2025年高考数学核心考点归纳第73讲、斜率题型全归纳特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学核心考点归纳第73讲、斜率题型全归纳特训(学生版+解析)，共83页。试卷主要包含了导数专题，全国名校期中期末一模二模等内容，欢迎下载使用。
1、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值．
2、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值．
3、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值．
4、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点．
（1）若，则直线过定点；
（2）若，则直线过定点．
5、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，．
（1）若，则直线过定点；
（2）若，则直线过定点．
6、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点．
必考题型全归纳
题型一：斜率和问题
例1．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点，，是异于A，的动点，，分别是直线，的斜率，且满足.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)在线段上是否存在定点，使得过点的直线交的轨迹于，两点，且对直线上任意一点，都有直线，，的斜率成等差数列.若存在，求出定点，若不存在，请说明理由.
例2．（2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线与抛物线在第一象限交于点.
(1)已知为抛物线的焦点，若的中点坐标为，求；
(2)设为坐标原点，直线的斜率为.若斜率为的直线与抛物线和均相切，证明为定值，并求出该定值.
例3．（2024·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知双曲线，渐近线方程为，点在上；

(1)求双曲线的方程；
(2)过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点（不与点重合），且两条直线的斜率，满足，直线与直线，轴分别交于，两点，求证：的面积为定值.
变式1．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知两定点，，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且．
(1)求动点M的轨迹；
(2)设过的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．
变式2．（2024·全国·高三专题练习）设是抛物线上一点，不过点A的直线l交E于M，N两点，F为E的焦点．
(1)若直线l过F，求的值；
(2)设直线AM，AN和直线l的斜率分别为，和k，若，求k的值．
变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，离心率为．过点的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和，求的值．
变式4．（2024·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
变式5．（2024·重庆巴南·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接.若直线的斜率与直线的斜率之和为0，试比较与的大小.
变式6．（2024·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左右顶点，分别为椭圆的左右焦点，是椭圆的上顶点，且的外接圆半径为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线的斜率分别为．
（i）求的值；
（ii）若，则求的面积的取值范围．
变式7．（2024·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值．
变式8．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求：
①直线的方程；
②的面积．
变式9．（2024·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；
(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．
变式10．（2024·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知椭圆C：过点，且C的右焦点为．
(1)求C的离心率；
(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为，，，证明：．
变式11．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为是椭圆的中心，点为其上的一点满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)设定点，过点的直线交椭圆于两点，若在上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求的范围．
变式12．（2024·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切．
(1)求动圆的圆心所在轨迹的方程；
(2)已知点是轨迹上一点，点是轨迹上不同的两点（点均不与点重合），设直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
题型二：斜率差问题
例4．（2024·全国·高三专题练习）椭圆C：的离心率，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：为定值．
例5．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知定点A(1，0)，点M在轴上运动，点N在轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)点Q为圆上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记分别为切线QS，QT的斜率，当Q运动时，求的取值范围.
例6．（2024·四川成都·高二棠湖中学校考阶段练习）设、为抛物线上的两点，与的中点的纵坐标为4，直线的斜率为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，、为抛物线（除原点外）上的不同两点，直线、的斜率分别为，，且满足，记抛物线在、处的切线交于点，线段的中点为，若，求的值.
变式13．（2024·全国·高三专题练习）如图,已知点是抛物线：的焦点,点在抛物线上,且.
（1）若直线与抛物线交于两点,求的值;
（2）若点在抛物线上,且抛物线在点处的切线交于点,记直线的斜率分别为,且满足,求证：的面积为定值.
变式14．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记，的面积分别为，，若，求的值；
(3)设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值．
变式15．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）已知椭圆的两焦点分别为 ，A是椭圆上一点，当时，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，线段的中点为，过作垂直轴的直线在第二象限交椭圆于点S，过S作椭圆的切线，的斜率为，求的取值范围.
题型三：斜率积问题
例7．（2024·黑龙江鸡西·高三鸡东县第二中学校考期末）已知双曲线(，)的两条渐近线互相垂直，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设P为双曲线的左顶点，直线l过坐标原点且斜率不为0，l与双曲线C交于A，B两点，直线m过x轴上一点Q(异于点P)，且与直线l的倾斜角互补，m与直线PA，PB分别交于M，N(M，N不在坐标轴上)两点，若直线OM，ON的斜率之积为定值，求点Q的坐标．
例8．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）如图，椭圆的左、右顶点分别为，，为椭圆上的动点且在第一象限内，线段与椭圆交于点（异于点），直线与直线交于点，为坐标原点，连接，且直线与的斜率之积为．

(1)求椭圆的方程．
(2)设直线的斜率分别为，证明：为定值．
例9．（2024·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）椭圆的离心率，过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，椭圆的左顶点为，求直线与直线的斜率之积.
