河南省平顶山市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省平顶山市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，设 F 是抛物线 C等内容，欢迎下载使用。
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答
题纸上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答
案写在答题纸上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求．
1．已知随机变量 ， ，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 i 为虚数单位，若 ，则 z 的共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
4．在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ， ，则 （ ）
A．-1 B． C．1 D．
5．如图，图象对应的函数解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知红箱内有 5 个红球和 3 个白球，白箱内有 3 个红球和 5 个白球，所有小球形状大小完全相同．第一
次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，
依次类推，第 次从与第 k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第 n 次取出的球
是白球的概率为 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．在平行六面体 ，点 P 是线段 BD 上的一点，且 ，设 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知数列 中， ，若 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知由样本数据点集合 其中 ，求得的回归直线方程 ：
记此模型对应的相关指数为 ．观察残差图发现：除了数据点 和 明显偏
离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程 ： ，记此
模型对应的相关指数为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．变量 x 与 y 正相关 B．记 ，则
C． D．
10．设 F 是抛物线 C： 的焦点，直线 l： 与抛物线 C 交于 A、B 两点，O 为坐标原点，则
下列结论正确的是（ ）
A．
B． 可能大于 1
C．若 ，则
D．若在抛物线上存在唯一一点 Q（异于 A、B），使得 ，则
11．如图，已知圆柱母线长为 4，底面圆半径为 ，梯形 ABCD 内接于下底面圆，CD 是直径，
， ，过点 A，B，C，D 向上底面作垂线，垂足分别为 ， ， ， ，点 M，N 分别
是线段 ， 上的动点，点 Q 为上底面圆内（含边界）任意一点，则（ ）
A．若平面 DMN 交线段 于点 R，则
B．若平面 DMN 过点 ，则直线 MN 过定点
C． 的周长为定值
D．当点 Q 在上底面圆周上运动时，记直线 QA，QB 与下底面所成角分别为 ， ，则 的
取值范围是
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12． 在 平 面 直 角 坐 标 系 xy 中 ， 一 条 光 线 从 点 时 出 ， 经 直 线 反 射 后 ， 与 圆 C：
相切，写出一条反射后光线所在直线的方程______．
13．已知函数 有三个零点，求 a 的取值范围______．
14．如图，在河岸同侧有甲、乙两个工厂，甲工厂位于笔直河岸的岸边 A 处，乙工厂位于离河岸 40 公里的
B 处，BD 垂直于河岸，垂足为 D 且与 A 相距 50 公里．两个工厂要在此岸边 A，D 之间合建一所供水站 C，
从供水站到甲工厂和乙工厂铺设水管的费用分别为每公里 3a 元和 5a 元，供水站建在与甲工厂相距______
公里，可使铺设水管的总费用最省．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
已知抛物线 C 顶点在原点，焦点在 x 轴上，且经过点 ，一条斜率为 的直线过抛物线 C 的焦点，
且与 C 交于 A，B 两点，
（Ⅰ）求抛物线 C 的标准方程；
（Ⅱ）求弦 的长度．
16．（15 分）
四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， ， 四 边 形 ABEF 是 梯 形 ， ， 且 ，
