2024-2025学年山东省青州市高二上册9月月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省青州市高二上册9月月考数学学情检测试题（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. ，则
C. 若，则D. ，则
2. 在空间直角坐标系中，，点关于y轴的对称点为C，则=（ ）
A. B. C. 3D.
3. 如图，正方体的棱长为，是线段上的点，且，则点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
4. 在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体中，E是的中点，过、C、E的截面图形为（ ）
A 矩形B. 三角形
C. 正方形D. 等腰梯形
5. 如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在、平面内引射线、，若，，那么二面角的大小为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为棱上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
B.
C. D.
7. 如图，是直三棱柱，，点、分别是、的中点，若，则与所成角的余弦值是
A B. C. D.
8. 已知正方体的棱长为分别是棱､的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A. 2B. C. D.
二、多选题
9. 以下命题正确的是（ ）
A. 两个不同平面，的法向量分别为，，则
B. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，则
C. 已知，，若与垂直，则实数
D. 已知三点不共线，对于空间任意一点O，若，则四点共面
10. 如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的为（ ）

A. 截面
B. 异面直线与所成的角为
C.
D. 平面
11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面，点在线段上，，交于点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若平面，则为的中点
B. 若为的中点，则三棱锥的体积为
C. 锐二面角大小为
D. 若，则直线与平面所成角的余弦值为
三、填空题
12. 已知直线的方向向是为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角是__________．
13. 如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则______.
14. 如图，质点从正方体顶点出发，沿正方体的棱运动，每经过一条棱称之为一次运动，第一次运动经过，第二次运动经过，第三次运动经过，且对于任意的正整数，第次运动所经过的棱与第次运动所经过的棱所在的直线是异面直线，则经过2021次运动后，点到达的顶点为________点
四、解答题
15 已知，.
（1）若()∥()，求x，y的值；
（2）若，且，求x的值.
16. 如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．

（1）试用 表示向量；
（2）若，，，求线段的长．
17. 已知三棱锥中，，，分别为棱的中点，且平面平面，平面平面．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面．
18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上.
（1）求证：平面；
（2）若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.
19. 在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．

（1）求证：；
（2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
2024-2025学年山东省青州市高二上学期9月月考数学学情检测试题
一、单选题
1. 已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. ，则
C. 若，则D. ，则
【正确答案】D
【分析】A选项可以举反例，B选项考查面面平行判定定理，C选项漏了条件，D选项即为线面平行性质定理.
【详解】对于选项A，垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交；
对于选项B，根据面面平行判定定理，直线m，n应为相交直线；
对于选项C，直线m可能在平面内；
对于选项D，恰好为线面平行的性质定理.
故选：D.
2. 在空间直角坐标系中，，点关于y轴的对称点为C，则=（ ）
A. B. C. 3D.
【正确答案】C
【分析】根据空间坐标系中的对称性求得点的坐标，计算即得的坐标和模长.
【详解】因点关于y轴的对称点为，，
则，故.
故选：C.
3. 如图，正方体的棱长为，是线段上的点，且，则点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】设点，分析可得，利用空间向量的坐标运算可求得点的坐标.
【详解】由题意，点、，
是线段上的点，且，则，
设点，则，即，解得，
故点的坐标为.
故选：A.
4. 在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体中，E是的中点，过、C、E的截面图形为（ ）
A. 矩形B. 三角形
C. 正方形D. 等腰梯形
【正确答案】D
【分析】取的中点，连接，证得共面，得到截面图形为等腰梯形.
【详解】如图所示，取的中点，连接，可得，且
根据平面的基本性质，可得共面，且,
所以过、C、E的截面图形为等腰梯形.
故选：D.
本题主要考查了正方体的结构特征，以及平面的基本性质的应用，着重考查空间想象能力，属于基础题.
5. 如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在、平面内引射线、，若，，那么二面角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，则即为二面角的平面角，设，通过解三角形即可求出答案．
【详解】解：过上一点分别在、内做的垂线，交、于点、，
则即为二面角的平面角，如下图所示：
设，∵，
∴，，
又∵，∴为等边三角形，则，
∴，
∴，
故选：D．
6. 已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为棱上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算结合图形计算即可.
【详解】由条件易知
.
故选：D
7. 如图，是直三棱柱，，点、分别是、的中点，若，则与所成角的余弦值是
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】考点：异面直线及其所成的角．
分析：先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．
解答：
取BC的中点D，连接D1F1，F1D
∴D1B∥D1F
∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角
设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1=
在△DF1A中，cs∠DF1A=/10．
故选A．
点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
8. 已知正方体的棱长为分别是棱､的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A. 2B. C. D.
【正确答案】B
【分析】取的中点，连接，易证平面，平面，从而得到平面平面，即可得到的轨迹为线段，再求其长度即可.
【详解】取的中点，连接，如图所示：
分别是棱､的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以.
又因为平面，平面，所以平面.
因为，所以平面平面.
因为点为底面四边形内（包括边界）一动点，直线与平面无公共点，
所以的轨迹为线段，则.
故选：B
二、多选题
9. 以下命题正确的是（ ）
A. 两个不同平面，的法向量分别为，，则
B. 若直线l的方向向量，平面的一个法向量，则
C. 已知，，若与垂直，则实数
D. 已知三点不共线，对于空间任意一点O，若，则四点共面
【正确答案】ACD
【分析】根据空间向量判定线面、面面关系可判定AB，根据空间向量数量积的坐标表示可判定C，根据四点共面的充要条件可判定D.
【详解】对于A，由题意知，所以，故A正确；
对于B，由题意知，所以或，故B错误；
对于C，由题意知，
解之得，故C正确；
对于D，由，
即，所以四点共面，故D正确.
故选：ACD
10. 如图，在四面体中，点分别是棱的中点，截面是正方形，则下列结论正确的为（ ）

