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第31讲 两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布-2023年新高考艺术生突破数学90分讲义
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第31讲 两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布
【知识点总结】
一、离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质
（1）离散型随机变量的分布列.
表13-1
…
① ;
② .
（2）表示的期望：，反应随机变量的平均水平，若随机变量满足，则.
（3）表示的方差：，反映随机变量取值的波动性。越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量满足，则。
二、几种特殊的分布列、期望、方差
（1）两点分布（又称0，1分布）
0
1
1-
= ，= .
（2）二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为，则在次独立重复实验中恰好发生次概率 ，称服从参数为的二项分布，记作 ，=，=.
（3）超几何分布：总数为的两类物品，其中一类为件，从中取件恰含中的件， ，其中为与的较小者，，称 服从参数为的超几何分布，记作 ，此时有公式。
三、正态分布
（1）若是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 ， （其中是参数，且，）。
其图像如图13-7所示，有以下性质：
①曲线在轴上方，并且关于直线对称；
②曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”；
④图像与轴之间的面积为1.
（2）= ，= ，记作 .
当时， 服从标准正态分布，记作 .
（3） ，则在， ，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友，如果猜中，将获得红包里的所有金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，，平分红包里的金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，，和平分红包里的金额；如果未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设，，C猜中的概率分别为，，，且，，是否猜中互不影响．
（1）求恰好获得4元的概率；
（2）设获得的金额为元，求的概率分布．
例2．（2021·辽宁·大连市一0三中学高二阶段练习）(1)抛掷一颗骰子两次,定义随机变量
试写出随机变量的分布列(用表格格式);
(2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率．
例3．（2021·北京市第五中学通州校区高三阶段练习）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：h），将样本数据分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五个组，并整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；
（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记抽到的甲班学生人数为，求的分布列和均值；
（3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较与的大小．（只需写出结论）
例4．（2022·全国·高三专题练习）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：
（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．
例5．（2022·全国·高三专题练习）2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年．为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在内的概率；
（3）假设竞赛成绩服从正态分布，已知样本数据的方差为121，用平均分作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该校本次竞赛的及格率（60分及以上为及格）．
参考数据：，，．
例6．（2022·全国·高三专题练习）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间 (单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差 (同一组的数据用该组区间中点值代表)；
（2）由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且.利用直方图得到的正态分布，求．
②从该高校的学生中随机抽取20名，记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求(结果精确到)以及的均值．
参考数据：，.若，则.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·江苏·高三专题练习）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是（ ）
A．5 B．9 C．10 D．25
2．（2022·全国·高三专题练习）一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（ ）
A．
1
2
3
B．
1
2
3
4
C．
1
2
3
D．
1
2
3
3．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，则m的值为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布为，．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量的分布列为，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江·高三专题练习）某射手射击所得环数的分布列下表：已知的数学期望，则的值为（ ）
7
8
9
10
0.1
0.3
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习（理））随机变量X的分布列如下表所示，若，则（ ）
X
0
1
P
a
b
A．9 B．7 C．5 D．3
8．（2022·全国·高三专题练习）某射手射击所得环数的分布列如下：
7
8
9
10
已知的数学期望，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则等于
A． B．
C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”.若所出的拳相同，则为和局.小明和小华两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小华获胜的概率是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·浙江·高三专题练习）设随机变量，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·高三专题练习）若随机变量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·全国·高三专题练习）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则
A． B． C． D．
15．（2022·浙江·高三专题练习）《乘风破浪的姐姐》是一档深受观众喜爱的电视节目，节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·浙江·高三专题练习）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为：
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
则等于（ ）
A．15 B．11
C．2.2 D．2.3
18．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量，，，则（ ）
A． B．
C． D．
