2024-2025学年广西柳州市高一上册9月月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广西柳州市高一上册9月月考数学学情检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设，且，则的最小值为（ ）
A 5B. 4C. 3D. 2
4. 下列命题中真命题的个数是（ ）
①命题“，”的否定为“，”；
②“”是“”的充要条件；
③集合，表示同一集合．
A. 0B. 1C. 2D. 3
5. 如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（ ）
A. B.
C. D.
6. 《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7 已知集合，，则（ ）
B.
C. D.
8. 已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（ ）
A. 1B. C. D. 与的取值有关
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列选项错误的是（ ）
A B.
C. D.
10. 若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
11. 下列结论中，错误的结论有（ ）
A. 取得最大值时的值为
B. 若，则的最大值为
C. 函数的最小值为
D. 若，，且，那么最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知集合，，则满足条件的集合的个数为_________个
13. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______．
14. 已知，，则的取值范围为___________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 试比较下列各数的大小，并说明理由：
（1）与；
（2）与．
16. 已知集合
（1）若是空集，求的取值范围；
（2）若中只有一个元素，求的值，并求集合.
17 设集合，集合．
（1）当时，求；
（2）当时，求实数的取值范围．
18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为，宽为．

（1）若菜园面积S为，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小?
（2）若使用的篱笆总长为，求的最小值．
19. 已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集．
（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由；
（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；
命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件；
（3）若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集
2024-2025学年广西柳州市高一上学期9月月考数学学情检测试题
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】B
【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，进而判断出正误.
【详解】是实数，故①正确；是无理数，故②错误；是整数，故③错误；
是自然数，故④正确；是有理数，故⑤错误，即正确的个数为2个，
故选：B.
2 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据补集概念及其运算可得，再由交集运算可得答案.
【详解】由，可得,
又，可得.
故选：A
3. 设，且，则的最小值为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【正确答案】B
【分析】由基本不等式的乘“1”法即可求解.
【详解】，
等号成立当且仅当，
所以的最小值为4.
故选：B.
4. 下列命题中真命题的个数是（ ）
①命题“，”的否定为“，”；
②“”是“”的充要条件；
③集合，表示同一集合．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【正确答案】B
【分析】根据命题的否定的定义、充要条件的定义、集合的定义判断各命题．
【详解】①全称命题的否定是特称命题，命题“，”的否定为“，”，正确；
②且，则，反之，如，但此时，因此不是充要条件 ，错误；
③集合，不是同一集合．错误，
正确的命题只有一个．
故选：B.
5. 如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】找到每一个选项对应的区域即得解.
【详解】解：如图所示，
A. 对应的是区域1；
B. 对应的是区域2；
C. 对应的是区域3；
D. 对应的是区域4.
故选：B
6. 《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】根据充分性和必要性的概念，结合文中含义判断即可.
详解】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，反之未必，
所以“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件，
故选：B
7. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】讨论的奇偶，可得集合可化为，由此判断，的关系.
【详解】当时，，，
当时，，
所以，
所以.
故选：A.
8. 已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（ ）
A. 1B. C. D. 与的取值有关
【正确答案】A
【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案．
【详解】由题意，若，，
，
，
，
综上，集合.
所以集合A中所有元素的乘积为.
故选：A.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列选项错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AD
【分析】根据集合与元素的关系，结合子集和相等集合的定义、空集的定义逐一判断即可.
【详解】因为集合中的元素在集合中，因此这两个集合是包含关系，不是属于关系，因此选项A不正确；
因为集合与集合中的元素相同，所以这两个集合相等，因此选项B正确；
因为集合中的元素都在集合中，因此正确，故选项C正确；
因为集合中的元素不是空集，所以不正确，因此选项D不正确，
故选：AD
10. 若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】AB
【分析】采用作差法可知AB正确；通过反例可说明CD错误.
【详解】对于A，，
，，，
，即，A正确；
对于B，，
，，，
，即，B正确；
对于C，当，，，时，，C错误；
对于D，当，，，时，，D错误.
故选：AB.
11. 下列结论中，错误的结论有（ ）
A. 取得最大值时的值为
B. 若，则的最大值为
C. 函数的最小值为
D. 若，，且，那么的最小值为
【正确答案】ABC
【分析】根据二次函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C、D.