变式16．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为、，过点作直线与椭圆交于、两点，且、位于第一象限，在线段上，直线与直线相交于点，连接、，直线、的斜率分别记为、，求的值．
变式17．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切．
(1)求C的方程；
(2)直线与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，且平分，设直线的斜率为（O为坐标原点），判断是否为定值？并说明理由．
变式18．（2024·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知椭圆：的右顶点为，点在圆：上运动，且的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)不经过点的直线与交于，两点，且直线和的斜率之积为1.求直线被圆截得的弦长.
变式19．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，渐近线方程为，焦点到渐近线距离为1，直线与C左右两支分别交于P，Q，且点在双曲线C上.记和面积分别为，，，的斜率分别为，
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问是否存在实数，使得，，.成等比数列，若存在，求出的值，不存在说明理由.
变式20．（2024·陕西西安·高三校联考开学考试）已知椭圆的右顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)不经过点的直线与交于两点，且直线和的斜率之积为1，证明：直线过定点.
变式21．（2024·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交曲线于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交曲线于点.
（ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值；
（ⅱ）求面积的最大值.
变式22．（2024·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点，动点满足直线PM与PN的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，AD⊥x轴，垂足为D，连接BD并延长交曲线C于点H．证明：直线AB与AH的斜率之积为定值．
变式23．（2024·山西大同·高三统考开学考试）已知双曲线的离心率为，且过点．
(1)求C的方程；
(2)设A，B为C上异于点P的两点，记直线，的斜率分别为，，若，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
变式24．（2024·河南周口·高三校联考阶段练习）已知是椭圆上的两点，关于原点对称，是椭圆上异于的一点，直线和的斜率满足.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线交椭圆于两点异于椭圆的上、下顶点），当的面积最大时，求的值.
变式25．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）在直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过上两点，作斜率均为的两条直线，与的另两个交点分别为，.若直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
变式26．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切．直线l过右焦点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段的中点为M．
(1)求C的方程；
(2)证明：直线的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段与椭圆C交于点P，若四边形为平行四边形，求此时直线l的斜率．
变式27．（2024·四川泸州·统考三模）已知椭圆的右焦点为，短轴长等于焦距．
(1)求的方程；
(2)过的直线交于，交直线于点，记的斜率分别为，若，求的值．
题型四：斜率商问题
例10．（2024·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为，左右两个顶点分别为，经过点的直线交双曲线的右支于两点，且在轴上方，当轴时，.
(1)求双曲线方程.
(2)求证：直线的斜率之比为定值.
例11．（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图，为抛物线上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点，直线AN过点

(1)记A，B的纵坐标分别为，求；
(2)记直线AN，BM的斜率分别为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在说明理由
例12．（2024·广东·高三校联考阶段练习）过原点O的直线交椭圆E：（）于A，B两点，，面积的最大值为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)连AR交椭圆于另一个交点C，又（），分别记PA，PR，PC的斜率为，，，求的值.
变式28．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）已知随圆的左､右焦点分别为点在上，的周长为，面积为.
(1)求的方程.
(2)设的左､右顶点分别为，过点的直线与交于两点（不同于左右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，则是否存在实常数，使得恒成立.
变式29．（2024·河南·高三校联考开学考试）已知双曲线实轴左右两个顶点分别为，双曲线的焦距为，渐近线方程为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线交于两点．设的斜率分别为，且，求的方程．
变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的焦距为，为坐标原点，椭圆的上下顶点分别为，，左右顶点分别为，，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为4．
(1)求的方程；
(2)过点的任意直线与椭圆交于，（不同于，）两点，直线的斜率为，直线的斜率为．求证：．
变式31．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；
(3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.
变式32．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线垂直，B为垂足且位于第二象限.四边形OAMB(O为原点)的面积为2，记动点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)点，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为，，.若，求△PQE周长的取值范围.