19．（2022·全国·高三专题练习）某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器，每台仪器的某个部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件或元件正常工作，且元件正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这台仪器中该部件的使用寿命超过小时的台数的均值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·全国·高三专题练习）若随机变量，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·全国·高三专题练习（理））由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为
X1(甲得分)
0
1
2
P
0.2
0.5
0.3
X2(乙得分)
0
1
2
P
0.3
0.3
0.4
现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好（ ）
A．甲 B．乙
C．甲、乙均可 D．无法确定
22．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量，则随机变量的方差为（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·全国·高三专题练习）从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为，已知，则
A． B． C． D．
24．（2022·全国·高三专题练习）已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
25．（2022·全国·高三专题练习（理））某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）
A．甲学科总体的均值最小
B．乙学科总体的方差及均值都居中
C．丙学科总体的方差最大
D．甲、乙、丙的总体的均值不相同
26．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量ξ服从正态分布N（μ，7），若P（ξ＜2）=P（ξ＞4），则与D（ξ）的值分别为（ ）
A． B． C．μ=3，D（ξ）=7 D．
27．（2022·全国·高三专题练习（理））已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
28．（2022·全国·高三专题练习（理））已知随机变量，若，则＝（ ）
A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.2
29．（2022·全国·模拟预测）某无人机配件厂商从其所生产的某种无人机配件中随机抽取了一部分进行质量检测，其某项质量测试指标值X服从正态分布，且落在区间内的无人机配件个数为则可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数大约为（ ）
(附:若随机变量服从正态分布，则
A． B． C． D．
30．（2022·全国·高三专题练习）在某校高三月考中理科数学成绩X～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤X≤120)＝0.8，假设该校参加此次考试的有780人，那么试估计此次考试中，该校成绩高于120分的有（ ）人
A．78 B．156
C．234 D．390
31．（2022·全国·高三专题练习）某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩.若已知，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为（ ）
A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.14
32．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42
33．（2022·全国·高三专题练习（理））设X~N（1，1），且其概率密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取100000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若，则≈0.6827
A．75385 B．60375 C．70275 D．65865
34．（2022·全国·高三专题练习）某班有名学生，一次数学考试的成绩近似地服从正态分布，平均分为，标准差为，理论上说在分到分的人数约为（ ）
附：若随机变量，则，，.
A． B． C． D．
二、多选题
35．（2022·全国·高三专题练习）某市有，，，四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览，和的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ）
A．游客至多游览一个景点的概率 B．
C． D．
36．（2022·全国·高三专题练习）端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，与春节、清明节、中秋节并称为中国四大传统节日．扒龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍．在一个袋中装有大小一样的个豆沙粽，个咸肉粽，现从中任取个粽子，设取出的个粽子中咸肉粽的个数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量服从二项分布
C．随机变量服从超几何分布 D．
37．（2022·全国·高三专题练习）红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低潜在的感染风险.某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设X表示其测量体温误差，且，则下列结论正确的是（附：若随机变量X服从正态分布，则，（ ）
A．， B．
C． D．
38．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量，则
B．已知随机变量，满足，且，则
C．线性回归模型中，相关系数的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强.
D．设，则越大，正太分布曲线越矮胖
三、双空题
39．（2022·全国·高三专题练习）某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试.记在这8道试题中甲能答对6道，甲答对试题的个数为，则甲通过自主招生初试的概率为______，______.
40．（2022·全国·高三专题练习）已知某品牌电子元件的使用寿命（单位：天）服从正态分布.
（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过天的概率为_______________________；
（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在天后仍能正常工作（要求能正常工作，， 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为__________________．
（参考公式：若，则）
四、填空题
41．（2022·全国·高三专题练习）袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.
42．（2022·全国·高三专题练习）随机变量，，若，，则________
43．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量，则______.
44．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为.现甲、乙进行6局比赛，则甲胜的局数的数学期望为______.
45．（2022·重庆市育才中学模拟预测）某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则方差______．
46．（2022·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布为
0
1
且，则________.
47．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
设Y＝2X＋3，则E（Y）的值为____
48．（2022·全国·高三专题练习）若随机变量，且，则_________．
49．（2022·全国·高三专题练习）若随机变量，且，则______．
50．（2022·全国·高三专题练习）某校在一次月考中约有人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分分），统计结果显示数学考试成绩在分到分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于分的学生约有__________人.
五、解答题
51．（2022·全国·高三专题练习）已知X服从参数为0.3的两点分布．
（1）求；
（2）若，写出Y的分布列．
52．（2022·全国·高三专题练习）北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示.
