2024-2025学年福建省莆田市高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省莆田市高二上册10月月考数学学情检测试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等比数列则（ ）
A. 8B. ±8C. 10D. ±10
3. 已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若数列的前项和为，且满足，，，则的值为（ ）
A. 0B. 3C. 4D. 5
5. 已知数列满足，则（ ）
A. 2B. C. D.
6. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，《洛书》上的图案由个黑白圆点分别组合，摆成方形，南西东北分别有个点，四角各有个点，中间有个点，简化成如图的方格，填好数字后各行、各列以及对角线上的3个数字之和都等于15．推广到一般情况，将连续的正整数填入的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这样一个阶幻方就填好了，记阶幻方对角线上的数字之和为，则的值为（ ）

A. B. C. D.
7. 在数列中，，则（ ）
A. 25B. 32C. 62D. 72
8. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）
9. 已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（ ）
A. 是数列最小项B. 是数列的最大项
C. 是数列的最大项D. 当时，数列递减
10. 已知等差数列公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 当时，取得最小值
D. 当时，满足最大整数的值为25
11. 已知是正项数列的前项积，且，将数列的第1项，第3项，第7项，…，第项抽出来，按原顺序组成一个新数列，令，数列的前项和为，且不等式对恒成立，则（ ）
A. 数列是等比数列
B.
C.
D. 实数的取值范围是(−4,16)
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知数列的前n项和，则数列的通项公式为________
13. 等比数列an中，，，令，则数列bn前项和为______.
14. 已知函数，数列满足，，，则__________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
15. 已知公差不为0的等差数列满足．若，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
16. 已知直线过定点，且直线在，轴上的截距依次为和.
（1）若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于，两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形面积最小时直线的方程.
17. 已知数列满足，，．数列满足，，其中为数列是前n项和．
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和，并证明：．
18. 记是公差不为的等差数列an的前项和，已知，，数列bn满足，且.
（1）求an的通项公式；
（2）证明数列是等比数列，并求数列bn通项公式；
（3）求证：对于任意正整数，
19 已知数列满足：，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”.判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明.
（3）设，，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.
2024-2025学年福建省莆田市高二上学期10月月考数学学情检测试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据题意，得到数列的一个通项公式，代入即可求解.
【详解】由题意，数列，可化为，
所以数列的一个通项公式为，所以该数列的第10项是.
故选：D.
2. 已知等比数列则（ ）
A. 8B. ±8C. 10D. ±10
【正确答案】A
【分析】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决.
【详解】根据等比中项知道，求得，则.
又，则.
故选：A.
3. 已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】先利用斜率公式求出，再由倾斜角斜率的取值图象数形结合求得即可.
【详解】
由图象结合题意可知：，
观察到直线过点与线段有公共点时倾斜角为钝角时逐渐增大，
斜率大于或等于直线的斜率；
为锐角时倾斜角逐渐减小，斜率小于或等于直线的斜率；
所以直线的斜率的取值范围是．
4. 若数列的前项和为，且满足，，，则的值为（ ）
A. 0B. 3C. 4D. 5
【正确答案】D
【分析】根据题意，求得的值，得到数列an是周期为6的数列，结合，即可求解.
【详解】数列an的前项和为，且满足，且，
可得，，所以数列an是周期为6的数列，
其中，所以.
故选：D.
5. 已知数列满足，则（ ）
A. 2B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用时，得到，代入，求出答案.
【详解】由题意可得①，
所以时，②，
①-②得，所以，所以.
故选：B.
6. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，《洛书》上的图案由个黑白圆点分别组合，摆成方形，南西东北分别有个点，四角各有个点，中间有个点，简化成如图的方格，填好数字后各行、各列以及对角线上的3个数字之和都等于15．推广到一般情况，将连续的正整数填入的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这样一个阶幻方就填好了，记阶幻方对角线上的数字之和为，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先求出阶幻方中所有数字之和，再除以得对角线上的数字之和，再令可得结果.
