2024-2025学年山东省枣庄市高二上册第一次月考数学学情检测试题（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省枣庄市高二上册第一次月考数学学情检测试题（含答案），共14页。试卷主要包含了直线的倾斜角是，设，向量，，且，则， “”是“直线与直线平行”的，已知点A，B，下列命题中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方。
1．直线的倾斜角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．135°
2．设，向量，，且，则（ ）
A．B．C．3D．4
3． 如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若AB=4,AC=6,BD=6，则线段CD的长为（ ）
A．B．10
C．D．
4．如图，，分别是四面体的边，的中点，，是的三等分点，且，，，则向量可表示为（ ）
A．B．
C．D．
5．在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是（ ）
A. B.
C. D.
6． “”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7．已知点A(2,−3)，B(−3,−2)．若直线l:mx+y−m−1=0与线段AB无公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，
则下列结论不正确的是（ ）
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.)
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率
B．平行于轴的直线的倾斜角是或
C．若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角相等
D．若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等
10．已知向量a=2,−1,2，b=2,2,1，c=4,1,3，则（ ）
A．a=bB．a在b上的投影向量为89,89,49
C．a⊥bD．向量a,b,c共面
11．如图，正四棱锥的所有棱长均为1，E为BC的中点，M，N分别为棱PB，PC上的动点，设，，，则（ ）
A．AM不可能垂直于BN
B．的取值范围是
C．当时，平面平面ABCD
D．三棱锥的体积为定值
12．已知空间三点，，，则到直线的距离为
13．已知直线l1:3x−y+1=0,l2:x+y−5=0,l3:x−ay−3=0，若直线l1,l2,l3不能围成三角形，写出一个符合要求的实数a的值 ．
14．正四面体P−ABC的棱长为23，点M为平面ABC内的动点，且满足PM=3，则直线PM与直线AB的所成角的余弦值的取值范围为 .
15．（13分）的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）边BC的垂直平分线的方程．
16．（15分）已知平行六面体，，，，.
(1)求的长度；
(2)求异面直线与所成的角的余弦值．
17. （15分）已知直线l过点P（3，4）
(1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程.
(2)若直线l与轴，轴的正半轴分别交于点，求的面积的最小值及此时直线的方程.
18．（17分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点, .
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值.
19．（17分） 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？
若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
数学答案：
一.单选题 1-8 BCDAC BAC
9.AC题 9.AC 10.ABD 11.ACD
三.填空题 12．2 13．- 1，- 任意一个都可以） 14． [0, .
四．解答题
15【详解】（1）BC的中点坐标为 …………………………(1 分)
则边 BC上的中线所在直线的方程为 = -5x + 20 ；…………(5 分)
（2）边 BC的斜率为 ，则其上的高的斜率为- ，且过A(4, 0) ，
则边 BC上的高所在直线的方程为x+ 6 ；……………………
（3）由（1）知 BC的中点坐标(3,5) ，由（2）知高的斜率为- ，
则边 BC的垂直平分线的方程为+ 5 = - .……………………
16.【详解】（1）由题意可知， a = b = c = 1 ，
，……………………
= A1C1 - A1D1 - A1B - A1D1 )
1 5 3
= - 12 a + 12 b + 4 c ,……………………(3 分)
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
A．
B．是等边三角形
C．点与平面的距离为
D．与所成的角为
第Ⅱ卷(非选择题，共92分)
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．)
四、解答题
( 5 15 3 )
= 144 a + 144 b + 16 c + 2|(- 144 a.b + 48 b .c - 48 a .c,
1 25 9 () = 144 + 144 + 16 + 2|(- 144 × 2 + 48 × 2 - 48 × 2 , ,
= , 所以iMNi = .……………………(7 分)
→
（2）A1C1 = AC = AB+ AD = a +b ，
D1B = D1A1 + A1A+ AB = -AD- AA1 + AB = a -b -c ，……………………(9 分)
设异面直线A1C1 与D1B 所成的角为θ ,
A1C1 . D1B = (a +b a b c a a b a c a b b b).(--)=2-.-.+.-2- . c ，
= -a.c -b . c = - 1 ，……………………(10 分)
2
A1C1 = (a b+) = a b a2+2+2 .b = 3 ，……………………(11 分)
2
D1B = (a -b -c ) = a2 +b 2 + c 2 - 2a.b - 2a . c + 2b . c = 2 ，……………………(12 分)
A1C1 . D1B 1
csθ = cs A1C1 , D1B = A1C1 D1B = 3 × 2 = 6 .……………………(15 分)
17【详解】（1）①当直线l过原点时，符合题意，斜率k = ，
直线方程为y = x ，即4x - 3y = 0 ；……………………(3 分)
x y
∴直线 l的方程为： + = 1 ，即2x+ y-10 = 0 ．……………………(6 分)
5 10
综上所述，所求直线 l方程为4x - 3y = 0 或2x+ y-10 = 0 ．……………………(7 分)
②当直线 l不过原点时，
∵它在 y轴上的截距是在 x轴上截距的 2 倍，
∴可设直线 l的方程为：
+ = 1 . a 2a
x y
3 4
∵直线 l过点 P（3，4），
: + = 1 ，解得 a=5. a 2a
x y
（2）设直线 l的方程为 + = 1(a > 0, b > 0) ， a b
由直线 l过点 P（3，4）得： .