若参加这次考核的志愿者考核成绩在内，则考核等级为优秀.
（1）分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；
（2）若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女志愿者的人数为X，求X的分布列及期望.
53．（2022·全国·高三专题练习）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.
（1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；
（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.
54．（2022·全国·高三专题练习）随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级
特等
一等
二等
三等
等外
个数
50
100
250
60
40
（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率．
（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的优级水果的数量，求的分布列及数学期望．
55．（2022·全国·高三专题练习）某外语学校的一个社团有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.求：
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
（2）求在选派的3人中既会法语又会英语的人数的分布列.
56．（2022·全国·高三专题练习）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率．
（2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
57．（2022·全国·高三专题练习）2021年7月24日，中国选手杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，为中国代表团揽入本界奥运会第一枚金牌.受奥运精神的鼓舞，某射击俱乐部组织200名射击爱好者进行一系列的测试，并记录他们的射击技能分数（单位：分），将所得数据分成7组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求这200名射击爱好者中射击技能分数低于60分的人数；
（2）从样本中射击技能分数在的射击爱好者中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进一步进行射击训练，记抽取的3人中射击技能分数不低于70分的人数为X，求X的分布列与数学期望.
58．（2022·全国·高三专题练习）新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.
（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；
（2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求的期望并判断谁的方案更优.
59．（2022·全国·高三专题练习）甲､乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球此赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.每局比赛结果相互独立.
（1）求甲校以3：1获胜的概率；
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为，求的概率分布.
60．（2022·全国·高三专题练习（理））甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是，，，乙命中10环，9环，8环的概率分别是，，，任意两次射击相互独立.
（1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；
（2）现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率
61．（2021·北京·模拟预测）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口举行.为了调查学生对冬奥会知识的了解情况，某校对高一､高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一､高二各随机抽取了20名学生成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行了整理､描述和分析.下面给出了整理的相关信息：
高一年级成绩分布表
成绩(分数)
人数
1
2
3
4
10
（1）从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于分的概率是多少？
（2）分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取人，这三人中成绩不低于分的人数记为，用频率估计概率，求的分布列和期望？
（3）若按照得分从高到底分为A､B､C､D､E，学校为提高对冬奥会知识的了解情况需要在高一或高二进行一场讲座，假设讲座能够使学生成绩普遍提高一个级别，那么若要想高一和高二学生的平均分尽可能的高，需要在高一讲座还是高二讲座？
62．（2022·全国·高三专题练习）新冠疫情这特殊的时期，规定居民出行或出席公共场合均需佩戴口罩，现将地区居民人一周的口罩使用量统计如表所示，其中个人一周的口罩使用为个以及个上的有人.
个人的一周口罩使用数量（单位：个）
频率
（1）求、的值；
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，若从地区的所有居民中随机抽取人，记一周使用口罩数量（单位：个）在范围的人数为，求的分布列及数学期望.
63．（2022·全国·高三专题练习）某行业对本行业人员的身高有特殊要求，该行业人员的身高（单位：）服从正态分布.已知，.
（1）从该行业中随机抽取一人，求此人身高在区间的概率；
（2）从该行业人员中随机抽取3人，设这3人中身高在区间上的人数为，求的分布列和数学期望（分布列结果可以只列式不计算）.
