2024-2025学年广东省深圳市龙岗区高二上册第一次月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市龙岗区高二上册第一次月考数学学情检测试题（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分（ ）
A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体
2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中点，则（ ）
A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线
C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面
4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知正方体中，E为中点，则异面直线与 CE所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则葛藤最少长（ ）
A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺
8. 如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）
9. 已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，则
10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（ ）

A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱
B. 棱与水面所在平面平行
C. 水面EFGH所在四边形的面积为定值
D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为
11. 半正多面体（semiregular slid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（ ）
A. 平面EAB
B. 该二十四等边体体积为
C. 该二十四等边体外接球的表面积为
D. PN与平面EBFN所成角的正弦值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）
12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC的直观图，则三角形 ABC的面积是_______.
13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．
14. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.
四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，中点.
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求证：平面平面；
16. 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
（1）若，Q为PB的中点，求三棱锥的体积；
（2）求证：AN⊥平面PBM；
（3）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
17. 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．
（1）证明：三棱锥鳖臑；
（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为．
①证明：直线平面；
②判断与的位置关系，并证明你的结论．
18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD为平行四边形，且，.
（1）要经过点B、D将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说明理由；
（2）计算（1）中所得截面的面积；
（3）求直线SC与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.
19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，M为的中点，且.
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，求点到平面的距离；
（3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D，棱数为L，面数为M，则有.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.
2024-2025学年广东省深圳市龙岗区高二上学期第一次月考数学学情检测试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ）
A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体
【正确答案】B
【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．
【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，
剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．
故选：B
2. 棱长为的正四面体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用三角形的面积公式可得出正四面体的表面积.
【详解】棱长为的正四面体的表面积为.
故选：A.
3. 如图，在正四棱台中，分别为棱的中点，则（ ）
A. 直线与直线是异面直线B. 直线与直线是异面直线
C. 直线与直线共面D. 直线与直线共面
【正确答案】C
【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，的延长线必过此点，可判断选项中的线线位置关系.
【详解】延长，
由正四棱台的性质可得侧棱的延长线交于同一点，设该交点为.
分别为棱的中点，
延长，则的延长线必过点，
则直线与直线相交于点；与直线相交于点；与直线相交于点
；与直线是异面直线.
故选：C.
4. 底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先利用圆锥的侧面积公式求出母线长，进而求出高，再利用圆锥的体积公式求解．
【详解】设圆锥的母线长为，高为，半径为，
则且，故
，
圆锥的体积为．
故选：D．
5. 已知正方体中，E为中点，则异面直线与 CE所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），然后在中用余弦定理即可解得.
【详解】连接，，如图：
因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线与 CE所成角，
设正方体的棱长为，，
，
在中，，
所以异面直线与 CE所成角的余弦值是.
故选：D.
6. 如图，在正四棱台中，，则该正四棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】作出截面，过点作，结合等腰梯形的性质得到高，再计算体积即可.
【详解】过作出截面如图所示，过点作，垂足为，
易知为正四棱台的高，

因为，
所以由勾股定理得，
又，
则在等腰梯形中，，
所以，
所以所求体积为
.
故选.
7. 我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则葛藤最少长（ ）
A. 21尺B. 25尺C. 29尺D. 33尺
【正确答案】C
【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.
【详解】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，
矩形的高（即圆木长）为尺，矩形的底边长为（尺），
因此葛藤最少长（尺）.
故选：C.
8. 如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P点的轨迹.
【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接，
则∥，，且∥，，
可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥，
且平面，平面，可得∥平面，
同理可得：∥平面，
且，平面，可知平面∥平面，
又因为P点是正方形内的动点，平面，
所以点在线段上，
由题意可知：，可得，
所以P点的轨迹长度为.
故选：C.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）
9. 已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，则
【正确答案】BC
【分析】根据空间中垂直关系的转化可判断ABC的正误，根据线面平行定义可判断D的正误.
【详解】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，则，而，故，故B正确；
对于C，若，，则，而，故，故C正确；
对于D，若，，则或异面，故D错误，
故选：BC
10. 在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（ ）

