高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算随堂练习题，共16页。
题型1： 向量数量积的运算律
【练习1】已知，均为单位向量，，则（ ）
A．B．C．D．
题型2： 用数量积求向量的模和向量的夹角
【练习2】已知向量，满足，，，，则（ ）
A．B．C．D．
题型3： 与垂直有关的问题
【练习3】设与是两个向量，则是或的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
基础达标
1.已知是单位向量，，则向量在上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
2.已知向量，则为（ ）
A．B．C．D．
3.已知向量，，，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4.已知，，且，则为（ ）．
A．B．C．D．
5.若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7.设非零向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
8.已知非零向量满足，.若，则实数t的值为（ ）
A．B．C．D．3
能力提升
1.已知向量，满足，，在方向上的投影为，则（ ）
A．6B．9C．D．
2.如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则（ ）
A．B．C．1D．1
3.已知为的外接圆圆心，且，则（ ）
A．B．C．D．2
4.已知平面向量，满足，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5.已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6.在中，，则在上的投影向量的模为（ ）
A．1B．2C．D．
7.设，是两个向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8.已知，，且､的夹角为，如果，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
直击高考
1.（23-24高三下·上海·开学考试）已知，是两个不共线的单位向量，，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2.（2024高一下·全国·专题练习）已知，且向量与的夹角为，求.
3.（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量的夹角为，若，则 .
4.（2024·全国·模拟预测）已知向量是单位向量，，且满足，则 ．
参考答案与解析
一、题型研究
题型1： 向量数量积的运算律
【练习1】已知，均为单位向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】数量积的运算律
【解析】利用向量的积的运算求解即可
【详解】，均为单位向量，故，，由，得，
则有，化简得，所以，
故选：B
题型2： 用数量积求向量的模和向量的夹角
【练习2】已知向量，满足，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算
【分析】先根据已知条件求出向量与的点积，再利用向量点积公式求出.
【详解】，两边平方可得，即.
因为，所以；，所以.
那么.
又因为，所以，解得.
根据公式，可得，解得.
故选：A.
题型3： 与垂直有关的问题
【练习3】设与是两个向量，则是或的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、数量积的运算律、垂直关系的向量表示
【分析】运用充分条件和必要条件的定义，结合向量的数量积运算计算判定即可.
【详解】由得，则，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若则，即，无法得出或，
综上所述，是或的必要不充分条件.
故选：B.
二、 基础达标
1.已知是单位向量，，则向量在上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求投影向量、向量夹角的计算
【分析】根据投影向量定义以及已知条件直接计算即可求解.
【详解】由题意以及投影向量定义得向量在上的投影向量是：
.
故选：B.
2.已知向量，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】向量夹角的计算
【分析】首先求出的坐标，再根据夹角公式计算可得；
【详解】解：因为.
所以
所以
故选：.
3.已知向量，，，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可
【详解】因为向量，，，
所以，即，即，
因此，又因为，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查了平面向量夹角公式的应用，考查了平面向量数量积的运算性质应用，考查了数学运算能力.
4.已知，，且，则为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】数量积的运算律
【分析】根据性质将所求转化为数量积直接计算可得.
【详解】由题意，．
故选：B．
5.若，是两个单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】向量夹角的计算、已知数量积求模、数量积的运算律
【分析】由已知可知，先求出，然后利用夹角公式求解即可.
【详解】因为，是两个单位向量，且在上的投影向量为，
所以，
所以，
，
，
所以，
即的夹角的余弦值为，
故选：C
6.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】向量夹角的计算、平面向量数量积的定义及辨析
【分析】由条件转化为，且两向量不平行，即可求得实数的取值范围.
【详解】与的夹角为锐角，且，
解得：且.
故选：D
7.设非零向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】求投影向量、已知模求数量积
【分析】利用性质结合已知求出，然后可得投影向量.
【详解】因为，
所以，解得，
所以在上的投影向量为.
故选：D
8.已知非零向量满足，.若，则实数t的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【知识点】垂直关系的向量表示
【解析】由可得，即得，即可解出.
【详解】由，得，
，，
，解得.
故选：C.
三、能力提升
1.已知向量，满足，，在方向上的投影为，则（ ）
A．6B．9C．D．
【答案】A
【知识点】已知数量积求模、平面向量数量积的几何意义
【分析】由条件可知，利用数量积公式，即可求解.
【详解】由，得，所以，因为在方向上的投影为，所以，，所以，，故选：A
2.如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则（ ）
A．B．C．1D．1
【答案】A
【知识点】求投影向量、平面向量数量积的几何意义
【分析】根据投影向量的定义求解即可
【详解】设正六边形的边长为，
因为正六边形的一个内角为，
所以向量在向量上的投影为，
因为向量在向量上的投影向量是，
所以，
故选：A
3.已知为的外接圆圆心，且，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【知识点】用定义求向量的数量积、向量加法法则的几何应用
【分析】由已知条件可得是为直角的等腰三角形，然后数量积的定义求解即可
【详解】由可知为中点，则为直径，
所以；
在等腰中，由，得，
所以，
所以是为直角的等腰三角形，
所以
故选：A.
4.已知平面向量，满足，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】求投影向量、向量夹角的计算
【分析】根据投影向量的定义，结合向量夹角的运算，求解即可.
【详解】依题意，在方向上的投影向量为：
，
又因为，，代入上式，
所以在方向上的投影向量为：.
故选：A.
5.已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算
【分析】根据数量积的运算律及平面向量夹角公式计算即可．
【详解】由，得，
由，得，整理得，
所以，则，
设向量的夹角为，则．
故选：．
6.在中，，则在上的投影向量的模为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【知识点】求投影向量
【分析】在中，求得长从而可得的值，再根据投影向量的模的概念求解即可.
【详解】在中，，所以
所以
于是有在上的投影向量的模为.
故选：D.
7.设，是两个向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】已知模求数量积
【分析】根据向量的运算法则，对进行等价转化，即可判断充分性和必要性.
【详解】设，是两个向量，若，两边平方可得：
则其等价于
也等价于.
故“”是“”的充分必要条件.
故选：C．
8.已知，，且､的夹角为，如果，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】利用向量垂直求参数、垂直关系的向量表示、数量积的运算律、用定义求向量的数量积
【分析】求得，根据可得，展开化简，可得答案.
【详解】由题意可得，
由 ，可得，
即，
即，即，
故选：A
四、直击高考
1.（23-24高三下·上海·开学考试）已知，是两个不共线的单位向量，，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】数量积的运算律、判断命题的充分不必要条件
【分析】
先根据平面向量数量积运算公式得到，从而推出充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案.
【详解】，
因为，是两个不共线的单位向量，设，的夹角为，
所以，即，
当且时，，由于，故成立，充分性成立，
不妨设，，，此时，满足，必要性不成立，
故“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2.（2024高一下·全国·专题练习）已知，且向量与的夹角为，求.
【答案】
【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积
【分析】直接由数量积的运算律以及数量积公式运算即可.
【详解】.
3.（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量的夹角为，若，则 .
【答案】4
【知识点】已知数量积求模、用定义求向量的数量积
【分析】对化简结合已知条件可得答案.
【详解】因为向量的夹角为，，
所以
所以由，得
得，或（舍去），
故答案为：4
4.（2024·全国·模拟预测）已知向量是单位向量，，且满足，则 ．
【答案】3
【知识点】垂直关系的向量表示、已知数量积求模
【分析】根据题意可得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解.
【详解】因为向量是单位向量，，可知，
因为，则，化简可得，
所以．
故答案为：3.