变式33．（2024·全国·高三专题练习）已知分别为椭圆E：的左、右顶点，直线过定点，记直线的斜率为，求的值．
变式34．（2024·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．

(1)求C的方程；
(2)设直线与C另一个交点分别为A，B，记直线的斜率为，求的值．
变式35．（2024·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知点，抛物线的焦点为F，M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，直线ME，NE分别交抛物线C于点P，Q．
(1)当轴时，求直线PQ与x轴的交点坐标；
(2)设直线MN，PQ的斜率分别为，，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由
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第73讲 斜率题型全归纳
知识梳理
1、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值．
2、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值．
3、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值．
4、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点．
（1）若，则直线过定点；
（2）若，则直线过定点．
5、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，．
（1）若，则直线过定点；
（2）若，则直线过定点．
6、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点．
必考题型全归纳
题型一：斜率和问题
例1．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点，，是异于A，的动点，，分别是直线，的斜率，且满足.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)在线段上是否存在定点，使得过点的直线交的轨迹于，两点，且对直线上任意一点，都有直线，，的斜率成等差数列.若存在，求出定点，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意，即，
又直线，的斜率存在，所以点的轨迹方程为
（2）若存在这样的定点，不妨设为，令，，，
直线的方程为，
，
由韦达定理得：，，，
，
，
对任意成立，所以
由得，
所以，
对任意成立，，经检验，符合题意，
所以，存在满足题意.
例2．（2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线与抛物线在第一象限交于点.
(1)已知为抛物线的焦点，若的中点坐标为，求；
(2)设为坐标原点，直线的斜率为.若斜率为的直线与抛物线和均相切，证明为定值，并求出该定值.
【解析】（1）由得，设，
因为的中点坐标为，所以，
解得.
（2）
联立，解得或，
所以，
所以直线的斜率.
设直线的方程为.
联立，消去得，
因为直线与抛物线相切，
所以，即，
若，则，不符合题意，
所以，即，①
联立，消去得，
因为直线与抛物线相切，
所以，即，②
由①②可得，所以，
故为定值，该定值为0.
例3．（2024·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知双曲线，渐近线方程为，点在上；

(1)求双曲线的方程；
(2)过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点（不与点重合），且两条直线的斜率，满足，直线与直线，轴分别交于，两点，求证：的面积为定值.
【解析】（1），，依题意，，
所以双曲线的方程为.
（2）依题意可知斜率存在，设方程为，，，
，
，①，
，
整理得.
1），，过舍去，
2），，过点，
此时，将代入①得，
与交于点，故（定值）
变式1．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知两定点，，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且．
(1)求动点M的轨迹；
(2)设过的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．
【解析】（1）设，则，由题意知－4＜x＜4．
∵，∴，即，故动点M的轨迹为．
（2）存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．理由如下：
当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y＝kx＋1．
设，，，则，，，由此知．
将y＝kx＋1代入，得，于是
，．①
条件即，也即．
将，代入得．
显然不在直线y＝kx＋1上，∴，从而得，即．
将，代入得．将式①代入得
，解得．
当直线CD的斜率不存在时，经检验符合题意．
因此存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．
变式2．（2024·全国·高三专题练习）设是抛物线上一点，不过点A的直线l交E于M，N两点，F为E的焦点．
(1)若直线l过F，求的值；
(2)设直线AM，AN和直线l的斜率分别为，和k，若，求k的值．
【解析】（1）因直线l过，可设其方程为y＝kx＋1，设，．
将y＝kx＋1代入，得．于是，．
由焦点弦公式，得，．
∴．
（2）显然直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，设，．
将y＝kx＋m代入，得．于是，，
，，且，
∴
．
∵，∴，即．
∵直线l：y＝kx＋m不过点，∴2k＋m－1≠0，故k＝1．
变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点，离心率为．过点的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和，求的值．
【解析】（1）由题意，，，且，解得，．
故椭圆E的方程为．
（2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋2，设，．
将y＝kx＋2代入，消去y得；消去x得．于是
，，，．
∴
．
当直线l的斜率不存在时，，，此时．
综上，．
变式4．（2024·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
【解析】（1）设到渐近线，即的距离为，
则，结合得，
又在双曲线上，所以，得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）联立，消去并整理得，
则，，即，
设，，
则，，
则
，
所以，
所以，
所以，
整理得，
所以，
所以，
因为直线不过，即，，
所以，即，
所以直线，即过定点.
变式5．（2024·重庆巴南·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接.若直线的斜率与直线的斜率之和为0，试比较与的大小.
【解析】（1）因为点、，的内切圆与直线相切于点，
所以，
因此根据双曲线的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，
设点的轨迹C的方程为，焦距为，
所以，，
所以，，，
所以点的轨迹方程C为
（2）由题意，直线的斜率互为相反数，记，
则，，，，，
设，则直线，.
联立直线和双曲线方程，
整理得.
该方程有两个不等实根，，
则
根据韦达定理可得，，
同理可得，.
又因为，.
，.
则，
同理可得
即
进而可得相似于，
即，，
也即A，B，Q，P四点共圆，可得
从而得.
