湖北省荆州中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省荆州中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集的运算求解即可；
【详解】由题意可得 .
故选：C.
2. 函数 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 的周期概念求解．
【详解】由已知最小正周期 ，
故选：C．
3. 已知命题 ，命题 ，则命题 是命题 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据指对函数的性质，结合充分，必要条件，即可判断选项.
【详解】因为函数 和 都是增函数，
若命题 成立，则 ，则 ，
第 1页/共 16页
所以命题 是命题 的充分条件，
反之，若命题 成立，则 ，但当 是非正数时，不等式没有意义 ，
所以命题 不是命题 的必要条件，
所以命题 是命题 的充分不必要条件.
故选：A
4. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 与 的大小关系比较即可
【详解】依题意得， ，
，
，所以 ，
故 ，
故选：B.
5. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且 在 上单调递减，若 ，则
实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由偶函数的单调性可得 在 上单调递增，然后将不等式化简，结合对数函数的单调性
求解，即可得到结果.
【详解】因为定义在 R 上的偶函数 在 上单调递减，则 在 上单调递增，
所以不等式 即 ，即 ，解得 ，
第 2页/共 16页
所以实数 的取值范围为 ．
故选：C
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意利用两角和差公式可得 ，再利用倍角公式结合齐次化问题分析求解.
【详解】因为 ，则 ，可得 ，
所以 .
故选：B.
7. 设函数 ，若 的图象经过点 ，且 在 上恰有
2 个零点，则实数ω的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 的图象经过的点及 范围求出 ，再根据 x 的范围得 ，结
合正弦函数的性质，列出相应不等式，即可求得 范围，即可得答案.
【详解】因为 的图象经过点 ，所以 ，又 ，所以 ，
则函数 ，当 时， ，
因为 在 上恰有 2 个零点，
第 3页/共 16页
所以 ，所以 ，即实数ω的取值范围是 .
故选：B.
8. 已知 对 恒成立，则 的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先分析函数 在区间 的零点和正负区间，再根据不等式分析函数
的零点，利用韦达定理表示 关系，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】当 ， ，则 ，
当 ， ，
当 ， ， ，
当 ， ，
当 ， ， ，
若 对 恒成立，
则 ，并且函数 的两个零点分别是 1 和 7，
则 ，则 ， ， ，
第 4页/共 16页
所以 ，
当 ， ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 6.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是转化为分析两个函数 和 的零点.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列选项中正确 是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】AD
【解析】
【分析】由不等式性质判断 A，取特殊值判断 BC，利用作差法判断 D.
【详解】由不等式的性质知， ，则 ，故 A 正确；
当 时， ，但 ，故 B 错误；
当 时， ，但 ，故 C 错误；
因为 ， ，
所以 ， ，所以 ，即 ，
故 D 正确.
故选：AD
10. 下列各式中，计算结果为 的是（ ）
A. B.
第 5页/共 16页
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用两角和的正弦公式可判断 A 选项；利用二倍角的余弦公式可判断 B 选项；利用两角差的正切
公式可判断 C 选项；利用二倍角的正切公式可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项， ；
对于 B 选项， ；
对于 C 选项， ；
对于 D 选项， .
故选：AC.
11. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函
数．定义双曲正弦函数 ，双曲余弦函数 ，双曲正切函数 ．则
（ ）
A. 双曲正弦函数是增函数 B. 双曲余弦函数是增函数
C. 双曲正切函数是增函数 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对 A、B：借助导数求导后即可得；对 C：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数将双曲正切函数化简
后，结合指数函数性质即可得；对 D：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数，分别将等式左右两边化简即可
得.
【详解】对 A：令 ，
则 恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故 A 正确；
第 6页/共 16页
对 B：令 ，
则 ，由 A 知， 为增函数，又 ，
故当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，故 B 错误；
对 C： ，
由 在 上单调递增，且 ，
故 是增函数，故 C 正确；
对 D：由 C 知 ，则 ，
，
故 ，故 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ，则 __________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据 ，表示出 ，根据对数的运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
第 7页/共 16页
所以 .
故答案为：2.
13. 已知函数 ，则函数 的值域为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方关系降幂，再利用二倍角公式化简后，结合正弦函数值域与二次函数性质得值域．
【详解】
，
又 ，
所以 ，
故答案为： ．
14. 设函数 ，若 恒成立，求 的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设 ， ，问题转化为这两个函数在定义域内同正同负或同为 0，结
合函数图象得出它们的图象与 轴交点重合，从而得出 关系，代入 ，再由基本不等式得最小值．
【详解】由已知 的定义域是 ，
设 ， ，显然它们在定义域内都是增函数，
因此 恒成立，则 与 在定义域内同正同负或同为 0，
作出 的图象，要求 ，只要它们的图象与 轴的交点重合，如图所示，
由 ，由 ，
所以 ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
第 8页/共 16页
故答案为：
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 ，求下列各式的值．
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助诱导公式可得 ，再借助弦化切后计算即可得；
（2）结合三角函数基本关系，将弦化切后计算即可得.