A. 截面
B. 异面直线与所成的角为
C.
D. 平面
【正确答案】AC
【分析】对于选项A:利用线面平行的判定定理即可判断；对于选项B:结合题意可得为异面直线与所成的角，借助截面是正方形求解即可；对于选项C:结合题意利用，，并借助截面是正方形即可判断；对于选项D:利用分析法并借助线面垂直的性质可得到不一定成立，即可判断.
【详解】对于选项A:点分别是棱的中点，，
平面，平面，截面，故A正确；
对于选项B: 点分别是棱的中点，，
为异面直线与所成的角，
截面是正方形，，
即异面直线与所成的角为，故B错误；
对于选项C:截面正方形，，
又点分别是棱的中点，
，，，故C正确；
对于选项D:若要使平面，则需要，，
但由题意知不一定成立，故D错误．
故选：AC.
11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面，点在线段上，，交于点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若平面，则为的中点
B. 若为的中点，则三棱锥的体积为
C. 锐二面角的大小为
D. 若，则直线与平面所成角余弦值为
【正确答案】ABD
【分析】对于，根据线面平行性质可得，进而得到为的中点；
对于，利用求解即可；
对于，作的中点，则 为锐二面角 的平面角，再结合余弦定理可求解二面角的平面角的余弦值，即可判断错误；
对于，建系，求平面的法向量，根据向量的夹角来求直线与平面所成角的余弦值．
【详解】解：对于，连接，当平面，根据线面平行的性质可得，从而得到为的中点．故正确；
为的中点，，
取中点，连接，因为为等边三角形，所以，又平面平面，
由面面垂直性质可得底面，
，，所以正确．
连接，因为底面，又平面，所以，
在中，，
取中点，连接，，，，
为锐二面角的平面角，
在中，，
，由余弦定理可得
，所以，故错误．
对于，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，
因为，所以，
设平面 的法向量，则，即，取，
解得，所以，
，
故正确．
故选：．
三、填空题
12. 已知直线的方向向是为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角是__________．
【正确答案】
【分析】根据空间向量法计算线面角即可.
【详解】设直线与平面所成的角为，
则
故.
故答案为.
13. 如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则______.
【正确答案】
【分析】分析可知，，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为平面，平面，则，同理可知，
所以，
.
故答案为.
14. 如图，质点从正方体的顶点出发，沿正方体的棱运动，每经过一条棱称之为一次运动，第一次运动经过，第二次运动经过，第三次运动经过，且对于任意的正整数，第次运动所经过的棱与第次运动所经过的棱所在的直线是异面直线，则经过2021次运动后，点到达的顶点为________点
【正确答案】
【分析】由题意设第次运动前起始点为，分析第次运动后所在的位置与的位置关系即可.
【详解】由题，不妨设第次运动前质点在点处，则第次运动经过的或，
当第次运动经过时，第次运动经过或，又第次运动所经过的棱与第次运动所经过的棱所在的直线是异面直线，故第次运动只能经过或，即第次运动后只可能在处，同理当第次运动经过时也有第次运动后只可能在处，故从开始第3次运动后必定在，第6次运动后必定回到,即6次运动为一个周期，又,故经过2021次运动后与经过5次后的位置相同,即处.
故答案为.
四、解答题
15. 已知，.
（1）若()∥()，求x，y的值；
（2）若，且，求x的值.
【正确答案】（1），
（2）
【分析】（1）先求出和的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；
（2）先根据向量垂直得，进而，再根据向量模的坐标表示计算可得.
【小问1详解】
∵，，
∴，.
又()∥()，
∴，解得，.
【小问2详解】
由，得，
∴，∴，即，∴，解得.
16. 如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．

（1）试用 表示向量；
（2）若，，，求线段的长．
【正确答案】（1）
（2）．
【分析】（1）根据题意，结合空间向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解；
（2）根据题意，求得且，结合空间向量的数量积和模的运算，即可求解.
【小问1详解】
解：因，
根据空间向量的运算法则，可得.
小问2详解】
解：因为，，，
可得且，
则
，所以，
即线段的长．
17. 已知三棱锥中，，，分别为棱的中点，且平面平面，平面平面．
（1）求证：；
（2）求证：平面平面．
【正确答案】（1）证明过程见解析
（2）证明过程见解析
【分析】（1）首先证明平面，然后结合线面平行的性质即可得证；
（2）只需证明，，然后结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证.
【小问1详解】
因为分别为棱的中点，所以,
因为平面，平面，所以平面，
因为平面平面，平面，所以；
【小问2详解】
因为，点是的中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为分别为棱的中点，所以，
因为，所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
而平面，从而平面平面.
18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上.
（1）求证：平面；
（2）若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）.
【分析】（1）由条件可得，，然后算出的长度可得矩形是正方形，然后可得，即可证明；
（2）、、两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.
【小问1详解】
因为底面，、底面，所以，，
所以，，
所以矩形是正方形，所以，
因为，所以平面
【小问2详解】
由（1）知、、两两垂直，建系如图，
，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
，，，，1，，，2，，
设平面的法向量为，
则，，即
所以可取，0，，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
19. 在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．

（1）求证：；
（2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）存在点，此时
【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理可证明平面，再由线面垂直的性质即可得；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得结果.
【小问1详解】
因为，且，
可得，，
又因为，可得，
所以，则，
因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，
又因为平面，
所以；
【小问2详解】
因为平面，且平面，所以，
如图所示，以点为原点，建立空间直角坐标系，

可得，，，，
所以，．
设平面的法向量为n=x,y,z，则，
令，可得，所以，
假设存在点，使得与平面所成角为，
设，（其中），则，，
所以，
整理得，解得或（舍去），
所以在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时