因此
变式6．（2024·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左右顶点，分别为椭圆的左右焦点，是椭圆的上顶点，且的外接圆半径为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线的斜率分别为．
（i）求的值；
（ii）若，则求的面积的取值范围．
【解析】（1）由于椭圆的离心率为，故，
故，则，
又，则，
又的外接圆半径为，则，
解得，故，
故椭圆方程为；
（2）（i）设l与x轴的交点为D，由于直线交椭圆于两点（在轴的两侧），
故直线l的斜率不为0，
设l的方程为，联立，
则，需满足，
设，则，
又，故，
同理可得；
（ii）因为，
则，
又直线l与x轴不垂直可得，则，
即，所以，
即，
即，
即，
整理得，解得或，
因为在轴的两侧，故，则，
故，此时直线l为，过定点，与椭圆C交于不同两点；
此时，
，
令，由于l与轴不垂直，故，所以，
故，
设，时，，
即在上单调递增，即，
故，即的面积的取值范围为.
变式7．（2024·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值．
【解析】（1）由题意，，直线l的方程为，代入，得．于是，∴焦点弦，解得p＝2．故抛物线E的方程为．
（2）因在E上，∴m＝2．设E在P处的切线方程为，代入，得．由，解得t＝1，∴P处的切线方程为y＝x＋1，从而得．
易知直线MN的斜率存在，设其方程为，设，．
将代入，得．于是，，且，．
∴
．
故为定值2．
变式8．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）已知椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的右焦点为，过点斜率不为0的直线交椭圆于两点，记直线与直线的斜率分别为，当时，求：
①直线的方程；
②的面积．
【解析】（1）由题意知，又，则
，解得
由在椭圆上及得，解得
椭圆的方程为
（2）
由（1）知，右焦点为
据题意设直线的方程为
则
于是由得，化简得（*）
①由消去整理得
由根与系数的关系得：．
代入（*）式得：，解得
直线l的方程为
②方法一
由①可知：
由求根公式与弦长公式得：．
设点到直线l的距离为，则．
．
方法二
由题意可知
由①知，直线l的方程为
代入消去得
∴
．
变式9．（2024·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试）在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；
(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．
【解析】（1）设圆心，半径为，
因为圆心为C的动圆过点，所以，
因为圆心为C的动圆在轴上截得的弦长为4，所以，
所以，即，所以曲线E是抛物线.
（2）证明：由题意点坐标适合，即点A在E上，
由题意可知BD斜率不会为0，设直线：，
联立，消去并整理得，
需满足，即，
设，，则，，
因为，，
所以，
所以，将，代入得，
即，
所以直线：，即，
所以直线BD经过定点.
变式10．（2024·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知椭圆C：过点，且C的右焦点为．
(1)求C的离心率；
(2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为，，，证明：．
【解析】（1）由得C的半焦距为，所以，
又C过点，所以，解得，
所以，．
故C的离心率为．
（2）
由（1）可知C的方程为．
设，，．
由题意可得直线MN的方程为，
联立 ，消去y可得，
则，，
则
，
又，
因此．
变式11．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为是椭圆的中心，点为其上的一点满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)设定点，过点的直线交椭圆于两点，若在上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求的范围．
【解析】（1）设，在中，设，
，
，
，
，
所以椭圆的方程为：
（2）设，直线的方程为，
，
，
，
设
，
若为常数，则，
即，而此时，
又，即或，
综上所述，或，存在点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值
变式12．（2024·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切．
(1)求动圆的圆心所在轨迹的方程；
(2)已知点是轨迹上一点，点是轨迹上不同的两点（点均不与点重合），设直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
【解析】（1）设点，圆与直线的切点为，
因为动圆过点，且与直线相切，则，
所以点的轨迹是以原点为顶点，以点为焦点的抛物线，
则动圆的圆心轨迹的方程为．
（2）若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有1个交点，不合要求，
设直线的方程为
，消去可得：，
则，
因为为抛物线上一点，所以，解得，
，
解得，代入，
解得或，
结合点均不与点重合，则，则，解得，
故且或，
所以直线即
所以直线恒过定点.
题型二：斜率差问题
例4．（2024·全国·高三专题练习）椭圆C：的离心率，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：为定值．
【解析】（1）由椭圆的离心率，则，
又，
解得：，，
则椭圆的标准方程为：；
（2）证明：因为，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为
联立整理得．
则，故，则．
所以
又直线AD的方程为．
联立，解得
由三点，共线，
得，所以．
的斜率为．
则．
为定值．
例5．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知定点A(1，0)，点M在轴上运动，点N在轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)点Q为圆上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记分别为切线QS，QT的斜率，当Q运动时，求的取值范围.
