2025年高考数学核心考点归纳第92讲、两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学核心考点归纳第92讲、两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布特训(学生版+解析)，共128页。试卷主要包含了两点分布的均值与方差，二项分布的期望，假设检验的思想等内容，欢迎下载使用。
知识点一．两点分布
1、若随机变量服从两点分布，即其分布列为
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
注意：
（1）两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为；
（2）两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛．
2、两点分布的均值与方差：若随机变量服从参数为的两点分布，则，．
知识点二．次独立重复试验
1、定义
一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．
注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
2、特点
（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；
（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
知识点三．二项分布
1、定义
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．
注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．
2、二项分布的适用范围及本质
（1）适用范围：
①各次试验中的事件是相互独立的；
②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数．
（2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
3、二项分布的期望、方差
若，则，．
知识点四．超几何分布
1、定义
在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．
2、超几何分布的适用范围件及本质
（1）适用范围：
①考察对象分两类；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布．
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
知识点四、正态曲线
1、定义：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．
2、正态曲线的性质
（1）曲线位于轴上方，与轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（3）曲线在处达到峰值（最大值）；
（4）曲线与轴之间的面积为1；
（5）当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示：
（6）当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：

甲 乙
知识点五、正态分布
1、定义
随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是落在区间的概率的近似值．
一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．
其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2、原则
若，则对于任意的实数，为下图中阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围的概率越大
特别地，有；；．
由，知正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．
【解题方法总结】
1、超几何分布和二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；
而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
2、在解决有关问题时，通常认为服从正态分布的随机变量只取之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．
3、求正态变量在某区间内取值的概率的基本方法：
（1）根据题目中给出的条件确定与的值．
（2）将待求问题向，，这三个区间进行转化；
（3）利用在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．
4、假设检验的思想
（1）统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．
（2）若随机变量ξ服从正态分布，则ξ落在区间内的概率为，亦即落在区间之外的概率为，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明不服从正态分布．
（3）对于小概率事件要有一个正确的理解：
小概率事件是指发生的概率小于的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有犯错的可能性．
必考题型全归纳
题型一：两点分布
例1．（2024·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考阶段练习）若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
例3．（2024·全国·高三专题练习）有一个盒子里有1个红球，现将（）个黑球放入盒子后，再从盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着（）的增加，下列说法正确的是（ ）
A．减小，增加B．增加，减小
C．增加，增加D．减小，减小
变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2024·北京·高三专题练习）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.
(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；
(2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望；
(3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明）
变式3．（2024·全国·高三专题练习）某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：将产品每个一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验次或次．设该工厂生产件该产品，记每件产品的平均检验次 数为．
（1）求的分布列及其期望；
（2）（i）试说明，当越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；
（ii）当时，求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数．
变式4．（2024·全国·高三专题练习）某单位有员工50000人，一保险公司针对该单位推出一款意外险产品，每年每位职工只需要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金.保险公司把该单位的所有岗位分为，，三类工种，从事三类工种的人数分布比例如饼图所示，且这三类工种每年的赔付概率如下表所示：
对于，，三类工种，职工每人每年保费分别为元､元､元，出险后的赔偿金额分别为100万元､100万元､50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年20万元.
(1)若保险公司要求每年收益的期望不低于保费的，证明：.
(2)现有如下两个方案供单位选择：方案一：单位不与保险公司合作，职工不交保险，出意外后单位自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给出意外的职工，单位开展这项工作的固定支出为每年35万元；方案二：单位与保险公司合作，，，单位负责职工保费的，职工个人负责，出险后赔偿金由保险公司赔付，单位无额外专项开支.根据该单位总支出的差异给出选择合适方案的建议.
