河南省南阳市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省南阳市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，保持卷面清洁，不折叠、不破损， 设，，，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.
第Ⅰ卷选择题（共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 直线，，的斜率分别为2，1，，倾斜角分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由于，由正切函数的图像性质可得倾斜角，，的大小关系.
【详解】由于，
由正切函数的图像性质可知，当时，为增函数，且，
由，可知；
当时，为增函数，且，
，所以；
所以，选项B正确.
故选：B
2. 函数在上的最小值为（ ）
A. B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，计算函数极值以及区间端点处函数值，即可求得答案.
【详解】由可得，
令，
当或时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
则为函数的极大值点，为函数的极小值点，
故，
故函数在上的最小值为，
故选：C
3. 某市农科所实验基地现有并排的10块试验田，选择其中的两块分别种植，两种作物，每块种植一种作物，要求，两种作物的间隔不小于6块试验田，则不同的种植方法共有（ ）
A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种
【答案】A
【解析】
【分析】分类考虑，两种作物的间隔的块数，根据分类计数原理即可求得答案.
【详解】由题意，两种作物的间隔至少为6块，至多为8块，
当间隔为6块时，有种种植方法；
当间隔为7块时，有种植方法；
当间隔为8块时，有种种植方法；
故共有种种植方法；
故选：A
4. 设数列是由正数组成的等比数列，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列的性质，设，，，则A，B，C成等比数列，然后利用等比中项的性质可求得答案
【详解】设，，，公比为，
则A，B，C成等比数列，公比为，且，
由条件得，
所以，所以.
故选：D.
5. 在单位正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.
【详解】如图，以D为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，

则,
故，
设平面法向量为，
则，令，则，
故点到平面的距离为,
故选：C
6. 过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得为等边三角形，可得结果.
【详解】圆化为标准方程为，
其圆心为，半径为1，

由题意知，,,,,
所以,所以.
所以,且,
所以为等边三角形，
所以.
故选:C．
7. 若在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，根据复合函数的单调性可得需满足，且在上单调递减，结合导数。参变分离即可求得答案.
【详解】令，则在上单调递减，
由题意可得需满足，且在上单调递减，
令，则在上恒成立，
即在上恒成立，而在上单调递减，
即，故；
经检验当时，在上恒成立，
在上单调递减，符合题意；
由，则在上恒成立，
所以，
故，
综合以上可得，
故选：C
8. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分别构造函数，，与函数，，即可比较大小.
【详解】构造函数，，则，
因为，当时，，则函数单调递减，
则，即，所以，即，
构造函数，，则，
因为，当时，，则函数单调递增，
则，即，所以，即，
所以.
故选：A
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 若椭圆的离心率为，则实数的值可能为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】AD
【解析】
【分析】分焦点在轴上和轴上两种情况讨论，再根据条件即可求出结果.
【详解】因为椭圆的离心率为，
当焦点在轴上时，即，得到，由，解得；
当焦点在轴上时，即，得到，由，解得.
故选：AD.
10. 设等差数列，的前项和分别为，，若，则满足的的值可能为（ ）
A. 2B. 4C. 12D. 14
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，由，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为等差数列，的前项和分别为，，且，
则，
因为，则，所以，且，则舍，
所以的可能值为.
故选：ABD
11. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用二项式的通项公式及导数与赋值法即可得解.
【详解】,
, A错误B正确；
，
令得：，C错误D正确；
故选:BD.
12. 定义在上的函数满足恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】构造函数，通过导数可以判断出在上单调递减，结合选项逐一检验即可.
【详解】，，
即，等价于，
构造函数，则，
即在上单调递减，
，，即，化简得，故A选项正确，B选项错误；
，，即，化简得，故C选项正确，D选项错误；
故选：AC
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知为等差数列的前项和，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式，求得，再根据等差数列的性质，即可求解.
【详解】由为等差数列前项和，因为，
根据等差数列的求和公式，可得，解得，
又由等差数列的性质，可得，所以，所以.
故答案为：.
14. 曲线在处的切线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数在处的函数值，由导数的几何意义可求.
【详解】，则，
，所以，即切线的斜率，
所以切线方程为，即
故答案为：
15. 已知为双曲线的右焦点，为双曲线右支上的一点，且的三个内角，，成等差数列（公差，则双曲线的离心率______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据条件求出，，，从而得到，再利用点在双曲线上和，建立方程即可求出结果.
【详解】不妨设，因为的三个内角，，成等差数列（公差），
所以，又，
解得，，，
又，所以，故，
即，由题有，又
，代入，
得到，化简得到，
解得或（舍弃），
所以.