， ，平面 平面 ABEF．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线 EC 与平面 EFD 所成角的正弦值．
17．（15 分）
在活动中，初始的袋子中有 5 个除颜色外其余都相同的小球，其中 3 个白球，2 个红球．每次随机抽取一个
小球后放回．规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放
回袋中．记经过 次抽取后，袋中红球的个数为 ．
（Ⅰ）求 的分布列与期望；
（Ⅱ）证明 为等比数列，并求 关于 n 的表达式．
18．（17 分）已知函数 ， ．
（Ⅰ）若曲线 在 处的切线过原点，求 a 的值；
（Ⅱ）当 时， ，求 a 的取值范围．
19．（17 分）
设数列 的前 n 项和为 ，且满足 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）解关于 n 的不等式：
（Ⅲ）若 ， ， ，求证：数列 前 n 项和小于 ．
平顶山市 2023—2024 学年第二学期高二年级期终考试
数学（平顶山版）答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1．答案 B
命题意图 本题考查二项分布与期望值的求法．
解析 由题意得 ， ，因为 ，所以 ，解得
2．答案 D
命题意图 本题考查求解对数不等式与绝对值不等式求并集值．
解 析 ， ， 则
3．答案 D
命题意图 本题考查复数运算与共轭复数．
解析 ，则
4．答案 C
命题意图 本题考查正弦定理的运用．
解析 由 ，得 ，所以
5．答案 A
命题意图 本题考查根据函数图像的性质求解析式．
解析 对于 B， ，故 是偶函数，不符合图
象，故 B 错误；对于 C，由解析式可知 ，不符合图象，故 C 错误；对于 D，当 时，
， ， ，则 ，与图象不符，故 D 错误．
6．答案 A
命题意图 本题考查独立事件与互斥事件．
解析 由题意可知在红箱内取到红球的概率为 ，取到白球的概率为 ，在白箱内取到红球的概率为 ，
取到白球的概率为 ，第 次取出白球，包括“第 n 取出是红球”和“第 n 次取出是白球”两种情况，
第 n 次 取 出 的 球 是 白 球 的 概 率 为 ， 则 第 n 次 取 出 的 球 是 红 球 的 概 率 为 ， 所 以
7．答案 C
命题意图 本题考查空间向量线性运算．
解析
8．答案 C
命题意图 本题考查由数列递推关系进行数列累加、放缩判断正误．
解析 对 取倒数得： ，A： ，故 A 错误；
B： ，故 B 错．
C：
，故 C 正确．
D：记 ， ，则 ，当 时， ，故 在
上 单 调 递 增 ， 因 此 ， 进 而 可 得 ： ， 由 该 结 论 可 得 ：
， 故 ， 所 以
， 因 此
，∵ ，所以 ，故 D 错误．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
9．答案 ABD
命题意图 本题考查回归直线方程的综合问题．
解析 因为回归方程为 ： ， ，所以变量 x 与 y 具有正相关关系，故 A 正确；
因为 ，所以 ，故 B 正确；
由题可得剔除这两个数据点后的拟合效果更好，所以 ，故 C 错误；
因 为 ， ， 所 以 剔 除 这 两 个 数 据 点 后 ， 样 本 的 中 心 还 是 ， 所 以
，故 D 正确．
10．答案 ACD
命题意图 本题考查直线与抛物线的综合问题．
解析 对于 A 选项，设 、 ．联立直线与抛物线 可得 ，则
， ，则 ，故 A 正确；
对于 B 选项， ，故 B 错误；
对于 C 选项，过点 A 作直线 的垂线 AE，垂足为点 E，由抛物线的定义可得 ，则
，当点 P、A、E 三点共线时， 取最小值，且 的最小值为点
P 到直线 的距离，故 的最小值为 3，故 C 正确；
若存在唯一一点 ，使得 ， ，同理可得
，
由题意可得 且 ，则 ，整理可得 ，由题意
可知，关于 m 的二次方程 只有唯一解，则 ，解得 ，D 选项正
确．
11．答案 AB
命题意图 本题考查线面平行的判定与性质与线面垂直的判定与性质、余弦定理、基本不等式．
解析 A：由题可得 ， 面 ， 面 ，故 面 ；又
， 面 ， 面 ， 故 面 ； ，
面 ，故面 面 ；又 面 ，故 面 ；又
面 DMN，面 面 ，故可得 ，故 A 正确；
B：根据題意， ，MN 共面，又 M、N 分别为 ， 上的动点，故直线 面 ；不妨设
直线 与平面 的交点为 P，若要满足 与 MN 共面，则直线 MN 必过点 P，又 P 为定点，故 B
正确；
C： 设 的 周 长 为 l， 当 点 Q 与 重 合 时 ，
；当点 Q 与 中点重合时，连
接 BQ，AQ，
此时 ；显然
周长不为定值，故 C 错误；
D：过 Q 作底面垂线，垂足为 E，且在下底面圆周上，即 面 ABCD，连接 BE，AE，则∠QBE，∠QAE