变式5．（2024·全国·高三专题练习）为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送位同行专家进行评审，位专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.位专家中有位专家评议意见为“不合格”，将再送位同行专家（不同于前位）进行复评.复评阶段，位复评专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立.
(1)若，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少；
(2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为元，不需要复评的评审费用为元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？
题型二：次独立重复试验
例4．（2024·全国·高三专题练习）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为.
(1)比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？
(2)第10轮比赛中，记张三取胜的概率为，求出的最大值点.
例5．（2024·全国·高三专题练习）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为，甲赢的概率为，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲贏了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于，则称随机事件为小概率事件）
例6．（2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得分，出现两次音乐获得分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得分，设备次击鼓出现音乐的概率为.且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点；
(2)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.设每盘游戏的得分为随机变量；请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
变式6．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）现有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个红球和1个白球，乙盒中有2个红球和2个白球，所有的球除颜色外都相同.某人随机选择一个盒子，并从中随机摸出2个球观察颜色后放回，此过程为一次试验.重复以上试验，直到某次试验中摸出2个红球时，停止试验.
(1)求一次试验中摸出2个红球的概率；
(2)在3次试验后恰好停止试验的条件下，求累计摸到2个红球的概率.
变式7．（2024·福建莆田·高三校考开学考试）甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得3局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为．
(1)求甲获胜的概率；
(2)设为结束比赛所需要的局数，求随机变量的分布列及数学期望．
变式8．（2024·福建漳州·高三统考开学考试）甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用局n胜制（当一选手先赢下n局比赛时，该选手获胜，比赛结束）.已知每局比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为.
(1)若，，比赛结束时的局数为X，求X的分布列与数学期望；
(2)若比对甲更有利，求p的取值范围.
变式9．（2024·全国·高三专题练习）某企业包装产品时，要求把2件优等品和(，且)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为.
(1)试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率；
(2)设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值.
【解题方法总结】
（1）在解复杂的题目时，可利用“正难则反”的思想，通过考查原事件的对立事件来求其概率．
（2）运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率时，首先要确定好和的值，再准确利用公式求概率．
（3）解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验．
题型三：二项分布
例7．（2024·福建莆田·高三校考开学考试）已知随机变量服从二项分布，则 .
例8．（2024·江苏常州·高三常州高级中学校考开学考试）设随机变量，记，．在研究的最大值时，某学习小组发现并证明了如下正确结论：若为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值；若不为正整数，则当且仅当取的整数部分时，取最大值．某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出现的次数为 的概率最大．
例9．（2024·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）设随机变量，若，则p的值为 .
变式10．（2024·全国·高三对口高考）假设某型号的每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，则p的取值范围是 ．
变式11．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）一个袋子中装有大小相同的球，其中有个黄球，个白球，从中随机地摸出个球作为样本，用表示样本中黄球的个数.
(1)若采取不放回摸球，当，，，时，求的分布列；
(2)若采取有放回摸球，当，，，时，用样本中黄球的比例估计总体黄球的比例，求误差不超过的概率(用分数表示).
变式12．（2024·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，，，，，，用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.
(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率；
(2)从全校学生中随机选取人，记表示这人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望.
变式13．（2024·广东·高三校联考阶段练习）甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为P，且每次投篮相互独立，经商定共设定5个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中一次可获得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投篮中止，且每投中一次可获得2分.按累计得分高低确定胜负．
(1)若乙得6分的概率，求；
(2)由（1）问中求得的值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？
变式14．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）艾伦·麦席森·图灵提出的图灵测试，指测试者与被测试者在隔开的情况下，通过一些装置（如键盘）向被测试者随意提问．已知在某一轮图灵测试中有甲、乙、丙、丁4名测试者，每名测试者向一台机器（记为）和一个人（记为）各提出一个问题，并根据机器和人的作答来判断谁是机器，若机器能让至少一半的测试者产生误判，则机器通过本轮的图灵测试．假设每名测试者提问相互独立，且甲、乙、丙、丁四人之间的提问互不相同，而每名测试者有的可能性会向和问同一个题．当同一名测试者提出的两个问题相同时，机器被误判的可能性为，当同一名测试者提的两个问题不相同时，机器被误判的可能性为．

