上任意的点 P， 为与 P
无关的定值，我们就称 为关于图形 D 的一组稳定向量基点.
（1）已知 为图形 D，判断点 是不是关于图形 D 的一组稳定向
量基点；
（2）若图形 D 是边长为 2 的正方形， 是它的 4 个顶点，P 为该正方形上的动点，求
的取值范围；
（3）若给定单位圆 及其内接正 2024 边形 为该单位圆上的任意一点，证明 是
关于圆 的一组稳定向量基点，并求 的值.
【答案】（1）不是 （2）
（3）证明见解析，4048
【解析】
【分析】（1）分别计算 与 重合和 与 重合时这两种情况下 的结果，再依据一组
稳定向量基点的定义得解.
（2）根据向量运算法则得 ，再结合正方形结构性质可得 的最大值和
最小值，进而得解.
（3）先转化 ，从而得
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，再结合 和偶数边的正多边形图形结构
性质即可得解.
【小问 1 详解】
点 不是关于 的一组稳定向量基点，理由如下：
当 与 重合时，有 ，
当 与 重合时，有 ，
故 不是关于 的一组稳定向量基点.
【小问 2 详解】
因为 ，
所以 ，故由正方形结构性质得：
当 与 重合时， 取得最大值 ；当 与 重合时， 取得最小值 0.
所以 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
设单位圆 的圆心为 ，
则 ，
所以 ，
因为多边形 是正 2024 边形，
所以由偶数边的正多边形图形结构性质可知 ，故 ，
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又 ，所以 ，
故 是关于圆 的一组稳定向量基点，且 .
【点睛】方法点睛：对于新定义题目，解决此类题的策略是：
1. 准确理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论等；
2. 重视“举例”，利用例子可以检验是否理解和懂得正确运用，归纳例子提供的解题思路和方法；
3. 运用新定义去解决问题时，根据新定义交代的性质或运算规则去运用即可，解决问题的过程中还需要将
“新定义”的知识与已有知识联系起来，利用已有知识经验来解决问题.
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