【小问 1 详解】
，即 ，
则 ；
【小问 2 详解】
.
第 9页/共 16页
16. 已知函数 ， ．
（1）求函数 的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值，并求出取得最值时 的值；
（3）求不等式 的解集．
【答案】（1） ；单调递减区间是 ，
（2） ， ； ，
（3）
【解析】
【分析】（1）由 的性质求周期，结合余弦函数单调性得减区间；
（2）求出 的范围，再结合余弦函数的性质得最值；
（3）由余弦函数的性质解不等式．
【小问 1 详解】
的最小正周期 ，
当 ，即 ， 时， 单调递减，
∴ 的单调递减区间是 ， .
【小问 2 详解】
∵ ，则 ，
故 ，
第 10页/共 16页
∴ ，此时 ，即 ，
，此时 ，即 ．
【小问 3 详解】
，即 ，
所以 或 ， ，
即 或 ， ，
所以不等式的解集为 ．
17. 已知函数
（1）求关于 的不等式 的解集；
（2）若函数 在 时存在零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）原不等式等价于 ，分 ， 与 三种情况解不等式即可.
（2）原命题等价于 有实根，令 ，令 ，
， ，利用对勾函数的性质求得 在 上的值域即可得到 a 的取值范围.
【小问 1 详解】
由 得 ，即 ，
①当 时，不等式的解集为 ；
②当 时，不等式的解集为 ；
第 11页/共 16页
③当 时，不等式的解集为
【小问 2 详解】
因为 在 时存在零点，
在 时存在实根，
即方程 有实根，
令 ，
令 ， ， ，
由对对勾函数性质知， 上单调递减，在 单调递增.
， ， ，
所以 .
18. 已知函数 （ ， ， ）是定义在 上的奇函数.
（1）求 和实数 b 的值；
（2）当 时，若 满足 ，求实数 t 的取值范围；
（3）若 ，问是否存在实数 m，使得对定义域内的一切 t，都有 恒成立？
【答案】（1） ，
（2）
（3）存在
【解析】
【分析】（1）直接代入计算出 ，由奇函数的定义求出 值；
（2）利用奇函数的性质变形不等式，再由单调性化简后求解；
第 12页/共 16页
（3）假定存在实数 m，对定义域内的一切 ，都有 恒成立，利用奇偶性单调性变
形化简不等式转化为二次不等式恒成立（注意定义域），分别求解后求交集得出．
【小问 1 详解】
依题意， ，
又 是 上的奇函数，则 ，即 ，
亦即 ，整理得 ，于是 ，而 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，
显然函数 在 上单调递减，
由奇函数性质及 ，得 ，
当 时，函数 在 上单调递增，则 在 上单调递减，
不等式化 ，解得 ，
【小问 3 详解】
假定存在实数 m，对定义域内的一切 ，都有 恒成立，
即 恒成立，
当 时，由（2）知函数 在 上单调递增，
不等式化为 ，整理得 ，
于是有 对任意 恒成立，则 ，
当 时， ，因此 ；
有 对任意 恒成立，设 ，
①当 时，函数 的图象开口向上，对称轴 ，
第 13页/共 16页
（i）当 ，即 时，必有 ，则 ；
（ii）当 ，即 时， 在 上恒成立，则
；
（iii）当 ，即 时， 上恒成立，则 ；
②当 时， ，不满足 在 上恒成立，
综上得 且 ，
所以存在 使得对定义域内的一切 ，都有 恒成立.
19. 已知函数 ，其中 t 为常数.
（1）当 时，若 ，求 x 的值；
（2）设函数 在 上有两个零点 m，n，
①求 t 的取值范围；
②证明： .
【答案】（1）答案见解析
（2）① ；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）将 代入后可得 ，结合 范围计算即可得解；
（2）①借助换元法，结合二次函数的性质计算即可得；②由韦达定理可得 ，
，结合三角函数在 上的单调性与①中所得计算有 ，即可得
，即可得证.
【小问 1 详解】
第 14页/共 16页
时， 即为 ， ，
或
所以 或 ， ，
【小问 2 详解】
①令 ，因为 ，所以 ，则 ，
则 ，
由 在 上单调递增，
故关于 的方程 在 上有两个不相等实数根，
即有 ，
解得 ，即 的取值范围为 ；
②令 ， ，
则 ， 为关于 的方程 的两根，
则有 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
即 ，
即有 ，由①知 ，
故 ，又 ，故 ，
第 15页/共 16页
由于 ，则 ，故 ，
又 在 上单调递增，故 ，
即 .
【点睛】方法点睛：与 有关的零点问题，可能通过换元法转化为一元二次方程的根的分布问题，
而要证明零点满足的不等式，需要找出两个零点之间的关系及其中一个零点的范围，然后利用函数的性质
如单调性证明出结论．
第 16页/共 16页