【解析】(1) 设N(0，b)M(a，0)，P(x，y).
因为
所以，即
因为
所以
所以x＝-a，y＝2b，
所以y2＝4x
(2)设Q(x，y)，x∈[-3，-1]
由题意知:切线斜率存在，设为k
切线方程为:y-y0＝k(x-x0)，
联立，化简得:ky2-4y+4y0-4kx0=0
△＝16-16k(y-kx0)=0
∴将代入得
，
∴.
∴的取值范围是
例6．（2024·四川成都·高二棠湖中学校考阶段练习）设、为抛物线上的两点，与的中点的纵坐标为4，直线的斜率为.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，、为抛物线（除原点外）上的不同两点，直线、的斜率分别为，，且满足，记抛物线在、处的切线交于点，线段的中点为，若，求的值.
【解析】（1）设，.
又、都在抛物线上，
即所以，.
由两式相减得，
直线的斜率为，.
两边同除以，且由已知得，
所以，即.
所以抛物线的方程为.
（2）设，，.
因为
所以，所以，
设直线的斜率为，则直线，
由消得.
由，得，即.
所以直线，
同理得直线.
联立以上两个方程解得
又，
所以，
所以.
变式13．（2024·全国·高三专题练习）如图,已知点是抛物线：的焦点,点在抛物线上,且.
（1）若直线与抛物线交于两点,求的值;
（2）若点在抛物线上,且抛物线在点处的切线交于点,记直线的斜率分别为,且满足,求证：的面积为定值.
【解析】（Ⅰ）设,由题意,得,
故,即
代入中,得,所以,
所以抛物线方程为,
联立方程,得
消去,得,
,记,
根据根与系数的关系,得,
故.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,抛物线方程为,,
设,,,
因为直线MP,MQ的斜率分别为,
则,
又因为,所以,
直线,直线,
易得
因为直线,
如图,过S作y轴平行线交PQ于点E,
将的值代入直线PQ的方程,可得,
所以.
所以的面积为定值32.
变式14．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记，的面积分别为，，若，求的值；
(3)设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值．
【解析】（1）设椭圆的焦距为．
依题意可得，，
解得，．
故．
所以椭圆的标准方程为．
（2）设点，，，．
若，则，即有，①
设直线的方程为，与椭圆方程，
可得，
则，，②
将①代入②可得，解得，
则；
（3）由（2）得
，，
所以直线的方程为，
令，得，即．
所以．
所以，
，
，
.
变式15．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）已知椭圆的两焦点分别为 ，A是椭圆上一点，当时，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，线段的中点为，过作垂直轴的直线在第二象限交椭圆于点S，过S作椭圆的切线，的斜率为，求的取值范围.
【解析】（1）由题意得，
由椭圆定义可得，又，
由余弦定理可得：
，
所以，又，解得，
所以，故椭圆的方程为.
（2）直线，设，
联立与得，所以，
恒成立，
所以，
故，
设直线为，，
联立，所以，
由可得，
所以，则，所以得，所以，
则，
由于函数在上为减函数，所以函数在上为增函数，
所以函数在上为减函数，所以，
所以.
题型三：斜率积问题
例7．（2024·黑龙江鸡西·高三鸡东县第二中学校考期末）已知双曲线(，)的两条渐近线互相垂直，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设P为双曲线的左顶点，直线l过坐标原点且斜率不为0，l与双曲线C交于A，B两点，直线m过x轴上一点Q(异于点P)，且与直线l的倾斜角互补，m与直线PA，PB分别交于M，N(M，N不在坐标轴上)两点，若直线OM，ON的斜率之积为定值，求点Q的坐标．
【解析】（1）由可得渐近线方程为：，
因为两条渐近线互相垂直，所以，可得，
又因为，解得：，
所以双曲线的方程为.
（2）设，，，，
由（1）知：，设直线，的斜率分别为，
因为三点共线，所以，即，
因为直线过轴上一点（异于点），且与直线的倾斜角互补，
所以，即，所以，
由可得，所以，
同理可得，
因为直线，的斜率之积为定值，设定值为，
则，
整理可得：，其中，
因为上式对任意的都成立，所以，可得，，
所以点的坐标为.