64．（2022·全国·高三专题练习）某书店打算对A，B，C，D四类图书进行促销，为了解销售情况，在一天中随机调查了15位顾客（记为，）购买这四类图书的情况，记录如下（单位：本）：
A
1
1
1
1
1
B
1
1
1
1
1
1
1
1
C
1
1
1
1
1
1
1
D
1
1
1
1
1
1
（1）若该书店每天的人流量约为100人次，一个月按30天计算，试估计A类图书的月销售量（单位：本）；
（2）书店进行促销活动，对购买过两类及以上图书的顾客赠送5元电子红包现有甲、乙、丙三人，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
65．（2022·全国·高三专题练习）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入 (单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；
（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布，其中μ近似为年平均收入，近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每位农民的年收入互相独立，记这1 000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为ξ，求E（ξ）．
附参考数据：≈2.63，若随机变量X服从正态分布N(μ，)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
66．（2022·浙江·高三专题练习）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间内，，的频率之比为4：2：1．
（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；
（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标位于区间[45，75）内的产品件数为，求的分布列和数学期望．
67．（2022·全国·高三专题练习）羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为，乙选手在每回合中得分的概率为．
（1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率；
（2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X，求X的分布列及数学期望．
68．（2022·全国·高三专题练习）2020新年伊始爆发的新冠疫情让广大民众意识到健康的重要性，云南省全面开展爱国卫生7个专项行动及健康文明生活的6条新风尚行动，其中“科学健身”鼓励公众每天进行60分钟的体育锻炼．某社区从居民中随机抽取了若干名，统计他们的平均每天锻炼时间（单位：分钟/天），得到的数据如下表：（所有数据均在0~120分钟/天之间）
平均锻炼时间
人数
27
39
a
b
45
15
频率
0.09
0.13
0.38
c
0.15
0.05
（1）求，，的值；
（2）为了鼓励居民进行体育锻炼，该社区决定对运动时间不低于分钟的居民进行奖励，为使30%的人得到奖励，试估计的取值？
（3）在第（2）问的条件下，以频率作为概率，在该社区得到奖励的人中随机抽取4人，设这4人中日均锻炼时间不低于80分钟的人数为，求的分布列和数学期望．
69．（2022·全国·高三专题练习（理））某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需的时间(单位:分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为
（1）求直方图中的值；
（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于 40分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)
70．（2022·全国·高三专题练习）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图.
（1）求的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；
（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在以上的概率.若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取人，用表示身高在以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望.
71．（2022·全国·高三专题练习）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物．下面是两种化验方案：
方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止．
方案乙：先取3只动物的血液进行混合，然后检查，若呈阳性，对这3只动物的血液再逐个化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则检查剩下的2只动物中1只动物的血液．分析哪种化验方案更好．
72．（2022·全国·高三专题练习）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数.
（1）求值及的数学期望的值；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，检验员判断这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，检验员的判断是否合理？说明理由.
附：.若，则.
73．（2022·全国·高三专题练习）在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如下表所示：
组别
频数
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这人得分的平均值．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率如下表所示：
赠送话费的金额(元)
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记 (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.
(附：参考数据：①；②；③若，则，，．
74．（2021·全国·（理））2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；
（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．
参考数据：，．若，则．
75．（2020·山东菏泽·）某高中调查暑假学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图：
（1）求a的值；并求高二这100名学生的锻炼时间的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）在高一、高二学生中各随机抽取1人，求至少有一人的锻炼时间大于30分钟的概率；
（3）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X表示从高二学生中随机抽取50人，其锻炼时间位于的人数，求X的数学期望.
注：①计算得；②若，则：，.
76．（2020·全国·（理））某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.
（1）估计这100人体重数据的平均值和样本方差；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记为体重在的人数，求的分布列和数学期望；
（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布.若，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.
77．（2021·山东泰安·）某市为了了解本市初中生周末运动时间，随机调查了名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）按照分层抽样，从和中随机抽取了名学生.现从已抽取的名学生中随机推荐名学生参加体能测试.记推荐的名学生来自的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求(精确到).
参考数据：当时，，，.
参考数据： .
78．（2022·全国·高三专题练习）某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区.
垃圾量
频数
5
6
9
12
8
6
4
（1）估计该市类社区这一天垃圾量的平均值.
（2）若该市类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为个样本社区的平均值（精确到0.1吨，估计该市类社区中“超标”社区的个数.
（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源.设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为，求的分布列和数学期望附：若服从正态分布，则，，.
第31讲 两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布
【知识点总结】
一、离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质
（1）离散型随机变量的分布列.
表13-1
…
① ;
② .
（2）表示的期望：，反应随机变量的平均水平，若随机变量满足，则.
（3）表示的方差：，反映随机变量取值的波动性。越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量满足，则。
二、几种特殊的分布列、期望、方差
（1）两点分布（又称0，1分布）
0
1
1-
= ，= .