故答案为：.
16. 记为正整数的最大奇因数，如，，设，则______；______
【答案】 ①. 22 ②.
【解析】
【分析】由题意可得，，从而求出；且推出，可得.
【详解】由题意可得，，
，，
；
，
所以，
即，
所以.
故答案为：22；.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由已知递推出，考查了学生的思维能力、计算能力.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计､方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用（单位：元）及该月对应的用户数量（单位：万人），得到如下数据表格：
已知与线性相关.
（1）求关于线性回归方程；
（2）据此预测，当月租减免费用为10元时，该月用户数量为多少？
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
【答案】（1）
（2）万人
【解析】
【分析】（1）根据已知数据，先求得，然后利用公式计算回归方程中的系数，得到回归方程；
（2）利用回归方程估计.
【小问1详解】
解：由
有，
故关于的线性回归方程为；
【小问2详解】
解：由（1）知回归方程为，当时，，
所以预测该月的用户数量为万人.
18. 为了解同学们对数学感兴趣程度，现对某校高二年级不同分数段（满分150分）的学生对数学感兴趣程度进行调查（只有感兴趣和不感兴趣两个选项且每人必须选择其中一项），随机抽调了50人，各分数段频数（单位：人）及对数学感兴趣人数如下表：
（1）根据以上统计数据完成下面的列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“该校高二年级学生对数学的感兴趣程度与成绩不低于110分有关”?
（2）若在成绩为分数段并且对数学感兴趣的同学中随机抽取4人，求成绩来自这一分数段的人数的分布列及数学期望.
附：，
【答案】（1）列联表见解析；有
（2）分布列见解析；
【解析】
【分析】（1）由题意可得列联表，计算的值，与临界值表比较，即得结论；
（2）确定变量X的取值，求得每个值对应的概率，可得分布列，根据期望公式求得期望.
【小问1详解】
由题意得：
则，
故有99.9%的把握认为“该校高二年级学生对数学的感兴趣程度与成绩不低于110分有关”.
【小问2详解】
由题意知的取值可能为，
则，
，，
则的分布列为：
故.
19. 已知数列的前项和为，且（），
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出首项，继而当时利用递推式推出数列是以1为首项，2为公比等比数列，即可求得答案；
（2）求出的表达式，利用错位相减法即可求得答案.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
故，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
故；
【小问2详解】
由（1）得，
故，
则，
故
，
则
20. 三棱柱中，平面平面，是等边三角形，，，.

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由，，，得到，再利用面面垂直的性质定理和判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量，由求解.
【小问1详解】
因为，，，
所以，
则，即，
所以，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
【小问2详解】
建立如图所示空间直角坐标系：

则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得到，则，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得到，则，
所以，
又二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为.
21. 已知抛物线：的焦点为，过轴正半轴上一点的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，且.
（1）求点的坐标；
（2）设点关于直线的对称点为，求四边形面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设直线的方程为，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合数量积的坐标表示，列式计算，即得答案.
（2）利用，结合求得，求得四边形面积的表达式，结合基本不等式即可求得答案.
【小问1详解】
设直线的方程为，联立，
可得，需满足，设，
则，由于，
由可得，
解得或（舍去），
则过轴正半轴上一点，
即点的坐标为.
【小问2详解】
由题意知，结合（1）知，
不妨设，
则，
由于关于对称，故，
故，
当且仅当时，即时，等号成立，
故四边形面积的最小值为.
【点睛】关键点睛：求解四边形面积的最小值时，关键是求出四边形面积的表达式，即利用，进而结合，求得表达式，然后结合基本不等式求解.
22. 已知函数（）有两个零点.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求得函数导数，判断函数单调性，结合函数值情况，即可求得答案.
（2）利用函数零点知识可得，令，从而将证明转化为证明对恒成立，然后构造函数，利用导数即可证明结论.
【小问1详解】
由题意得函数（）有两个零点即有两个正根，
设，则，
由得，由得，
故在上单调递增，在单调递减，
又，当时，，

故实数的取值范围为
【小问2详解】
由（1）知，
由题意得，则，
故，
设，要证明，只需证明对恒成立，
即对恒成立，
令，则
故在上单调递增，且，
故对恒成立，即对恒成立，
故.
【点睛】难点点睛：本题综合考查导数知识的应用，难点在于第二问不等式的证明，证明时要利用函数零点对所证不等式进行变式，即证明对恒成立，继而构造函数，利用导数判断函数单调性进行解决.
用户一个月月租减免
的费用（元）
3
4
5
6
7
用户数量（万人）
1
1.1
1.5
1.9
2.2
成绩
频数
5
10
15
10
5
5
感兴趣人数
1
3
5
7
4
5
成绩
低于110分
不低于110分
合计
感兴趣
不感兴趣
合计
50
P
0.050
0.025
0.01
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
成绩
低于110分
不低于110分
合计
感兴趣
9
16
25
不感兴趣
21
4
25
合计
30
20
50
X
0
1
2
3
P