例8．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）如图，椭圆的左、右顶点分别为，，为椭圆上的动点且在第一象限内，线段与椭圆交于点（异于点），直线与直线交于点，为坐标原点，连接，且直线与的斜率之积为．

(1)求椭圆的方程．
(2)设直线的斜率分别为，证明：为定值．
【解析】（1）设直线与的斜率分别为，则，
设，由椭圆，且分别为其左右顶点，则，，
因为在椭圆上，则，即，
设直线与的斜率分别为，
则，
由，则，化简可得，
解得，由，解得，
则椭圆.
（2）由（1）可得，，易知直线斜率存在，否则直线过点，就不在第一象限.
设直线，由在直线上，则，即，
设，，联立可得，即，
化简可得：，，
由韦达定理，可得，，
直线，直线，
联立可得：，则，，
即，故，则，
故，，
可得，由，，代入，
则，
由，则
，
将，代入上式，并分子分母同乘以，
则
，
将代入上式，则
.
例9．（2024·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）椭圆的离心率，过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，椭圆的左顶点为，求直线与直线的斜率之积.
【解析】（1）因为椭圆的离心率，
所以 ，即，
又因为椭圆过点，
所以，
又因为，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）如图所示：
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
与椭圆方程联立求得，
又，
所以，
所以；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消去y得：，
，
由韦达定理得，
所以，
，
.
变式16．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为、，过点作直线与椭圆交于、两点，且、位于第一象限，在线段上，直线与直线相交于点，连接、，直线、的斜率分别记为、，求的值．
【解析】（1）由题意知，，椭圆的上顶点到右顶点的距离为，
即，解得，，，
因此，椭圆的方程为．
（2）如下图所示：
不妨设、，由图可知，直线的斜率存在，
设直线的方程为，因为点，则，则，
联立可得，
，可得，即，
解得，
由韦达定理可得，解得，
所以，，易知、，
由于在直线上，设，
又由于在直线上，则，所以，，
.
变式17．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切．
(1)求C的方程；
(2)直线与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，且平分，设直线的斜率为（O为坐标原点），判断是否为定值？并说明理由．
【解析】（1）由椭圆的离心率为，得，即有，
由以C的短轴为直径的圆方程为，
由与直线相切得：，
联立解得，
∴C的方程为；
（2）为定值，且，理由如下：
由题意，直线AP，BP的斜率互为相反数，即，
设，
由，消去y得：，
∴，
而，
∴，
即
，
∴，
∴，
化简得，
又∵在椭圆上，∴，∴，
∴，
∴，
又∵不在直线，
则有，即，
∴为定值，且.
变式18．（2024·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知椭圆：的右顶点为，点在圆：上运动，且的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)不经过点的直线与交于，两点，且直线和的斜率之积为1.求直线被圆截得的弦长.
【解析】（1）如图所示：
由题可知，圆：的圆心为，半径，又因为，所以，所以，所以椭圆的方程.
（2）当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意.
故设，，直线：，联立，消去整理得一元二次方程，
其判别式，则；因为，所以，
所以，所以，整理得.
若，则，则直线过定点，与题意矛盾；
若，则，则直线过定点.
因为圆的圆心为，半径，所以直线被圆截得的弦长为4.
变式19．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，渐近线方程为，焦点到渐近线距离为1，直线与C左右两支分别交于P，Q，且点在双曲线C上.记和面积分别为，，，的斜率分别为，
(1)求双曲线C的方程；
(2)若，试问是否存在实数，使得，，.成等比数列，若存在，求出的值，不存在说明理由.
【解析】（1）由题可得，解得，所以双曲线C的方程为；
（2）由点在上可得：.
联立和整理得：，
设，，则有：，，
，
又由直线交左右两支各一点可得：，所以，即，
所以，
又到直线的距离，
到直线的距离，
所以，所以，
所以（），解得，
又，
其中，
，
所以，假设存在实数，使得，，成等比数列，
则有，所以，解得，故存在满足题意.
变式20．（2024·陕西西安·高三校联考开学考试）已知椭圆的右顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)不经过点的直线与交于两点，且直线和的斜率之积为1，证明：直线过定点.
【解析】（1）由题可知，
因为，所以.
又，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）
证明：当直线的斜率不存在时，显然不符合题意，
故设，，直线，
联立消去整理得，
方程的判别式，
则，
因为，所以，
所以，
所以，
整理得.
若，则，则直线过定点，与题意矛盾；
若，则，则直线过定点.
变式21．（2024·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交曲线于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交曲线于点.
（ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值；
（ⅱ）求面积的最大值.
【解析】（1）因为，，，
所以，
所以，化解得，
所以为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点；
（2）（ⅰ）设直线的斜率为，则其方程为，
由，得，记，则，，，
于是直线的斜率为，方程为，
由，得①，
设，则和是方程①的解，
故，由此得，
从而直线的斜率，
所以，即直线与的斜率之积为定值；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，，，
所以
，
当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.
