2024-2025学年广东省深圳市高一上册第一次月考试数学学情检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市高一上册第一次月考试数学学情检测试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了考试结束后，谙将答题卡交回， 函数的值域为， 对于集合，，定义，，设，，则， 下表表示y是x的函数，则， 已知，则下列结论错误的是等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好.
2.本卷考试时间120分钟，满分150分.
3.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答写在答题卡指定区域内.作答综合题时，把所选题号的信息点框涂黑，并作答.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效.
4.考试结束后，谙将答题卡交回.
一、单选题（共8小题，共40分）
1. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C D.
2. 从甲地到乙地通话分钟的电话费由（元）决定，其中，是不小于的最小整数（如：，，）， 则从甲地到乙地通话时间为7.3分钟的电话费为（ ）
A. 4.24元B. 4.77元C. 5.30元D. 4.93元
3. 若函数定义域为，则“”是“是增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为；乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
5. 函数的值域为（ ）.
A. B.
C. D.
6. 已知不等式的解集为，则的取值分别为（ ）
A. 3，B. 2，1C. ，3D. 1，2
7. 设是定义在R上奇函数，在上递减，且， 则不等式的解集为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
8. 对于集合，，定义，，设，，则
A. B.
C. D.
二、多选题（共4小题，共20分）
9. 下表表示y是x的函数，则（ ）
A. 函数的定义域是B. 函数的值域是
C. 函数的值域是D. 函数是增函数
10. 已知，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. 是偶函数D. 有唯一零点
11. 给出以下四个命题，其中为真命题的是（ ）
A. 函数y=与函数y=·表示同一个函数
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 若函数奇函数，则函数也是奇函数
D. 函数在上是单调增函数
12. 下列命题正确的是（ ）
A. 若对于，，，都有，则函数y=fx在上是增函数
B. 若对于，，，都有，则函数在上是增函数
C. 若对于，都有成立，则函数y=fx在上是增函数
D. 若对于，都有，为增函数，则函数在上也是增函数
三、填空题（共4小题，共20分）
13. A= ，，则=___________.
14. 若“”是真命题，则的取值范围是__________.
15. 已知函数，，若存在函数满足：，学生甲认为函数一定是同一函数，乙认为函数一定不是同一函数，丙认为函数不一定是同一函数，观点正确的学生是_________.
16. 已知函数，则满足的的取值范围为__________．
四、解答题（共6小题，共70分）
17. （1）设，试比较与大小；
（2）已知，，，且，求证：．
18. 求下列不等式的解集.
（1）；
（2）
19. 冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhn Rhn）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．

（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
20. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高.
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
21. 已知函数.
（1）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（2）用函数单调性的定义证明函数在上是增函数；
（3）当时，求函数的值域.
22. 某企业用万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋层，每层平方米的楼房.经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为(单位：元).
（1）当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少?最少为多少元?
（2）若该楼房每平方米的平均综合费用不超过元，则该楼房最多建多少层?（注：综合费用=建筑费用＋购地费用）
2024-2025学年广东省深圳市高一上学期第一次月考试数学学情检测试卷
注意事项:
1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好.
2.本卷考试时间120分钟，满分150分.
3.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答写在答题卡指定区域内.作答综合题时，把所选题号的信息点框涂黑，并作答.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效.
4.考试结束后，谙将答题卡交回.
一、单选题（共8小题，共40分）
1. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题，写出命题的否定.
【详解】命题“”的否定为“”.
故选：C
2. 从甲地到乙地通话分钟的电话费由（元）决定，其中，是不小于的最小整数（如：，，）， 则从甲地到乙地通话时间为7.3分钟的电话费为（ ）
A. 4.24元B. 4.77元C. 5.30元D. 4.93元
【正确答案】C
【分析】
由函数解析式，结合的定义计算可得解.
【详解】，
故选：C.
3. 若函数的定义域为，则“”是“是增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】根据充分条件以及必要条件定义，结合函数单调性以及举反例的方法，可得答案.
【详解】充分性：当时，显然，但在上单调递减，在上单调递增，
故“”是“是增函数”的非充分条件；
必要性：由是增函数，且，则，
故“”是“是增函数”的必要条件；
故选：B.