【详解】阶幻方由填入得到，填入的数字之和为，
又因为阶幻方每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，
所以对角线上的数字之和为，
当时，代入可得，
故选：C．
7. 在数列中，，则（ ）
A. 25B. 32C. 62D. 72
【正确答案】B
【分析】令，故函数在上单调递减，在上单调递增，进而得当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，再根据函数单调性去绝对值求和即可.
【详解】解：令函数，
由对勾函数的性质得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，
所以
所以
故选：B
8. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】分奇数项和偶数项求递推关系，然后记，利用构造法求得，然后分组求和可得.
【详解】因为，
所以，，且，
所以，
记，则，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
记bn的前n项和为，则.
故选：A
关键点点睛：本题解题关键在于先分奇数项和偶数项求递推公式，然后再并项得bn的递推公式，利用构造法求通项，将问题转化为求bn的前50项和.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）
9. 已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（ ）
A. 是数列的最小项B. 是数列的最大项
C. 是数列的最大项D. 当时，数列递减
【正确答案】BCD
【分析】设第项为an的最大项，根据列出不等式组，求解即可判断BCD，利用数列的单调性及范围判断A．
【详解】设第项为an最大项，
则，即，所以，
又，所以或，
故数列an中与均为最大项，且，
当时，数列an递减，故BCD正确，
当趋向正无穷大时，无限趋向于0且大于0，且，
所以不是数列an的最小项，且数列an无最小值，故A错误.
故选：BCD
10. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 当时，取得最小值
D. 当时，满足的最大整数的值为25
【正确答案】ABD
【分析】由得到，进而求得即可判断A；，，成等差数列，即可判断B；因为，分类讨论当，，即可判断C；因为，所以，，所以，，即可判断D.
【详解】因为，
所以，
即，所以，故A正确．
因为，，成等差数列，
所以，而，则，故B正确．
因为，由得，
即，所以，所以对称轴为：，
所以当时，开口向上，当，取得最小值，
当时，开口向下，当，取得最大值，故C错误．
因为，数列an单调递增，所以，，
则，，又因为，
所以当时，满足的最大整数的值为25，D正确．
故选：ABD
11. 已知是正项数列的前项积，且，将数列的第1项，第3项，第7项，…，第项抽出来，按原顺序组成一个新数列，令，数列的前项和为，且不等式对恒成立，则（ ）
A. 数列是等比数列
B.
C.
D. 实数取值范围是(−4,16)
【正确答案】BCD
【分析】利用数列前项积和通项公式的关系判断A，B，利用错位相减法判断C，分类讨论结合数列的性质判断D即可.
【详解】因为，所以，当时，由是正项数列的前项积，
得，即，所以，所以，
所以数列是公差为1的等差数列，不是等比数列，故A错误;
当时，，即，又，解得(其它根舍去)，
所以，当时，，
又，满足上式，所以，故B正确，
由题意知，所以，
则，，
两式相减得，
，所以，故C正确;
由，易知单调递增，故，当为奇数时，由，
对恒成立，得恒成立，即，而，故，
当为偶数时，由恒成立，得，此时，
故，所以实数的取值范围是(−4,16)，故D正确.
故选：BCD.
关键点点睛：本题考查数列，解题关键是合理分类讨论，然后进行分离参数，得到所要求的取值范围即可．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知数列的前n项和，则数列的通项公式为________
【正确答案】
【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出通项公式.
【详解】数列an的前n项和，
当时，，
而，不满足上式，
所以数列an的通项公式为.
故
13. 等比数列an中，，，令，则数列bn前项和为______.
【正确答案】
【分析】根据等比数列an中，求出，求出an的通项公式，再根据，求出bn通项公式，进而求出bn的前项和.
【详解】根据等比数列an中，则，解得，
所以，由，则，
所以
故答案为.
