山东省临沂市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式化简求解.
【详解】因为 .
故选：D.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的交集运算求解.
【详解】解： ；
故选：B
3. 函数 的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】判断函数的零点问题，一般先考虑函数定义域及函数在区间上的单调性，再根据函数的零点存在
定理进行判断即可.
【详解】对于函数 ，定义域为 ，且在 上为增函数，
又
根据函数的零点存在定理知，函数 在 上存在唯一一个零点，
故函数 零点所在的区间是 .
故选：C.
4. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. 9 D. 27
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式和对数的运算性质即可求解.
【详解】 函数 ，
，
故选：C
5. 若函数 满足 ，且当 时， ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由 得到函数 是周期为 2 的周期函数求解.
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【详解】解： 函数 满足： ，
函数 是周期为 2 的周期函数，且当 时， ，
故选：A
6. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数及余弦函数的性质判断即可.
【详解】因为 ， ，
， ，
故选：B
7. “ ”是“ 在 上恒成立”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次不等式 在 上恒成立结合参变量分离法求出实数 的取值范围，
再利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】根据题意，若 在 上恒成立，
所以， 上恒成立，
由“对勾函数”可知，函数 在 上单调递增，
所以，当 时， ，可得 ，
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所以， 在 上恒成立“的充要条件是” “，
因为 ，
因此，“ ”是“ 在 上恒成立”的充分不必要条件.
故选：A.
8. 莱洛三角形是以机械学家莱洛的名字命名，在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用，它
是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围
成的曲边三角形.如图，若莱洛三角形的 长为 ，则该莱洛三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用扇形面积公式及三角形面积公式求出弓形面积进而求出莱洛三角形的面积即可.
【详解】因为莱洛三角形的 长为 ，
所以 ，所以 ，
则 的面积
线段 AB 与 围成的弓形面积
所以“莱洛三角形”的面积
故选：B.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 若 ，则（ ）
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A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用不等式的性质，结合作差法逐项判断.
【详解】对于 A，取 ，则 ，A 错误；
对于 B，由 ，得 ，B 正确；
对于 C，由 ，得 ，C 正确；
对于 D，由 ，得 ，则 ，D 错误.
故选：BC
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 关于 对称
B. 的最小正周期为
C. 的定义域为
D. 在 上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】由正切函数性质逐一计算求解即可判断各选项.
【详解】对于 A，由 ，得 ，
所以当 时， 的图象关于 对称，A 正确；
对于 B， 的最小正周期为 ，B 正确；
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对于 C，由 ，得 ，C 错误；
对于 D，若 ，则 ，又 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，D 正确.
故选：ABD
11. 已知函数 ，若关于 x 的方程 有四个不同的实数根 ， ，
， ，且 ，则（ ）
A. m 取值范围是 B.
C. 的最小值是 9 D.
【答案】BD
【解析】
【 分 析 】 作 出 函 数 图 象 ， 依 据 有 四 个 不 同 实 数 根 得 到 的 范 围 ， 并 得 到
且 ， ，再逐一判断选项即可．
【详解】解：由题意作出函数 的图像，方程 的根即 与 交点的横坐标，
由图可知 ，A 错误；
由 可得 ，即 ，B 正确；
由图可知 ， ，可得 ，C 错误；
由 可得 ，
即 ，可得 ，即 ，
两边同除以 可得 ，D 正确
故选：BD．
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. ________．
【答案】
【解析】
【分析】利用换底公式直接求解即可.
【详解】 .
故答案为： .
13. 已知 ，则 的最大值为___________.
【答案】 ##0.25
【解析】
【分析】由 ，利用基本不等式求解.
【详解】解 ，
令 ，
则原式变 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
故答案为：
14. 2025 年山东省春节晚会准备在某市召开，该市筹备组将提前对其使用场所进行消毒，在药物喷洒过程中，
该场所空气中的含药量 毫克/每立方米 与时间 小时 成正比 ，药物喷洒完毕后 此时含
药量 ，y 与 x 满足关系 为常数， 据测定，空气中每立方米的含药量降低到 毫克
以下时，该场所才能进入使用，则筹备组进行消毒工作至少应该提前___________分钟.