（2）二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为，则在次独立重复实验中恰好发生次概率 ，称服从参数为的二项分布，记作 ，=，=.
（3）超几何分布：总数为的两类物品，其中一类为件，从中取件恰含中的件， ，其中为与的较小者，，称 服从参数为的超几何分布，记作 ，此时有公式。
三、正态分布
（1）若是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 ， （其中是参数，且，）。
其图像如图13-7所示，有以下性质：
①曲线在轴上方，并且关于直线对称；
②曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”；
④图像与轴之间的面积为1.
（2）= ，= ，记作 .
当时， 服从标准正态分布，记作 .
（3） ，则在， ，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友，如果猜中，将获得红包里的所有金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，，平分红包里的金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，，和平分红包里的金额；如果未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设，，C猜中的概率分别为，，，且，，是否猜中互不影响．
（1）求恰好获得4元的概率；
（2）设获得的金额为元，求的概率分布．
例2．（2021·辽宁·大连市一0三中学高二阶段练习）(1)抛掷一颗骰子两次,定义随机变量
试写出随机变量的分布列(用表格格式);
(2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率．
例3．（2021·北京市第五中学通州校区高三阶段练习）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：h），将样本数据分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五个组，并整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；
（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记抽到的甲班学生人数为，求的分布列和均值；
（3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较与的大小．（只需写出结论）
例4．（2022·全国·高三专题练习）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：
（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．
例5．（2022·全国·高三专题练习）2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年．为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在内的概率；
（3）假设竞赛成绩服从正态分布，已知样本数据的方差为121，用平均分作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该校本次竞赛的及格率（60分及以上为及格）．
参考数据：，，．
例6．（2022·全国·高三专题练习）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间 (单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差 (同一组的数据用该组区间中点值代表)；
（2）由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且.利用直方图得到的正态分布，求．
②从该高校的学生中随机抽取20名，记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求(结果精确到)以及的均值．
参考数据：，.若，则.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·江苏·高三专题练习）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是（ ）
A．5 B．9 C．10 D．25
2．（2022·全国·高三专题练习）一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（ ）
A．
1
2
3
B．
1
2
3
4
C．
1
2
3
D．
1
2
3
3．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，则m的值为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布为，．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量的分布列为，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·浙江·高三专题练习）某射手射击所得环数的分布列下表：已知的数学期望，则的值为（ ）
7
8
9
10
0.1
0.3
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习（理））随机变量X的分布列如下表所示，若，则（ ）
X
0
1
P
a
b
A．9 B．7 C．5 D．3
8．（2022·全国·高三专题练习）某射手射击所得环数的分布列如下：
7
8
9
10
已知的数学期望，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X，男生的人数为变量Y，则等于
A． B．
C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”.若所出的拳相同，则为和局.小明和小华两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小华获胜的概率是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·浙江·高三专题练习）设随机变量，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·高三专题练习）若随机变量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·全国·高三专题练习）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则
A． B． C． D．
15．（2022·浙江·高三专题练习）《乘风破浪的姐姐》是一档深受观众喜爱的电视节目，节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·浙江·高三专题练习）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为：
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
则等于（ ）
A．15 B．11
C．2.2 D．2.3
18．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量，，，则（ ）
A． B．
C． D．
19．（2022·全国·高三专题练习）某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器，每台仪器的某个部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件或元件正常工作，且元件正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这台仪器中该部件的使用寿命超过小时的台数的均值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·全国·高三专题练习）若随机变量，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·全国·高三专题练习（理））由以往的统计资料表明，甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为
X1(甲得分)
0
1
2
P
0.2
0.5
0.3
X2(乙得分)
0
1
2
P
0.3
0.3
0.4
