2024-2025学年福建省南平市高二上册数学人教A版（2019）第一次月考检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省南平市高二上册数学人教A版（2019）第一次月考检测试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了5D．点P到直线AB距离小于5等内容，欢迎下载使用。
已知点A2,1，B3,2，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A−3,0，B3,0，C3,3，若直线l：ax+a2−3y−9=0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为（ ）
A．－2B．－1C．－1或3D．3
在空间直角坐标系中，若a=1,1,−3，b=1,−1,x，且a⊥b，则a+b=（ ）
A．5B．7
C．11D．13
直线l1:a+2x+y−1=0与直线l2:2x+a+3y+a−1=0平行，则a为（ ）
A．−1或−4B．−1C．2D．−4
已知直线kx−y−k−1=0和以M−3,1，N3,2为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．−12≤k≤32B．−2≤k≤23
C．k≤−12或k≥32D．k≤−2或k≥23
已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，点M,N满足PM=12PC，PN=23PD．若MN=xAB+yAD+zAP，则x+y+z=（ ）
A．−1B．1C．−12D．12
“b=±10”是“直线x+y+b=0与圆C:x+12+y−12=5相切”的（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．既是充分条件又是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件
在平面直角坐标系中，已知点Pa,b满足a+b=1，记d为点P到直线x−my−2=0的距离.当a,b,m变化时，d的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
下列给出的命题正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为e=1,0,3，平面α的法向量为n=−2,0,23，则l//α
B．两个不重合的平面α,β的法向量分别是u=2,2,−1,v=−3,4,2，则α⊥β
C．若a,b,c是空间的一组基底，则a+b,b+c,c+a也是空间的一组基底
D．已知三棱锥O−ABC，点P为平面ABC上的一点，且OP=12OA+mOB−nOCn,m∈R，则m−n=12
已知点P在圆C:(x−3)2+(y−3)2=4上，点A(2,0)，B(0,2)，则（ ）
A．直线AB与圆C相交B．直线AB与圆C相离
C．点P到直线AB距离大于0.5D．点P到直线AB距离小于5
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，正方形ABCD的中心为O，棱CC1，B1C1的中点分别为E，F，则（ ）
A．OE⋅BC=12
B．S△FOE=68
C．异面直线OD1与EF所成角的余弦值为336
D．点F到直线OD1的距离为144
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
已知a=1,1,2，b=2，a−b=2，则a⋅b=__________.
已知直线l:x+y−1=0：与圆C:x−32+y+42=5交于A,B两点，则AB=__________.
若直线l:kx−y+4+2k=0与曲线y=4−x2有两个交点，则实数k的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
（13分）已知点A−2，0，2、B−1，1，2、C−3，0，4，a=AB，b=AC．
(1)若c=3，且c//BC，求c；
(2)求csa，b；
(3)若ka+b与ka−2b垂直，求k．
（15分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线l的方程为a+1x−y+4a=0，a∈R
(1)若a=1，求过点1,0且与直线l平行的直线方程；
(2)已知原点O到直线l的距离为4，求a的值；
(3)已知直线l在两条坐标轴上截得的截距相等，求a的值．
（15分）已知圆C:x2+y2=16，直线l:2+kx+1+ky+k=0.
(1)证明：直线l和圆C恒有两个交点；
(2)若直线l和圆C交于A,B两点，求AB的最小值及此时直线l的方程.
（17分）如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2AA1=2CD=2，A1C=3，AB//CD．
(1)求证：BC⊥平面ABB1A1；
(2)求平面AA1D与平面A1DC夹角的余弦值．
（17分）已知圆C：x−22+y2=1，点P是直线l:x+y=0上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)若P的坐标为P−1,1，求过点P的切线方程；
(2)直线x−y+m=0与圆C交于E，F两点，求OE·OF的取值范围（O为坐标原点）.
2024-2025学年福建省南平市高二上学期数学人教A版第一次月考检测试卷
单选题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
已知点A2,1，B3,2，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【解题思路】根据两点间斜率公式求解即可；
【解答过程】解析：k=tanα=2−13−2=1，又因为0°≤αPB，所以dmax=PA，
由上可知：当P确定时，dmax即为PA，且此时PA⊥l；
又因为P在如图所示的正方形上运动，所以dmax=PAmax，
当PA取最大值时，P点与M−1,0重合，此时PA=2−−1=3，
所以dmax=3，
故选：C.