变式22．（2024·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点，动点满足直线PM与PN的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，AD⊥x轴，垂足为D，连接BD并延长交曲线C于点H．证明：直线AB与AH的斜率之积为定值．
【解析】（1）由题设得，化解得，
所以为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）
设直线的斜率为，则其方程为．
由得，
记，则，，．
于是直线的斜率为，方程为．
由得．①
设，则和是方程①的解，则，
故，由此得．
从而直线的斜率，所以．
所以直线与的斜率之积为定值．
变式23．（2024·山西大同·高三统考开学考试）已知双曲线的离心率为，且过点．
(1)求C的方程；
(2)设A，B为C上异于点P的两点，记直线，的斜率分别为，，若，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意知，
解得，，，
所以C的方程为．
（2）证明：设，．
又，则，．
因为，所以，所以，
即，
所以，
所以，
当直线的斜率为0时，，，所以，解得或，不符合题意，所以直线的斜率不为0．
设直线的方程为，
由得，
，即，
所以，．
因为，
所以，
整理得，
所以，
所以，
整理得，
即，则或．
当时，直线的方程为，此时直线过定点；
当时，直线的方程为，此时直线过定点．
即为，因为A，B为C上异于点的两个动点，所以不符合题意．
故直线过的定点为．
变式24．（2024·河南周口·高三校联考阶段练习）已知是椭圆上的两点，关于原点对称，是椭圆上异于的一点，直线和的斜率满足.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线交椭圆于两点异于椭圆的上、下顶点），当的面积最大时，求的值.
【解析】（1）设，易知，由，
得，
化简得，
故椭圆的标准方程为.
（2）
设的方程为，，，
将代入椭圆方程整理得，
，，
，，
则，
又原点到的距离为，
故，
当且仅当时取等号，
此时，的面积最大.
故
.
变式25．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）在直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过上两点，作斜率均为的两条直线，与的另两个交点分别为，.若直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
【解析】（1）设，由题意可知，
所以的方程为；
（2）设，，
∴方程：代入椭圆方程
，
∴，
∴，∴，
∴，∴
同理设，，∴，
∴为定值.
变式26．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切．直线l过右焦点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段的中点为M．
(1)求C的方程；
(2)证明：直线的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(3)延长线段与椭圆C交于点P，若四边形为平行四边形，求此时直线l的斜率．
【解析】（1）由椭圆C的离心率为得：，即有，
由以C的短轴为直径的圆与直线相切得：，
联立解得，，
所以C的方程是．
（2）设直线l的方程为，，，
联立，消去y得，，
则，，
∵M为线段的中点，∴，，
∴，∴为定值．
（3）若四边形为平行四边形，则，设，
∴，，
∵点P在椭圆上，∴，解得，即，
∴当四边形为平行四边形时，直线l的斜率为．
变式27．（2024·四川泸州·统考三模）已知椭圆的右焦点为，短轴长等于焦距．
(1)求的方程；
(2)过的直线交于，交直线于点，记的斜率分别为，若，求的值．
【解析】（1）根据题意得到，，解得，
故，
故椭圆方程为；
（2）当过的直线斜率不存在时，此时该直线与直线无交点，舍去；
当过的直线斜率存在时，设为，令，得，
故，
联立与得，，
其中，
设，
则，
，
故
，
故，即，解得，
不妨令，则直线方程为，
，则，
，
故
，
当时，同理可得，
综上：.
题型四：斜率商问题
例10．（2024·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为，左右两个顶点分别为，经过点的直线交双曲线的右支于两点，且在轴上方，当轴时，.
(1)求双曲线方程.
(2)求证：直线的斜率之比为定值.
【解析】（1）由题意可得，
当轴时，直线，
则，
又，所以；
（2）
由题意可知，
不妨设：,，易知，
联立双曲线方程得，
则，且，不难发现
由斜率公式可知，
则，
故是定值.
例11．（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图，为抛物线上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点，直线AN过点

(1)记A，B的纵坐标分别为，求；
(2)记直线AN，BM的斜率分别为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在说明理由
【解析】（1）设直线的方程为，
由消去并化简得，
则.
（2）设直线的方程为，同（1）可求得，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
所以.
，
同理可求得，
则，
所以存在使得.
例12．（2024·广东·高三校联考阶段练习）过原点O的直线交椭圆E：（）于A，B两点，，面积的最大值为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)连AR交椭圆于另一个交点C，又（），分别记PA，PR，PC的斜率为，，，求的值.