现有一场比赛，应派哪位运动员参加较好（ ）
A．甲 B．乙
C．甲、乙均可 D．无法确定
22．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量，则随机变量的方差为（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·全国·高三专题练习）从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为，已知，则
A． B． C． D．
24．（2022·全国·高三专题练习）已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
25．（2022·全国·高三专题练习（理））某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）
A．甲学科总体的均值最小
B．乙学科总体的方差及均值都居中
C．丙学科总体的方差最大
D．甲、乙、丙的总体的均值不相同
26．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量ξ服从正态分布N（μ，7），若P（ξ＜2）=P（ξ＞4），则与D（ξ）的值分别为（ ）
A． B． C．μ=3，D（ξ）=7 D．
27．（2022·全国·高三专题练习（理））已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
28．（2022·全国·高三专题练习（理））已知随机变量，若，则＝（ ）
A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.2
29．（2022·全国·模拟预测）某无人机配件厂商从其所生产的某种无人机配件中随机抽取了一部分进行质量检测，其某项质量测试指标值X服从正态分布，且落在区间内的无人机配件个数为则可估计所抽取的这批无人机配件中质量指标值低于的个数大约为（ ）
(附:若随机变量服从正态分布，则
A． B． C． D．
30．（2022·全国·高三专题练习）在某校高三月考中理科数学成绩X～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤X≤120)＝0.8，假设该校参加此次考试的有780人，那么试估计此次考试中，该校成绩高于120分的有（ ）人
A．78 B．156
C．234 D．390
31．（2022·全国·高三专题练习）某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩.若已知，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为（ ）
A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.14
32．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42
33．（2022·全国·高三专题练习（理））设X~N（1，1），且其概率密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取100000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若，则≈0.6827
A．75385 B．60375 C．70275 D．65865
34．（2022·全国·高三专题练习）某班有名学生，一次数学考试的成绩近似地服从正态分布，平均分为，标准差为，理论上说在分到分的人数约为（ ）
附：若随机变量，则，，.
A． B． C． D．
二、多选题
35．（2022·全国·高三专题练习）某市有，，，四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览，和的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量表示该游客游览的景点的个数，下列正确的（ ）
A．游客至多游览一个景点的概率 B．
C． D．
36．（2022·全国·高三专题练习）端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，与春节、清明节、中秋节并称为中国四大传统节日．扒龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍．在一个袋中装有大小一样的个豆沙粽，个咸肉粽，现从中任取个粽子，设取出的个粽子中咸肉粽的个数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．随机变量服从二项分布
C．随机变量服从超几何分布 D．
37．（2022·全国·高三专题练习）红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低潜在的感染风险.某厂生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设X表示其测量体温误差，且，则下列结论正确的是（附：若随机变量X服从正态分布，则，（ ）
A．， B．
C． D．
38．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量，则
B．已知随机变量，满足，且，则
C．线性回归模型中，相关系数的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强.
D．设，则越大，正太分布曲线越矮胖
三、双空题
39．（2022·全国·高三专题练习）某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试.记在这8道试题中甲能答对6道，甲答对试题的个数为，则甲通过自主招生初试的概率为______，______.
40．（2022·全国·高三专题练习）已知某品牌电子元件的使用寿命（单位：天）服从正态分布.
（1）一个该品牌电子元件的使用寿命超过天的概率为_______________________；
（2）由三个该品牌的电子元件组成的一条电路（如图所示）在天后仍能正常工作（要求能正常工作，， 中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相互独立）的概率为__________________．
（参考公式：若，则）
四、填空题
41．（2022·全国·高三专题练习）袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.
42．（2022·全国·高三专题练习）随机变量，，若，，则________
43．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量，则______.
44．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两名运动员在羽毛球场进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时，甲用4局赢得比赛的概率为.现甲、乙进行6局比赛，则甲胜的局数的数学期望为______.
45．（2022·重庆市育才中学模拟预测）某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则方差______．
46．（2022·全国·高三专题练习）随机变量的概率分布为
0
1
且，则________.
47．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
P
设Y＝2X＋3，则E（Y）的值为____
48．（2022·全国·高三专题练习）若随机变量，且，则_________．
49．（2022·全国·高三专题练习）若随机变量，且，则______．
50．（2022·全国·高三专题练习）某校在一次月考中约有人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分分），统计结果显示数学考试成绩在分到分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于分的学生约有__________人.
五、解答题
51．（2022·全国·高三专题练习）已知X服从参数为0.3的两点分布．
（1）求；
（2）若，写出Y的分布列．
52．（2022·全国·高三专题练习）北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事.北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核.为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩，得到的统计图表如下所示.