(1)当回答一名测试者的问题时，求机器被误判的概率；
(2)按现有设置程序，求机器通过本轮图灵测试的概率．
变式15．（2024·广西玉林·高三校联考开学考试）某医药企业使用新技术对某款血液试剂进行试生产.
(1)在试产初期，该款血液试剂的I批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款血液试剂在生产中，经过前三道工序后的次品率为.第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰，合格的血液试剂进入流水线并由工人进行抽查检验.
已知批次I的血液试剂智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率；
(2)已知切比雪夫不等式：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有.药厂宣称该血液试剂对检测某种疾病的有效率为，现随机选择了100份血液样本，使用该血液试剂进行检测，每份血液样本检测结果相互独立，显示有效的份数不超过60份，请结合切比雪夫不等式，通过计算说明该企业的宣传内容是否真实可信.
变式16．（2024·全国·高三专题练习）袋中有8个白球､2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.求：
(1)有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列､数学期望和方差；
(2)不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列､数学期望和方差.
变式17．（2024·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试）第四届应急管理普法知识竞赛线上启动仪式在3月21日上午举行，为普及应急管理知识，某高校开展了“应急管理普法知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取100名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“普法王者”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)若该校参赛人数达20000人，请估计其中有多少名“普法王者”；
(2)随机从该高校参加竞赛的学生中抽取3名学生，记其中“普法王者”人数为，用频率估计概率，请你写出的分布列.
变式18．（2024·四川攀枝花·统考三模）某企业从生产的一批产品中抽取个作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；
(2)已知某用户从该企业购买了件该产品，用表示这件产品中质量指标值位于内的产品件数，用频率代替概率，求的分布列和数学期望．
【解题方法总结】
1、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
2、二项分布的简单应用是求次独立重复试验中事件恰好发生次的概率．解题的一般思路是：
（1）根据题意设出随机变量；
（2）分析出随机变量服从二项分布；
（3）找到参数，；
（4）写出二项分布的分布列；
（5）将值代入求解概率．
题型四：超几何分布
例10．（2024·全国·高三对口高考）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．则该商家拒收这批产品的概率是 ．
例11．（2024·山东枣庄·统考二模）一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当最大时， ．
例12．（2024·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟．根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是 ．
变式19．（2024·高三课时练习）袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则E(X)= ．
变式20．（2024·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在和内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在内的学员人数为，求的分布列与数学期望．
变式21．（2024·湖南益阳·高三统考阶段练习）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取9箱进行检测，其中有5箱为一等品.
(1)若从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；
(2)若从这9箱产品中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望.
变式22．（2024·陕西·高三校联考阶段练习）人工智能（AI）是当今科技领域最热门的话题之一，某学校组织学生参加以人工智能（AI）为主题的知识竞赛，为了解该校学生在该知识竞赛中的情况，现采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，分数分布在450～950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示．将分数不低于850分的学生称为“最佳选手”．

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生分数的中位数；
(2)现采用分层抽样的方法从分数落在，内的两组学生中抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“最佳选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望．
变式23．（2024·河北衡水·河北衡水中学校考一模）温室是以采光覆盖材料作为全部或部分围护结构材料，具有透光、避雨、保温、控温等功能，可在冬季或其他不适宜露地植物生长的季节供栽培植物的建筑，而温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它具有较好的保温性能，使人们在任何时间都可吃到反季节的蔬菜，深受大众喜爱.温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量要求的温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量指标，其温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示.
各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影响的植物（生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标）或周围环境（地下水、地表水、大气等）有危害，方能确定为污染.某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛，共个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜坏境产地质量监测得到的相关数据如下：

(1)若从这个村中随机抽取个进行调查，求抽取的个村应对土壤做进一步调研的概率；
(2)现有一技术人员在这个村中随机选取个进行技术指导，记为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁的个数，求的分布列和数学期望.
【解题方法总结】
1、随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取次；(2)随机变量表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
2、求超几何分布的分布列的步骤
（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数，，的值；
（2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
（3）列出分布列．
题型五：二项分布与超几何分布的综合应用
例13．（2024·全国·高三专题练习）2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
例14．（2024·全国·高三专题练习）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）
例15．（2024·全国·镇海中学校联考模拟预测）某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动.
(1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为，从学校全体男生中随机选取3人，记为3人中身高不超过的人数，以频率估计概率求的分布列及数学期望；
(2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值.
变式24．（2024·福建福州·福州三中校考模拟预测）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图.

(1)求该100名学生竞赛成绩的中位数；（结果保留整数）
(2)从竞赛成绩在的两组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从随机抽取20名学生，用表示这20名学生中恰有名学生竞赛成绩在内的概率，其中．当最大时，求.
变式25．（2024·甘肃·统考一模）“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求的值；
(2)为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．
变式26．（2024·内蒙古·高三校考期末）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”．将上述调查所得到的频率视为概率．
(1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及数学期望．
(2)用分层抽样的方法从这名“体育迷”中抽取名观众，再从抽取的抽取名观众中随机抽取名，表示抽取的是“体育迷”的人数，求的分布列．
【解题方法总结】
超几何分布和二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；
而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.
题型六：正态密度函数
例16．（2024·全国·高三竞赛）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
例17．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例18．（2024·河南信阳·高三河南宋基信阳实验中学校考开学考试）某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）
A．甲学科总体的均值最小
B．乙学科总体的方差及均值都居中
C．丙学科总体的方差最大
D．甲、乙、丙的总体的均值不相同
变式27．（2024·全国·高三专题练习）已知连续型随机变量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．P(X1≤μ2)P(X3≥μ3)
C．P(X1≤μ2)