4. 甲、乙两人解关于x的不等式，甲写错了常数b，得到的解集为；乙写错了常数c，得到的解集为．那么原不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据韦达定理即可求解.
【详解】解：根据韦达定理得，，原不等式的两根满足，解得：，
故解集为：，
故选：D.
5. 函数的值域为（ ）.
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】分离系数，得到，结合二次函数，求出值域即可.
【详解】，
当时，.
则.
故选：B.
6. 已知不等式的解集为，则的取值分别为（ ）
A. 3，B. 2，1C. ，3D. 1，2
【正确答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系即可解题.
【详解】由不等式的解集为，
则1和为方程的两根，且，
所以，解得.
故选：D
7. 设是定义在R上的奇函数，在上递减，且， 则不等式的解集为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【正确答案】B
【分析】根据函数的奇偶性和单调性得到函数值的正负范围，讨论和，得到答案.
【详解】是定义在R上的奇函数，在上递减，且，
故函数在上时，，在上，在上，在上.
，当时，，故；当时，，；
易知时不成立.
综上所述：或.
故选.
本题考查了解不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力.
8. 对于集合，，定义，，设，，则
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】由根据定义先求出集合和集合，再求这两个集合的并集可得，得解.
【详解】因为，， ,,
所以
故选C．
本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时注意理解和的含义，属于基础题.
二、多选题（共4小题，共20分）
9. 下表表示y是x的函数，则（ ）
A. 函数的定义域是B. 函数的值域是
C. 函数的值域是D. 函数是增函数
【正确答案】AC
【分析】
观察表格可知定义域以及值域，此函数为分段函数，在各自的区间内都是常函数，即可判断.
【详解】由表格可知：函数的定义域是，值域是，
此函数为分段函数，在各自的区间内都是常函数，
故函数不是增函数；
故选：AC.
10. 已知，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. 是偶函数D. 有唯一零点
【正确答案】BC
【分析】利用换元法求得函数的解析式，再一一判断选项即可.
【详解】令，则.
所以，即A正确；
由，即B错；
因为定义域为0,+∞不关于原点对称，故不是偶函数，C错；
由得，即D正确
故选：BC
11. 给出以下四个命题，其中为真命题的是（ ）
A. 函数y=与函数y=·表示同一个函数
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 若函数是奇函数，则函数也是奇函数
D. 函数在上单调增函数
【正确答案】BC
【分析】通过具体函数求解定义域即可判断A，抽象函数求定义域即可判断B，利用函数奇偶性的判定方法即可判断C，利用反比例函数单调性即可判断D.
【详解】对A选项，，，或，故其定义域为，而后者，，解得，其定义域为，定义域不同，故函数不同，所以A错误；
对B选项，，所以函数的定义域为，故B正确；
对C选项，设，根据为奇函数，则定义域关于原点对称，且 ，故其为奇函数，C正确，
对D选项，反比例函数在,上单调递增，不能取并集，中间应用逗号或者“和”隔开，故 D错误.
故选：BC.
12. 下列命题正确的是（ ）
A. 若对于，，，都有，则函数y=fx在上是增函数
B. 若对于，，，都有，则函数在上是增函数
C. 若对于，都有成立，则函数y=fx在上是增函数
D. 若对于，都有，为增函数，则函数在上也是增函数
【正确答案】AB
【分析】利用函数的单调性定义结合举反例的方法对选项逐一分析即可.
【详解】，
化简为，
设，则，
设，则，
故函数在上是增函数，故正确；
设，
由得，
即，
设，
由得，
即，
故函数在上是增函数，故正确；
令，x表示不超过x的最大的整数，
满足，但在上不是增函数；故错误；
令，则，为增函数，
但函数在上不单调，故错误.
故选.
三、填空题（共4小题，共20分）
13. A= ，，则=___________.
【正确答案】
【分析】根据并集的定义计算可得；
【详解】解：因为 ，
所以
故
14. 若“”是真命题，则的取值范围是__________.
【正确答案】
【分析】分和两种情况分析不等式成立条件，求出的取值范围.
【详解】因为“”是真命题
当时，恒成立，符合题意，
当时，由解得，
故的取值范围是.
故答案为.