3 4
\ a b
∴ :1 ≥ 2 × ,化为ab ≥ 48 ，
当且仅当 a=6，b=8 时取等号.
∴ ΔAOB的面积 × 48 = 24 ，其最小值为 24．……………………(13 分)
此时直线的方程为4x+ 3y - 24 = 0 .……………………(15 分)
18【详解】（1）因为三棱柱ABC - A1B1C1 是直三棱柱，: BB1 丄 底面ABC ，:BB1 丄 AB '.' A1B1 //AB ，BF 丄 A1B1 ，:BF 丄 AB，又BB1 ∩ BF = B ，:AB 丄平面BCC1B1 ．所以 BA, BC, BB1 两两垂直.
以B 为坐标原点，分别以BA, BC, BB1 所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系，如图.
:B(0, 0, 0), A(2, 0, 0), C (0, 2, 0), B1 (0, 0, 2), A1 (2, 0, 2), C1 (0, 2, 2)，
E (1,1, 0), F (0, 2,1) ．……………………(2 分)
由题设D(a, 0, 2) （ 0 ≤ a ≤ 2 ）.
因为BF = (0, 2,1), DE = (1- a,1, -2) ，……………………(4 分)
所以BF DE. = 0× (1- a)+ 2×1+1× (-2) = 0 ，所以 BF 丄 DE ．……………………(6 分)
（2）设平面DFE 的法向量为m = (x, y, z ) ，
因为EF = (-1,1,1), DE = (1- a,1, -2)，
〔m . EF = 0
〔-x + y + z = 0
{
所以
,即
l(1- a)x + y - 2z = 0
{ .
lm. DE = 0
令z = 2 - a ，则m = (3,1+ a, 2 -a) ……………………(8 分)
因为平面BCC1B1 的法向量为BA = (2, 0, 0) ，……………………(9 分)
设平面BCC1B1 与平面DEF 的二面角的平面角为θ，
则 csθ = = = ．……………………(12 分)
m . BA 6 3
m . BA 2 × 2a2 - 2a +14 ·2a2 - 2a +14
当a = 时，2a2 - 2a+ 4取最小值为 ，……………………(14 分)
此时csθ 取最大值为 = ．所以(sinθ)min = ，此时
B1D = ．……………………
19【小问 1 详解】
作Ez⊥平面ABCD，又 BE 丄 AD ，所以以EB, ED 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，
建立如下图所示的空间直角坐标系E - xyz ： 因为平面PAD 丄 平面ABCD ，
平面PAD∩ 平面ABCD = AD ，且 PA丄 AD ，PA 平面PAD ， 所以PA 丄 平面ABCD ，
又因为E 为AD的中点，PA = AE = BE = 2 ，且 BE Ⅱ CD ，BE 丄 AD ， CD = 1， 所以由题意有A(0, -2, 0), P (0, -2, 2), D (0, 2, 0), C (1, 2, 0) ，
所以有PA = (0, 0, -2), PC = (1, 4, -2), PD = (0, 4, -2), 不妨设平面PCD 的法向量为n1 = (x1, y1, z1 ) ，
所以有 即{EQ \* jc3 \* hps10 \\al(\s\up 9(〔x),l4)1y -4EQ \* jc3 \* hps10 \\al(\s\up 9(y),2)EQ \* jc3 \* hps10 \\al(\s\up 9(1-),z1)EQ \* jc3 \* hps10 \\al(\s\up 9(z),0)1 = 0 ，
PA . n1
n1
= .……………………(5 分)
d =
=
取y1 = 1 ，解得n1 = (0,1, 2) ， 所以点A 到平面PCD 的距离为
【小问 2 详解】如图所示：
由题意有E(0, 0, 0), P (0, -2, 2), B (2, 0, 0), C (1, 2, 0) ，
所以有PE = (0, 2, -2), PC = (1, 4, -2), PB = (2, 2, -2),
0 × 0 + 0 ×1+ (-2)× 2
02 +12 + 22
不妨设平面PBC 的法向量为n2 = (x2, y2, z2 )，
所以有 ，即 {
取x2 = 2 ，解得n2 = (2,1, 3) ，
不妨设直线PE 与平面PBC 所成角为θ,θ ,
所以直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为
所以直线PE 与平面PBC 所成角的余弦值为
csθ = .……………………
【小问 3 详解】如图所示：
由题意有E(0, 0, 0), P (0, -2, 2), D (0, 2, 0),
所以DE = (0, -2, 0) , EP = (0, -2, 2) ，
由题意不妨设EM = λEP, (0 < λ