若参加这次考核的志愿者考核成绩在内，则考核等级为优秀.
（1）分别求这次培训考核等级为优秀的男、女志愿者人数；
（2）若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到女志愿者的人数为X，求X的分布列及期望.
53．（2022·全国·高三专题练习）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.
（1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；
（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.
54．（2022·全国·高三专题练习）随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级
特等
一等
二等
三等
等外
个数
50
100
250
60
40
（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率．
（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的优级水果的数量，求的分布列及数学期望．
55．（2022·全国·高三专题练习）某外语学校的一个社团有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.求：
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
（2）求在选派的3人中既会法语又会英语的人数的分布列.
56．（2022·全国·高三专题练习）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率．
（2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
57．（2022·全国·高三专题练习）2021年7月24日，中国选手杨倩在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，为中国代表团揽入本界奥运会第一枚金牌.受奥运精神的鼓舞，某射击俱乐部组织200名射击爱好者进行一系列的测试，并记录他们的射击技能分数（单位：分），将所得数据分成7组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求这200名射击爱好者中射击技能分数低于60分的人数；
（2）从样本中射击技能分数在的射击爱好者中采用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进一步进行射击训练，记抽取的3人中射击技能分数不低于70分的人数为X，求X的分布列与数学期望.
58．（2022·全国·高三专题练习）新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.
（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；
（2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求的期望并判断谁的方案更优.
59．（2022·全国·高三专题练习）甲､乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制(先赢3局的学校获胜，比赛结束)，约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛.按照以往比赛经验，在男生排球此赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为.每局比赛结果相互独立.
（1）求甲校以3：1获胜的概率；
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为，求的概率分布.
60．（2022·全国·高三专题练习（理））甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，9环，8环的概率分别是，，，乙命中10环，9环，8环的概率分别是，，，任意两次射击相互独立.
（1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；
（2）现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率
61．（2021·北京·模拟预测）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口举行.为了调查学生对冬奥会知识的了解情况，某校对高一､高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一､高二各随机抽取了20名学生成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行了整理､描述和分析.下面给出了整理的相关信息：
高一年级成绩分布表
成绩(分数)
人数
1
2
3
4
10
（1）从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于分的概率是多少？
（2）分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取人，这三人中成绩不低于分的人数记为，用频率估计概率，求的分布列和期望？
（3）若按照得分从高到底分为A､B､C､D､E，学校为提高对冬奥会知识的了解情况需要在高一或高二进行一场讲座，假设讲座能够使学生成绩普遍提高一个级别，那么若要想高一和高二学生的平均分尽可能的高，需要在高一讲座还是高二讲座？
62．（2022·全国·高三专题练习）新冠疫情这特殊的时期，规定居民出行或出席公共场合均需佩戴口罩，现将地区居民人一周的口罩使用量统计如表所示，其中个人一周的口罩使用为个以及个上的有人.
个人的一周口罩使用数量（单位：个）
频率
（1）求、的值；
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，若从地区的所有居民中随机抽取人，记一周使用口罩数量（单位：个）在范围的人数为，求的分布列及数学期望.
63．（2022·全国·高三专题练习）某行业对本行业人员的身高有特殊要求，该行业人员的身高（单位：）服从正态分布.已知，.
（1）从该行业中随机抽取一人，求此人身高在区间的概率；
（2）从该行业人员中随机抽取3人，设这3人中身高在区间上的人数为，求的分布列和数学期望（分布列结果可以只列式不计算）.