14. 已知函数，数列满足，，，则__________．
【正确答案】2
【分析】根据函数性质分析可知：在上单调递增，且为奇函数，进而可得，结合数列周期性分析求解.
【详解】由题意可知：的定义域为，
且，即，
可知为定义在上的奇函数；
且，
因为在上单调递增，可知在上单调递增；
综上所述：在上单调递增，且为奇函数.
因为，则，
可得，即，
由可知：3为数列的周期，则，
且，所以.
故2.
易错点睛：本题分析的奇偶性的同时，必须分析的单调性，若没有单调性，由无法得出.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
15. 已知公差不为0的等差数列满足．若，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
【正确答案】（1）；
（2）
【分析】（1）根据等比中项的性质可得出，再代入等差数列的通项公式即可求出公差；
（2）根据（1）的结果，利用分组求和即可解决
【小问1详解】
假设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
所以，即，因为，所以，
所以通项公式为；
【小问2详解】
因为，
所以
16. 已知直线过定点，且直线在，轴上的截距依次为和.
（1）若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于，两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形面积最小时直线的方程.
【正确答案】（1）或
（2）
【分析】（1）分为截距都为和不为，进行求解直线方程；
（2）根据题意设直线方程，求出坐标，进而计算最小值时求解直线方程.
【小问1详解】
当直线过定点，若截距都为时，
设，则，所以直线方程为，
当直线过定点，若截距都不为时，
设，则，所以直线方程为，
综上所述，直线的方程为或；
【小问2详解】
根据题意设直线方程，
当时，，当时，，
则
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
此时直线方程为，即.
17. 已知数列满足，，．数列满足，，其中为数列是前n项和．
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和，并证明：．
【正确答案】（1）；
（2）；证明见解析
【分析】（1）根据递推公式，结合等比数列的定义可以求出数列的通项公式，再利用累和法可以求出数列的通项公式；
（2）利用错位相减法，结合的单调性证明即可.
【小问1详解】
由，可得，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，所以数列的通项公式为．因为，所以，所以
，所以数列的通项公式为．
【小问2详解】
由（1）可得，所以①，②，②－①得
，所以．
，，所以递增，所以，又当时，，所以．因此，．
18. 记是公差不为的等差数列an的前项和，已知，，数列bn满足，且.
（1）求an的通项公式；
（2）证明数列是等比数列，并求数列bn的通项公式；
（3）求证：对于任意正整数，
【正确答案】（1）
（2）详见解析 （3）详见解析
【分析】（1）设公差为，结合等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，进而得到；
（2）由已知递推关系式可得，由此可得证得数列为等比数列，结合等比数列通项公式推导可得；
（3）利用从第二项开始，，进行逐项放缩，进而证明.
【小问1详解】
设等差数列an公差为，由，，
则 ，
解得，
所以；
【小问2详解】
由，得，
则，，，
所以以为首项，为公比的等比数列，
故，则.
小问3详解】
当时，，

.
19. 已知数列满足：，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中.如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”.判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明.
（3）设，，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【分析】（1）根据题意，化简得到，得到数列为等比数列，得到，得到，得到数列为等差数列，进而得到数列（2）由（1）知，求得，得到是递增数列，进而证得数列是“绝对差异数列”；
（3）由（1）求得，得到，分为偶数和为奇数，分别求得，结合的单调性，进而求得的取值范围.
【小问1详解】
解：因为，所以，
因为，可得，所以，
所以数列是以3为首项，公比为2的等比数列，所以，
可得，即，
所以数列表示首项为，公差为的等差数列，
可得，所以.
【小问2详解】
解：由（1）知，
所以，
因为，
所以数列是递增数列，则，
所以数列是“绝对差异数列”.
【小问3详解】
解：由（1）知，，可得，
所以，
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
当为偶数时，单调递减，
此时时，此时取得最大值，则；
当为奇数时，单调递增，此时，所以，
综上可得，实数的取值范围是