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
下列给出的命题正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为e=1,0,3，平面α的法向量为n=−2,0,23，则l//α
B．两个不重合的平面α,β的法向量分别是u=2,2,−1,v=−3,4,2，则α⊥β
C．若a,b,c是空间的一组基底，则a+b,b+c,c+a也是空间的一组基底
D．已知三棱锥O−ABC，点P为平面ABC上的一点，且OP=12OA+mOB−nOCn,m∈R，则m−n=12
【解题思路】利用线面平行的向量关系求解选项A；利用面面垂直的向量表示求解选项B；利用基底的概念求解选项C；利用空间四点共面的定理求解选项D.
【解答过程】对A，e⋅n=−2+2=0，所以l//α或l⊂α，A错误；
对B，u⋅v=−6+8−2=0，所以α⊥β，B正确；
对C，利用反证法的思想，
假设a+b,b+c,c+a三个向量共面，则a+b=xb+c+yc+a，
所以(1−y)a=(x−1)b+(x+y)c，
若y=1，则(x−1)b+(x+1)c=0，则b,c共线，
与a,b,c是空间的一组基底矛盾；
若y≠1，则a=x−11−yb+x+y1−yc，则a,b,c共面，
与a,b,c是空间的一组基底矛盾；
所以假设不成立，即a+b,b+c,c+a不共面，
所以a+b,b+c,c+a也是空间的一组基底，C正确；
对D，因为P为平面ABC上的一点，所以P,A,B,C四点共面，
则由共面定理以及OP=12OA+mOB−nOCn,m∈R可得，
12+m−n=1，所以m−n=12，D正确；
故选:BCD.
已知点P在圆C:(x−3)2+(y−3)2=4上，点A(2,0)，B(0,2)，则（ ）
A．直线AB与圆C相交B．直线AB与圆C相离
C．点P到直线AB距离大于0.5D．点P到直线AB距离小于5
【解题思路】根据圆心到直线的距离判断AB，再由圆上点到直线距离的最值判断CD即可.
【解答过程】由C:(x−3)2+(y−3)2=4知，圆心为C(3,3)，半径r=2，
直线AB:x+y−2=0，
则圆心到直线距离d=|3+3−2|2=22>r=2.
所以直线AB与圆C相离，故A错B对；
由圆心到直线的距离知，圆上点到直线距离的最大最小值分别为22+r=2+22，
22−r=22−2，故CD正确.
故选：BCD.
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，正方形ABCD的中心为O，棱CC1，B1C1的中点分别为E，F，则（ ）
A．OE⋅BC=12
B．S△FOE=68
C．异面直线OD1与EF所成角的余弦值为336
D．点F到直线OD1的距离为144
【解题思路】建立空间直角坐标系，结合空间向量逐项判断；
【解答过程】故以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.
B1,1,0,O12,12,0,E0,1,12，C0,1,0，F12,1,1，D10,0,1，
OE⋅BC=−12,12,12⋅−1,0,0=12，选项A正确；
OF⋅OE=0,12,1−12,12,12=34，
OF=52,OE=32,所以csOF,OE=3452×32=155，
根据三角函数两角正余弦关系解得：sinOF,OE=105,
S△FOE=12OFOEsinOF,OE=12×52×32×105=68，选项B正确；
OD1⋅EF=−12,−12,1⋅12,0,12=14，
OD1=62,EF=22, csOD1,EF=1462×22=36，选项C错误；
点F到直线OD1的距离为：OFsinOF,OD1，
而csOF,OD1=OF⋅OD1OFOD1=3452×62=330=3010， sinOF,OD1=7010，
所以OFsinOF,OD1=52×7010=144,选项D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
已知a=1,1,2，b=2，a−b=2，则a⋅b= 2 .
【解题思路】根据a−b2=a2−2a⋅b+b2即可求解.
【解答过程】因为a=1,1,2，所以a=1+1+2=2,
因为a−b=2，所以a−b2=a2−2a⋅b+b2=4,
即4−2a⋅b+4=4，解得a⋅b=2.
故答案为:2.
已知直线l:x+y−1=0：与圆C:x−32+y+42=5交于A,B两点，则AB= 23 .
【解题思路】根据题意，利用圆的弦长公式，准确计算，即可求解.
【解答过程】由圆C:x−32+y+42=5，可得圆心坐标为C(3,−4)，半径为r=5，
又由圆心C到直线l:x+y−1=0的距离为d=3−4−112+12=2，
根据圆的弦长公式，可得AB=2r2−d2=25−(2)2=23.
故23.
若直线l:kx−y+4+2k=0与曲线y=4−x2有两个交点，则实数k的取值范围是k∣−1≤k