浙江省台州市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析）

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一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1 若幂函数 经过点 ，则 （ ）
A. 81 B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】用待定系数法求出幂函数 的解析式，计算出 的值即可．
【详解】设幂函数 ，则 ，所以 ，
所以
故选：C.
2. 已知函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且 ， ，
， ，则函数 在区间 上的零点至少有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据零点存在定理，判断函数值的符号，然后判断函数零点个数即可．
【详解】解：因为函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，
且 ， ， ， ，
根据根的存在性定理可知，在区间 和 内至少含有一个零点，
故函数在区间 上的零点至少有 2 个.
故选：B
3. “ 且 ”是“ ”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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【答案】A
【解析】
【分析】按照充分必要条件的判断方法判断，“ 且 ”能否推出“ ”，以及“ ”能否
推出“ 且 ”，判断得到正确答案，
【详解】当 且 时， 成立，
反过来，当 时，例： ，不能推出 且 .
所以“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型.
4. 已知扇形的圆心角为 1rad，面积为 8，则扇形的弧长为（ ）
A. 8 B. 4 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由扇形的面积公式 可得半径，进而由弧长公式可得答案.
【详解】设该扇形的弧长为 l ，圆心角为 ，半径为 r ，
由 ，可得 ，解得 ，
故 .
故选：B.
5. 若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知结合 求出 、 ，即可求
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
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解得： ，或 ，
因为 ，所以 ，
此时可得 ，则 ，
故选：D.
6. 将函数 的图象向左平移 个单位，得到的函数图象关于 y 轴对称，则 的值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象平移得到偶函数 ，即 ，即可求
【详解】由题意，将函数 的图象向左平移 个单位长度，
得到偶函数 的图象，
所以 ，求得 ，
又 ，故 的值为 .
故选：B
7. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数换底公式、对数运算及不等式的性质来比较大小.
【详解】因为 ， ，
且 ，
所以 ，
因为
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所以 ，
所以
故选：C.
8. 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向通常会发生改变，这种现象称为光的折射.光在折射过程中，
入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值是一个常数.例如，一束光线从空气斜射入水时，会发生折射现象，
并满足 （其中 是入射角， 是折射角） 当入射角 增加 时，折射角 增
加 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用题干所给定义，列式，结合两角和与差的正弦公式，可得结果.
【详解】已知光从空气斜射入水时，满足 即 .
当入射角 增加 时，设此时入射角为 + ，折射角变为 + ，
根据折射定律有： ，即 + + ，
因为 + ，
将 代入
可得 + +
+
由于 < < ， 的值在 0 到 1 之间， ， ，
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当 时， +
而 当 时 所以 .
故答案为：A.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知 ，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式性质及作差法判断各项的正误.
【详解】选项 A，若 ，则 ，正确；
选项 B，若 ，则 ，错误；
选项 C， ，则 ，所以 ，正确；
选项 D，因为 ，则 ，所以 ，正确
故选：ACD
10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的值域为 B. 函数 的最小正周期为
C. 在 上单调递减 D. 的图象关于 对称
【答案】AD
【解析】
【分析】应用辅助角公式化简三角函数式，根据正弦型函数的性质、代入法判断对称中心，即可得各项的
正误.
【详解】由 ，
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对于 A，因为 ，故 的值域为 ，正确；
对于 B，因为 的最小正周期为 ，则函数 的最小正周期为 ，错误；
对于 C，当 时， ， 在给定区间内不单调，错误；
对于 D，因为 ，则 的图象关于 对称，正确.
故选：AD
11. 已知 ， 都是定义在 R 上的函数，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 存在 ，使得 D. 若 是增函数，则 是增函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用求函数值判断 ABC，利用复合函数的单调性判断 D 即可.
【详解】对于选项 A， ，则 ，故 A 正确；
对于选项 B： ， ，
则 ，故 B 正确；
对于选项 C，若存在 使得 ，则 ，
由于 是增函数，对于不同的 x 值， 的值不同，
因此不存在满足条件的 ，故 C 错误；
对于选项 D，若 是增函数，则 时， ，
由 ，可得 ， ，
由于 且 ，所以 ，
即 是增函数，选项 D 正确.
故选：ABD.
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【点睛】关键点点睛：对于 D 选项关键点是利用复合函数的单调性判断解题.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 （ 且 ）的图象恒过定点______．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数过定点求解.