分别是直线 QA，QB 与下底面所成的角，
∴ ， ， ， ，则 ， ，
则 ，
∵ ， ，底面圆半径为 ，若 E 在 AB 对应优弧上时， ，则
，∴ ，当且仅当 时，等号
成 立 ， 此 时 ， 若 E 在 AB 对 应 劣 弧 上 时 ， ， 则
，当且仅当 时等号成立，此时 ，
综 上 ， ， 故 ， 即
，故 D 错误．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．答案 或 （答案不唯一，考生答其中一条直线方程即可）
命题意图 本题考查光的反射原理与圆和直线的关系求直线方程．
解析 依题意，点 关于直线 的对称点 ，由光的反射定理知，从点 A 射出的光线经直
线 反射后，与圆 C 相切，相当于从点 发出的光线与圆 C 相切，显然该切线斜率存在，设方程为
，因此圆心 到直线 的距离 2 ，解得 ，所以所求
直线方程为 或 ．
13．答案
命题意图 本题考查根据函数零点的个数求参数范围．
解 析 由 得 ， 令 ， 则 ， 令
，得 或 ， 时， ， 时， ，所以
在 ， 上单调递减，在 上单调递增， 极小值为 ，极大值为
，且 恒成立，所以函数 的大致图像如图所示：
所以函数 有三个零点，则 ．
14．答案 20
命题意图 本题考查函数的解析式求法与导数的极值．
解析 设 ，则 ， ， ， ，
所以总费用 ，令 ，得 ，当 ， ，函数单调递减，
当 ， ，函数单调递增，所以当 时，总费用取得最小值，此时 公里．
四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．命题意图 本题考查根据抛物线上的点求标准方程和抛物线与直线相交的弦长．
解析 （Ⅰ）由题意，可设抛物线为 ，又抛物线经过点 ，所以
则抛物线 C 的标准方程为 ．
（ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） 知 ： 抛 物 线 焦 点 为 ， 则 直 线 AB： ， 代 入 抛 物 线 消 去 y， 得
，
则 ，显然 ，所以 ， ，
则 ．
16．命题意图 本题考查线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直与线面角的向量求法．
解析 （Ⅰ）证明：因为 ， ， ，由余弦定理得：
，所以
则 ，所以 ，即 ，
又平面 平面 ABEF，平面 平面 ， 平面 ABCD
所以 平面 ABEF，又 平面 ABEF，所以 ；
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则 、 、 、
所以 ， ，
设平面 EFD 的法向量为 ，所以 ，令 ，则 ，
设直线 EC 与平面 EFD 所成角为 ，则 ，
故直线 EC 与平面 EFD 所成角的正弦值为 ；
17．命题意图 本题考查概率分布列与数学期望、构造数列求通项表达式．
解析 （Ⅰ） 的可能取值为 2，3，4． ， ，
，则 的分布列为：
2 3 4
P
故 ．
（Ⅱ）①若第 次取出来的是红球，由于每次红球和白球的总个数是 5，则这种情况发生的概率是
，此时红球的个数为 ；
②若第 次取出来的是白球，则这种情况发生的概率是 ，此时红球的个数为 ．
故 ， ，
则 ，所以 是公比为 的等比数列．
故 ，即 ．
18．命题意图 本题考查由导数几何意义求切线方程与构造函数求参数的取值范围．
解析 （Ⅰ） ，则
则
又曲线 在 处的切线过原点，则 ，即 ，解之得
（Ⅱ）①当 时， ， ， ，则 在 上单调递减，
又 ，则 时， ； 时， ，故 时，不满足当 时
，不符合题意；
②由 ，可得 ，则 ，
令 ， ，要证 ，只需证
（Ⅰ）当 时， ，由①知，
（ Ⅱ ） 当 时 ， ， 令 ， ， 则
， ， 在 单调递减，在 单调递增， ，
， ，则 ， ，使得 ，则当
或 时 ，当 时 ，则 在 和 单调递增，
在 单调递减
又由 ，可得当 时， ；当 时， ，则
在 上单调递增；在 上单调递减，又由 ，可得当 时，
（Ⅲ）当 时， ，则 在 上单调递增，又由
，可得当 时，
综上，当 时， 在 上恒成立，则 a 的取值范围是
19．命题意图 本题考查累加法求数列通项、裂项相消法求和、二项展开式各项的系数和．
解析 （Ⅰ）由 知当 ，有 ，两式相减得 ，即
，
又 ，解得 ，所以数列 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以 ；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）知
由于 随着 n 的增大而增大，且 ， ，所以正整数 n 最大可取 6
即原不等式的解集为 ．
（Ⅲ） ，故 ，
当 时， ；当 时，由累加法得：
． 符合上式，
故
，此时可以得出：
∵ ， ，当且仅当 时，等号成立，∴ ，
∴ ，