64．（2022·全国·高三专题练习）某书店打算对A，B，C，D四类图书进行促销，为了解销售情况，在一天中随机调查了15位顾客（记为，）购买这四类图书的情况，记录如下（单位：本）：
A
1
1
1
1
1
B
1
1
1
1
1
1
1
1
C
1
1
1
1
1
1
1
D
1
1
1
1
1
1
（1）若该书店每天的人流量约为100人次，一个月按30天计算，试估计A类图书的月销售量（单位：本）；
（2）书店进行促销活动，对购买过两类及以上图书的顾客赠送5元电子红包现有甲、乙、丙三人，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
65．（2022·全国·高三专题练习）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入 (单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；
（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布，其中μ近似为年平均收入，近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每位农民的年收入互相独立，记这1 000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为ξ，求E（ξ）．
附参考数据：≈2.63，若随机变量X服从正态分布N(μ，)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
66．（2022·浙江·高三专题练习）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间内，，的频率之比为4：2：1．
（1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；
（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标位于区间[45，75）内的产品件数为，求的分布列和数学期望．
67．（2022·全国·高三专题练习）羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为，乙选手在每回合中得分的概率为．
（1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率；
（2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X，求X的分布列及数学期望．
68．（2022·全国·高三专题练习）2020新年伊始爆发的新冠疫情让广大民众意识到健康的重要性，云南省全面开展爱国卫生7个专项行动及健康文明生活的6条新风尚行动，其中“科学健身”鼓励公众每天进行60分钟的体育锻炼．某社区从居民中随机抽取了若干名，统计他们的平均每天锻炼时间（单位：分钟/天），得到的数据如下表：（所有数据均在0~120分钟/天之间）
平均锻炼时间
人数
27
39
a
b
45
15
频率
0.09
0.13
0.38
c
0.15
0.05
（1）求，，的值；
（2）为了鼓励居民进行体育锻炼，该社区决定对运动时间不低于分钟的居民进行奖励，为使30%的人得到奖励，试估计的取值？
（3）在第（2）问的条件下，以频率作为概率，在该社区得到奖励的人中随机抽取4人，设这4人中日均锻炼时间不低于80分钟的人数为，求的分布列和数学期望．
69．（2022·全国·高三专题练习（理））某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需的时间(单位:分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为
（1）求直方图中的值；
（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；
（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于 40分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)
70．（2022·全国·高三专题练习）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图.
（1）求的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高（假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；
（2）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在以上的概率.若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取人，用表示身高在以上的男生人数，求随机变量的分布列和数学期望.
71．（2022·全国·高三专题练习）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物．下面是两种化验方案：
方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止．
方案乙：先取3只动物的血液进行混合，然后检查，若呈阳性，对这3只动物的血液再逐个化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则检查剩下的2只动物中1只动物的血液．分析哪种化验方案更好．
72．（2022·全国·高三专题练习）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数.
（1）求值及的数学期望的值；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，检验员判断这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，检验员的判断是否合理？说明理由.
附：.若，则.
73．（2022·全国·高三专题练习）在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如下表所示：
组别
频数
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这人得分的平均值．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率如下表所示：
赠送话费的金额(元)
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记 (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.
(附：参考数据：①；②；③若，则，，．
74．（2021·全国·（理））2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；
（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．
参考数据：，．若，则．
75．（2020·山东菏泽·）某高中调查暑假学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如下的频率分布直方图：
（1）求a的值；并求高二这100名学生的锻炼时间的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）在高一、高二学生中各随机抽取1人，求至少有一人的锻炼时间大于30分钟的概率；
（3）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X表示从高二学生中随机抽取50人，其锻炼时间位于的人数，求X的数学期望.
注：①计算得；②若，则：，.
76．（2020·全国·（理））某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.
（1）估计这100人体重数据的平均值和样本方差；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记为体重在的人数，求的分布列和数学期望；
（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布.若，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.
77．（2021·山东泰安·）某市为了了解本市初中生周末运动时间，随机调查了名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）按照分层抽样，从和中随机抽取了名学生.现从已抽取的名学生中随机推荐名学生参加体能测试.记推荐的名学生来自的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）由频率分布直方图可认为：周末运动时间服从正态分布，其中，为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从本市所有初中生中随机抽取名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求(精确到).
参考数据：当时，，，.
参考数据： .
78．（2022·全国·高三专题练习）某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区.
垃圾量
频数
5
6
9
12
8
6
4
（1）估计该市类社区这一天垃圾量的平均值.
（2）若该市类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为个样本社区的平均值（精确到0.1吨，估计该市类社区中“超标”社区的个数.
（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源.设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为，求的分布列和数学期望附：若服从正态分布，则，，.
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