【详解】解：由 ，
令 ，得 ，
所以函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，
故答案为：
13. 已知 ，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式计算可得答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
故答案为：
14. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 单位： 与时间 单位：
间的关系为 ，其中 ，k 是正常数．污染物的初始含量为__________ ；如果在前 5 h 消除
了 的污染物，那么污染物减少 需要花费__________小时 精确到 参考数据：
【答案】 ①. ②. 57
【解析】
【分析】代入数据，根据指对互化，即可求解.
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【详解】因为过滤过程中废气的污染物含量 P 与时间 t 间的关系为 ，
所以 时， ；
设要消除 的污染物，至少需要的时间 t 小时，
由题意得 ，
故答案为： ；57.
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 求值：
（1）
（2）
【答案】（1） ；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质化简求值；
（2）利用诱导公式化简求值.
【小问 1 详解】
；
【小问 2 详解】
原式
16. 已知集合 ，
（1）若 时，求
（2）若 ，求实数 a 的取值范围.
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【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数定义域 求法求得集合 B，由此求得
（2）由 知 ，列不等式来求得 a 的取值范围.
【小问 1 详解】
， 或 ，
【小问 2 详解】
由 知 ，
，
①当 时， ，
②当 时， ， ；
③当 时， ，不满足题意.
所以 a 的取值范围为
17. 已知函数 是奇函数.
（1）求 a 的值，判断函数 的单调性并请说明理由;
（2）对任意 ，不等式 恒成立，求实数 k 的取值范围.
【答案】（1） ，函数 在 R 上单调递增，理由见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由 求得 a，然后验证即可，再利用函数单调性 定义证明单调性；
（2）根据函数的奇偶性和单调性得 恒成立，应用基本不等式求右侧最值，即可得结果.
【小问 1 详解】
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因为函数 是奇函数，所以有 ，得
则 ，有 ，符合题设，
所以 ，即 ，
， ，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，即
所以函数 在 R 上单调递增.
【小问 2 详解】
由题设及奇函数性质知 对任意 恒成立，
因为 在 R 单调递增，所以 ，即 ，
设 ，当 时取等号，
所以 k 的取值范围为
18 已知 ， ， ， ，
（1）请写出以 x 轴的非负半轴为始边，射线 OA 为终边的角的集合;
（2）作点 A 关于直线 OB 的对称点 .
①当 ， 时，求点 C 坐标;
②若 ， ，求
【答案】（1） ；
（2）① ；②
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【解析】
【分析】（1）根据题意，射线 OA 为终边的角的集合是所有与 终边相同的角，即可得答案；
（2）①根据题意 ，利用余弦和正弦的和角公式计算 和 ，可求得点 C
坐标；
②根据题意 ，进而得 ，可得 ，利用余弦和正弦 和差
公式得到 ，即可求解.
【小问 1 详解】
由 在角 的终边上，所以射线 OA 为终边的角的集合为 ；
【小问 2 详解】
①由题知， ，
， ，
， ，
所以， ，
②由题知， ，则
由 ，知 ，故 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以
19. 给定函数 ，若对任意一个三角形，只要它的三边长 ， ， 都在 的定义域内，就有
， ， 也是某个三角形的三边长，则称 为“保三角形函数”.
（1）判断函数 是否为“保三角形函数”，并说明理由;
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（2）若 是“保三角形函数”，求 的最小值;
（3）若函数 同时满足以下条件：
① ；
② 在区间 上单调递增；
③对任意 ， ， 都有
证明：函数 是“保三角形函数”.
【答案】（1）是，理由见解析
（2）1 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用“保三角形函数”定义判断即可；
（2）由 是“保三角形函数”，得 ，由题意可证 m 的最小值为 1；
（3）由“保三角形函数”及函数 在区间 上单调递增，可证明函数 是“保三角形函数”.
【小问 1 详解】
不妨假设 ，有 ，
此时 ， ， ，
且有 ，
所以 ， ， 可以构成某三角形的三边，
所以 是“保三角形函数”.
【小问 2 详解】
因为 是“保三角形函数”，
所以 ， ， 且 ， ， ，
必有 对 恒成立，
所以 ，解得
下证：当 时， 是“保三角形函数”.
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不妨设 ，有
此时 ， ， ，
则
，
即 是“保三角形函数”.
所以若 是“保三角形函数”， 的最小值为
【小问 3 详解】
不妨设 ，且 ，
， ，
由 ， ，
知当 时， ，
所以 ，
所以
而 ， 在区间 上单调递增，
所以
所以 ，即函数 是“保三角形函数”.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解“保三角形函数”的定义，实际上即说明较小两边之和大于最大
边长.