A. 有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱
B. 棱与水面所在平面平行
C. 水面EFGH所在四边形的面积为定值
D. 当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为
【正确答案】ABD
【分析】由棱柱的概述判断A；由线面平行判定定理判断B；计算可判断C；利用基本不等式可判断D.
【详解】由棱柱定义知，选项A正确；
对于选项B，由于，，所以，且不在水面所在平面内，所以棱与水面所在平面平行，选项B正确；
对于选项C，在图（1）中，，在图（2）中，，选项C错误；
对于选项D，，所以．
，当且仅当时，等号成立，
所以EF的最小值为，选项D正确．
故选：ABD．
11. 半正多面体（semiregular slid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（ ）
A. 平面EAB
B. 该二十四等边体的体积为
C. 该二十四等边体外接球的表面积为
D. PN与平面EBFN所成角的正弦值为
【正确答案】BD
【分析】A用反证法判断；B先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C先找到球心与半径，再计算表面积判断；D先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．
【详解】对于A，假设A对，即平面，于是，
，但六边形为正六边形，，矛盾，
所以A错误；
对于B，补齐八个角构成棱长为2的正方体，
则该二十四等边体的体积为，
所以B对；
对于C，取正方形对角线交点，
即为该二十四等边体外接球的球心，
其半径为，其表面积为，所以C错误；
对于D，因为在平面内射影为，
所以与平面所成角即为，
其正弦值为，所以D对．
故选：BD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）
12. 如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC的直观图，则三角形 ABC的面积是_______.
【正确答案】2
【分析】画出原图形可得答案.
【详解】由直观图画出原图，如图，
可得是等腰三角形，且，
所以三角形的面积.
故答案为:2.
13. 圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．
【正确答案】
【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积.
【详解】设圆柱的高为，其外接球的半径为，
由圆柱的底面半径为1，侧面积为，得，解得，
由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，
因此，所以球的表面积为.
故
14. 球面被平面所截得一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.
【正确答案】
【分析】首先求出，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点作交于点，过点作交于点，即可求出，将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积.
【详解】因为，所以，设圆的半径为，
又，解得（负值舍去），
过点作交于点，过点作交于点，
则，
所以，同理可得，
将扇形绕直线旋转一周形成的几何体为一个半径的球中，上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，
其中上面球缺的高，上面圆锥的底面半径，高为，
下面球缺的高，下面圆锥的底面半径，高为，
则上面球冠的表面积，
下面球冠的表面积，球的表面积，
上面圆锥的侧面积，下面圆锥的侧面积，
所以几何体表面积.
故答案为.
关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积要合理转化.
四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点.
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求证：平面平面；
【正确答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）证明出，得到四点共面；
（2）先得到，，证明出线面平行，面面平行.
【小问1详解】
∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，∴，
又在三棱柱中，，∴，
∴，，，四点共面.
【小问2详解】
∵在三棱柱中，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面.
又，是，的中点，所以，又.
所以，
∵平面，平面，∴平面.
又，平面，
所以平面平面.
16. 如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
（1）若，Q为PB的中点，求三棱锥的体积；
（2）求证：AN⊥平面PBM；
（3）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【分析】（1）先得到，根据Q为PB的中点，故；
（2）由线线垂直，得到线面垂直，即BM⊥平面PAM.，故BM⊥AN，又AN⊥PM，从而得到线面垂直；
（3）由(1)知AN⊥平面PBM，故AN⊥PB，又AQ⊥PB，故PB⊥平面ANQ，得到答案.
【小问1详解】
因为AB为⊙O的直径，所以⊥，
又，故，
又PA垂直于⊙O所在的平面，，
故，
因为Q为PB的中点，所以.
【小问2详解】
∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM平面ABM，
∴PA⊥BM.
又∵，PA，AM平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且，BM，PM平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
【小问3详解】
由(1)知AN⊥平面PBM，
PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ平面ANQ，
∴PB⊥NQ.
17. 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．
（1）证明：三棱锥为鳖臑；
（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为．
①证明：直线平面；
②判断与的位置关系，并证明你的结论．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）①证明见解析；②平行，证明见解析.
【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解；
（2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；
②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解.
【小问1详解】
∵，
∴为直角三角形，
∵平面，且平面，平面，平面，
∴，，，
∴和为直角三角形，
∵，平面，平面，
∴平面，
又∵平面，
∴，
∴为直角三角形，
∴三棱锥为鳖曘.
【小问2详解】
①
连接，∵点分别为的中点，
∴，
且平面，平面，
所以直线平面，
②平行，
证明：平面，平面，平面平面=，
所以.
18. 一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD为平行四边形，且，.
（1）要经过点B、D将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说明理由；
（2）计算（1）中所得截面的面积；
（3）求直线SC与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.
【正确答案】（1）即为要画的线，理由见解析；
（2）
（3）
【分析】（1）要使截面与平行，考虑构造线线平行，取中点，取的对称中心,连接,证明即得截面；
（2）分别计算的三边，再利用三角形面积公式计算即得；
（3）利用等体积求出点到平面的距离，再由线面所成角的定义即可求得.
【小问1详解】
如图，取的中点，连接,则即为要画的线.
理由如下：连接与交于点，连接.
因四边形ABCD为平行四边形，则点为的中点，故,
又因平面,平面,故有平面；
【小问2详解】
如图中，过点作于点，连接,
因平面,平面，则,
故,平面,,,
因，则,
因平面，则，故,
又由余弦定理，，故得.
又，O为BD中点，则，
于是截面的面积为；
【小问3详解】
过点作平面，交平面于点,连接,
则即直线与截面所成的角.
由可得，,
即得：，则,
即直线SC与平面所成角的正弦值为.
思路点睛：本题主要考查运用线面平行的判定方法解决实际问题和线面所成角的求法，属于较难题.解题的思路在于充分利用平行四边形对角线性质、等腰三角形三线合一，三角形中位线性质等方法寻找线线平行；对于线面所成角问题，除了定义法作图求解外，对于不易找到点在平面的射影时，可考虑运用等体积转化求解.
19. 空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，M为的中点，且.
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，求点到平面的距离；
（3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D，棱数为L，面数为M，则有.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.
【正确答案】（1）为等边三角形，理由见解析
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，，即可根据曲率的定义求解，
（2）利用等体积法，结合锥体体积公式即可求解，
（3）根据则多面体的棱数，顶点数，以及内角之和，即可根据曲率的定义求解.
【小问1详解】
因为在直三棱柱中，
平面，平面，
所以，，
所以点A的曲率为，得，
因为，所以为等边三角形.
【小问2详解】
取中点D，连接、，
因为D为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，所以平面；
所以是三棱锥的高.
设点到平面的距离为，则有，即.
在中有，同理计算得，.
所以，，
所以.
【小问3详解】
证明：设多面体有M个面，给组成多面体多边形编号，分别为号，
设第号多边形有条边，
则多面体共有条棱，
由题意，多面体共有个顶点，
号多边形的内角之和为，
所以所有多边形的内角之和为，
所以多面体的总曲率为
.
所以简单多面体的总曲率为.