15. 已知函数，，若存在函数满足：，学生甲认为函数一定是同一函数，乙认为函数一定不是同一函数，丙认为函数不一定是同一函数，观点正确的学生是_________.
【正确答案】甲
【分析】由题意求出的解析式,依据两函数为同一函数的条件:定义域和对应关系相同,即可得出结论.
【详解】,,
,
,
,
解得,
所以.
故答案为:甲
本题主要考查两函数为同一函数的条件：定义域和对应关系相同；正确求出两函数的解析式和定义域是求解本题的关键;属于易错题;
16. 已知函数，则满足的的取值范围为__________．
【正确答案】
【分析】由题意得函数是偶函数，且在上是增函数，则由得，解出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴函数是偶函数，∴，
当时，和均为增函数，
则在上是增函数，
∵，
∴，
∴，或，
故．
本题主要考查偶函数的对称性的应用，考查利用函数的单调性解抽象不等式，考查推理能力与转化能力，属于中档题．
四、解答题（共6小题，共70分）
17. （1）设，试比较与的大小；
（2）已知，，，且，求证：．
【正确答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用作差法，即可比较两式的大小；
（2）利用作差法，即可证明．
【详解】（1）解：
；
因为，所以，，
所以，
所以；
（2）证明：，
因为且，，
所以；
又因为，所以，
所以．
本题考查了代数式的比较大小问题，常用作差法比较大小，属于基础题．
18. 求下列不等式的解集.
（1）；
（2）
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）将不等式组转化为，再分别解出各个一元二次不等式，即可得解；
（2）移项、通分，再将分式不等式等价转化为一元二次不等式（组），解得即可.
【小问1详解】
因为，即，
解不等式，即，解得；
解不等式，即，又恒成立，
所以不等式的解集为，
综上，不等式组的解集为.
【小问2详解】
由，即，即，
等价于，解得或，
所以不等式的解集为.
19. 冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhn Rhn）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．

（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【正确答案】（1）冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元
（2）冰墩墩进货24个，雪容融进货16个；最大利润是992元
【分析】（1）先设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元．再根据题意列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）先设冰墩墩进货a个，则雪容融进货个，利润为w元，再根据题意可以写出w和a的函数关系式，再根据题意求得a的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得利润的最大值．
【小问1详解】
设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元．
得，解得，
所以冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元．
【小问2详解】
设冰墩墩进货a个，则雪容融进货个，利润为w元，
则，
因为，所以w随a增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，
即，解得，
所有当时，w最大，此时，，
答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元．
20. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高.
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
【正确答案】（1）500名
（2）
【分析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解；
（2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
由题意得：，
即，又，所以.
即最多调整500名员工从事第三产业.
【小问2详解】
从事第三产业员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则
所以
所以，
即恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立.
所以，又，所以，
即的取值范围为.
21. 已知函数.
（1）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（2）用函数单调性的定义证明函数在上是增函数；
（3）当时，求函数的值域.
【正确答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【分析】（1）利用奇偶性的定义判断即可；
（2）利用函数单调性的定义证明即可；
（3）判断出在上的单调性可得答案.
【小问1详解】
为奇函数，证明如下，
函数的定义域为，关于原点对称，
又，
所以为奇函数；
【小问2详解】
设，
，
因为，所以，，
所以，，
所以函数在上是增函数；
【小问3详解】
设，
，
因为，所以，，
所以，，
所以函数在上是减函数，
由（2）知，函数在上是增函数
又，，
，
所以函数的值域为.
22. 某企业用万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋层，每层平方米的楼房.经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为(单位：元).
（1）当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少?最少为多少元?
（2）若该楼房每平方米的平均综合费用不超过元，则该楼房最多建多少层?（注：综合费用=建筑费用＋购地费用）
【正确答案】（1）建层时，每平方米的平均综合费用最少为1965元
（2）12层
【分析】根据综合费用=建筑费用＋购地费用，可列出函数表达式，再利用基本不等式可求解；
根据第一问表达式列出不等式，求解即可求出答案.
【小问1详解】
设该楼房每平方米的平均综合费用为元，
则，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以当该楼房建层时，每平方米的平均综合费用最少，且最小值为元.
【小问2详解】
由（1）可知该楼房每平方米的平均综合费用
则即，即，解得.
因为所以该楼房最多建层.
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3
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