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【答案】
【解析】
【分析】根据函数过 ，代入 可得 ，代入 可得 ，再根据题意解不等式
即可.
【详解】
设 ，
由题意， ， ，可得 ，即有
当 时， 的图象经过 ，
可得 ，解得 ，
则 ，
由 ，y 随着 x 的增大而增大，当 ，y 随着 x 的增大而减小，
则 ，即 ，解得 ， 小时即为 分钟，
所以工作人员至少在会议开始时提前 分钟进行消毒工作.
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知 为第三象限角，且
（1）求 ， 的值；
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（2）求 的值.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据角度所在象限和同角三角函数关系计算得到答案.
（2）利用诱导公式化简，再根据齐次式计算得到答案.
【小问 1 详解】
是第三象限角，且 ，
，
；
【小问 2 详解】
16. 已知函数 为偶函数.
（1）求 a 的值；
（2）若 ，求 m 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据偶函数的定义,由 ，求得 ;
(2) 首先写出 解析式,然后利用对数函数的单调性,结合定义域,得不等式组,求解即可.
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【小问 1 详解】
, 的定义域为
为偶函数, 的定义域一定关于原点对称，即
此时 , ,满足 ,
.
故 .
【小问 2 详解】
由（1）知 ,则 ,
故 可转化为 解得 或 ,
故实数 m 的取值范围为
17. 已知函数 .
（1）若 ，且 ， ，求 的最小值；
（2）若 ，解关于 的不等式 .
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件得到 ，再利用“ ”的妙用即可求解；
（2）根据条件可得 ，再利用含参的一元二次不等式的解法，即可求解.
【小问 1 详解】
由题意得 ，得 ，
又 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
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所以 的最小值为 .
【小问 2 详解】
当 时，不等式 ，即 ，
即 ，由 ，得到 或 ，
当 时，不等式即为 ，解得 ，
当 时，由 ，可得 ，
当 时，由 ，可得 ，
综上，当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
18. 已知函数 的最小正周期为
（1）求 ；
（2）求 在 上的单调递增区间；
（3）若不等式 在 内恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2） 和
（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求解；
（2）利用 的图象与性质，直接求出 的单调区间，再结合条件，即可求
解；
（3）根据条件，得 在 内恒成立，构造函数 ，
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，求出 的最大值，即可求解.
【小问 1 详解】
由 ，又 ，解得 .
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
由 ， ，解得 ， ，
当 时，得 ，又 ，所以 ，
当 时，得 ，又 ，所以 ，
所以函数 在 上的单调递增区间为 和
【小问 3 详解】
因为不等式 在 内恒成立，
所以 在 内恒成立，
令 ， ，
则 ，当 时， ，
则 ， ，
故 m 的取值范围为 .
19. 若函数 满足：对于任意正数 都有 ， 且 ，则称
为“速增函数”.
（1）试判断函数 与 是否是“速增函数”；
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（2）若 为“速增函数”，求 a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若 满足 ， 满足 ，求 的值.
【答案】（1） 不是“速增函数”， 不是“速增函数”
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“速增函数”的定义，通过举反例即可判断；
（2）先根据“速增函数”的定义将问题转化为不等式恒成立问题；再利用指数运算法则和指数函数的单调
性即可求解；
（3）构造函数 ，由已知代入运算可得 ，又 在 上
单调递增，则得 ，进而可得 的值.
【小问 1 详解】
对于函数 ，当 时， 不符合 ，
故 不是“速增函数”
对于函数 ，当 时， ，
故 不是“速增函数”.
【小问 2 详解】
为“速增函数”， 有 ，即 在 恒成立，
， ，
， 时有 ，
， ，
，即 ，
对一切正数 m，n 恒成立， ， ，
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的取值范围是
【小问 3 详解】
由（2）知 ，又由题意得 ，即 ，
由 得 ，
令 ， ，则 ，
，
，
在 上单调递增， ，
，
【点睛】关键点点睛：（3）小问构造函数 ，由已知代入运算可得 ，
再利用 单调性，求得 的值.
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