【详解】对于A，因为，则函数的对称轴为，
所以取得最大值时的值为，故A错误；
对于B，令，
若，，，，当时取等号，
所以，则，则最大值为，故B错误；
对于C，函数，
令，当时，解得，不满足题意，故C错误；
对于D，若，，且，
所以，
当时，即时取等号，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ABC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知集合，，则满足条件的集合的个数为_________个
【正确答案】7
【分析】化简集合A，B，根据条件确定集合C的个数即可.
【详解】因为，
,
因为，所以1，2都是集合C的元素，
集合C中的元素还可以有3，4，5，且至少有一个，
所以集合C为：，，，，，， ，共7个.
故7
13. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______．
【正确答案】－3
【分析】根据交集定义，若，则且，从而讨论集合的情况，确定实数a的值.
【详解】由题意可得，且，
当时，解得，
此时，，，不符合题意，舍去；
当时，解得，
当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去，
当时，，，，符合题意，
综上所述，，
故－3.
14. 已知，，则的取值范围为___________.
【正确答案】
【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】解：设，
所以，解得，
因，，
则，
因此，.
故答案为.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 试比较下列各数的大小，并说明理由：
（1）与；
（2）与．
【正确答案】（1），理由见解析
（2），理由见解析
【分析】（1）作差法比较大小；
（2）两式平方比较大小；
【小问1详解】
理由：，
估算是，估算是，所以，
因此.
【小问2详解】
理由：将两式平方，
，显然，
所以.
16. 已知集合
（1）若是空集，求的取值范围；
（2）若中只有一个元素，求的值，并求集合.
【正确答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）根据是空集，可知，解不等式组即可；
（2）根据中只有一个元素，分和两种情况进行讨论.
【小问1详解】
因为是空集，所以，即解得，
所以的取值范围为.
【小问2详解】
当时，集合，符合题意；
当时，即，解得，此时集合，
综上所述，的值为或，
当时，集合，当时，集合.
17. 设集合，集合．
（1）当时，求；
（2）当时，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）代入化简集合，从而利用集合的并集运算即可得解；
（2）由题设条件得到，从而分类讨论与，结合集合的包含关系即可得解.
【小问1详解】
当时，集合，
又集合，所以.
所以当时，.
【小问2详解】
因为等价于，
当时，，得，满足题意;
当时，则，
则，得，解得，
综上，实数的取值范围是.
18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为，宽为．

（1）若菜园面积S为，则，为何值时，可使所用篱笆总长最小?
（2）若使用的篱笆总长为，求的最小值．
【正确答案】（1），
（2）
【分析】（1）由已知可得，代入，根据基本不等式即可得出答案；
（2）由已知可得，进而根据“1”的代换，结合基本不等式即可得出答案.
【小问1详解】
由已知可得，，
所以，.
又，
所以，，
当且仅当，即时等号成立，此时，
所以，菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小.
【小问2详解】
由已知可得，，
所以，，
所以，
所以，，
当且仅当，且，即，时等号成立，
所以，的最小值为.
19. 已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集．
（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由；
（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题：若非空集合封闭集，则也是封闭集；
命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件；
（3）若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集
【正确答案】（1）集合B是，集合C不是，理由见解析；
（2）p假q真，理由见解析；
（3）证明见解析.
【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可.
（2）举反例说明判断命题；利用封闭集的定义，结合充要条件的定义推理判断命题.
（3）按和分类，结合反证法推理即可.
【小问1详解】
对于集合 因为，
所以是封闭集；
对于集合，因为，
所以集合不是封闭集.
【小问2详解】
对命题：令，
令，则，
因此集合是封闭集，同理集合也是封闭集，
取，则，而，
因此集合不是封闭集，命题是假命题；
对于命题：若，不妨令，则有，又集合是封闭集，
则，同理，因此，
所以是封闭集；
反之，若是封闭集，则是非空集合，即，
所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题.
【小问3详解】
非空集合是封闭集合，当时，，因此不是封闭集合；
当时，假设是封闭集合，
设，在中任取一个，则，
否则，此时，与矛盾，
因此，而，与矛盾，
则当时，则不是封闭集合，同理当时，不是封闭集合，
所以A的补集不是封闭集.
方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.