【解析】（1）由题知：，
所以，故椭圆的方程为.
（2）如图所示：
设的方程为，，
由，
，，，
设，则，，
变式28．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）已知随圆的左､右焦点分别为点在上，的周长为，面积为.
(1)求的方程.
(2)设的左､右顶点分别为，过点的直线与交于两点（不同于左右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，则是否存在实常数，使得恒成立.
【解析】（1）依题意，得，即，
解得，所以的方程；
（2）依题意，可设直线的方程为，
联立方程，化简整理，得，
易得恒成立，
设，由韦达定理，
得，可得，
于是
，
故存在实数，使得恒成立.
变式29．（2024·河南·高三校联考开学考试）已知双曲线实轴左右两个顶点分别为，双曲线的焦距为，渐近线方程为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线交于两点．设的斜率分别为，且，求的方程．
【解析】（1）双曲线的焦距，；
双曲线的渐近线方程为，即，，
又，，，双曲线的标准方程为：.
（2）由（1）得：，，
设，，
由题意知：直线的斜率一定存在，则可设，
由得：，
，解得：且，
，，；
，，即，
，
解得：或，又且，，
直线的方程为：，即.
变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的焦距为，为坐标原点，椭圆的上下顶点分别为，，左右顶点分别为，，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为4．
(1)求的方程；
(2)过点的任意直线与椭圆交于，（不同于，）两点，直线的斜率为，直线的斜率为．求证：．
【解析】（1）依题意可得，解得，
所以椭圆的方程为
（2）由（1）可知，，
由题意，直线l的斜率不为0，设直线，，，
由
可得，则，，
因为直线的斜率，直线的斜率，
由，，得，
所以，
所以直线和的斜率之比为，即
变式31．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；
(3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.
【解析】（1）依题可得，解得，所以，
所以椭圆的方程为．
（2）设，，因为直线过点且斜率不为，
所以可设的方程为，代入椭圆方程得，
其判别式，所以，.
两式相除得，即．
因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，
所以，．
从而．
（3）由（1）知，设，则，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立可得，
所以直线与直线的交点的坐标为，
所以点在定直线上.
变式32．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线垂直，B为垂足且位于第二象限.四边形OAMB(O为原点)的面积为2，记动点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)点，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为，，.若，求△PQE周长的取值范围.
【解析】（1）因为直线、相互垂直，则四边形OAMB为矩形，
设，且，可得，
则点到直线、的距离分别为、，
可得，整理得，
所以C的方程为.
（2）设直线，
联立方程，消去y得，
由题意可得：，①
因为，则，
整理得，
即，
整理得，解得或，
若，则直线，过定点，
此时①式为，无解，不符合题意；
当时，则直线，过定点，
此时①式为，解得，即或，
则，
因为，则，可得，
所以，
又因为为双曲线的左、右焦点，
则，即，
可得△PQE周长为，
所以△PQE周长的取值范围.
变式33．（2024·全国·高三专题练习）已知分别为椭圆E：的左、右顶点，直线过定点，记直线的斜率为，求的值．
【解析】（蝴蝶定理法）过点，交于点， 显然的中点；
由蝴蝶定理得：的中点，即；．
变式34．（2024·全国·高三专题练习）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．

(1)求C的方程；
(2)设直线与C另一个交点分别为A，B，记直线的斜率为，求的值．
【解析】（1）抛物线C的方程为
（2） 解法一：
设，直线，
联立直线，得，，
联立直线，得，，
∴，同理可得，
由斜率公式可得，，∴．
解法二：三点共线
设，
由M、N、F三点共线，得，
由M、D、A三点共线，得，
由N、D、B三点共线，得，
则，AB过定点（4，0）．
变式35．（2024·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知点，抛物线的焦点为F，M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，直线ME，NE分别交抛物线C于点P，Q．
(1)当轴时，求直线PQ与x轴的交点坐标；
(2)设直线MN，PQ的斜率分别为，，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【解析】(1)由题意,当轴时，则直线的方程，代入抛物线可得
不妨设，则
所以直线的方程为 由 ，解得或（舍）,
即,所以,所以点
则
所以直线的方程为,由 ，解得或（舍）,
即,所以 所以点
所以直线PQ的方程为，所以直线PQ与x轴的交点坐标
(2)设直线的方程为：
设
由 ，则
所以 （1）
设直线的方程为：，
由 ，则
则 （2）
设直线的方程为：，
由 ，则
则 （3）
由，，可得
由，，，可得
同理由，，，可得
，
所以为定值2.
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