2024-2025学年福建省福州市高二上册10月月考数学适应性检测试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省福州市高二上册10月月考数学适应性检测试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了直线l1，若动点A,B分别在直线l1，关于空间向量，以下说法正确的是，已知直线l等内容，欢迎下载使用。
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若
AB=a,AD=b,AA1=c，则BM等于（ ）
A．12a−12b+c B．12a+12b+c C．−12a−12b+c D．−12a+12b+c
2．已知直线l的一个方向向量n=−1,2，且过点−1,2，则直线l的方程为（ ）
A．2x+y=0 B．x−2y+5=0 C．x+2y−3=0 D．2x−y+4=0
3．已知a=2,0,−1,b=3,−2,5，则向量b在向量a上的投影向量是（ ）
A．153,−2,5 B．1383,−2,5 C．152,0,−1 D．1382,0,−1
4．直线l1：ax+3y+2a=0与直线l2：2x+a−1y+a+1=0平行，则“l1∥l2”是“a=−2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要
5．已知两点M3,−1,N2,5，直线l过点P1,1且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．−∞,−1 B．4,+∞ C．−1,4 D．−∞,−1∪4,+∞
6．以A2,1，B4,2，C8,5为顶点的三角形的面积等于（ ）
A．1 B．45 C．65 D．2
7．若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y−7=0和l2:x+y−5=0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（ ）
A．32B．2C．2D．4
8．三棱锥A−BCD满足BC−AC=BD−AD=2，二面角C−AB−D的大小为60∘，CD⊥AB，AB=4，CD=3，则三棱锥A−BCD外接球的体积为（ ）
A．7πB．28πC．77π3D．287π3
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若a⋅b>0，则a,b是锐角
C．已知向量a,b,c组是空间的一个基底，则2a,b,c−a也是空间的一个基底
D．若对空间中任意一点O，有OP=112OA+14OB+23OC，则P,A,B,C四点共面
10．已知直线l：3x−y+1=0，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的一个法向量为3,1
B．若直线m：x−3y+1=0，则l⊥m
C．点3,0到直线l的距离是2
D．过23,2与直线l平行的直线方程是3x−y−4=0
11．已知点P是正方体ABCD−A1B1C1D1表面上的一个动点，则以下说法正确的是（ ）
A．当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P−AA1D1D的体积不变
B．当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是π3,π2
C．若点P在底面ABCD上运动，则使直线A1P与平面ABCD所成的角为45∘的点P的轨迹为椭圆
D．若F是A1B1的中点，点P在底面ABCD上运动时，存在至少一点P满足PF//平面B1CD1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若直线l的斜率k∈[1,3)，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ．
13．过点2,−1且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 ．
14．设m∈R，过定点A的动直线x+2+my−7=0和过定点B的动直线mx−y−m+3=0交于点Px,y，则PA+PB的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知直线l:a−1y=2a−3x+1.
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
16．（15分）
已知直线l1:2x−a−1y−2=0，l2:a+2x+2a+1y+3=0a∈R．
(1)若l1⊥l2，求实数a的值；
(2)若l1/ l2，求l1,l2之间的距离．
17．（15分）
如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，∠DAB=90°,AD∥BC，E，F，G分别为A1B1,A1B，CD的中点．
(1)证明：FG//平面CD1E．
(2)若A1A=AD=AB=2,BC=1，求二面角B−CD1−E的余弦值．
18．（17分）
如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA．
(1)证明：OA⊥BC；
(2)当AO=1时，求点E到直线BC的距离；
(3)若二面角E−BC−D的大小为45°，求三棱锥E−BCD的体积．
19．（17分）
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB+AD=5，CD=2，∠PAD=120°，∠ADC=45°.
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)设AB=AP.
①若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为3344，求线段AB的长.
②在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上？若存在，求线段AB的长；若不存在，说明理由.
高二数学答案
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
3.C 4.B 5.C 6.A 7.A 8.D
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
ACD 10.CD 11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．π4,π3 13．x+y−1=0或x+2y=0 14．5,52
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
解：（1）由l:a−1y=2a−3x+1，
即a2x−y−3x+y+1=0，
则2x−y=0−3x+y+1=0，解得x=1y=2，
所以直线过定点1,2；
（2）如图所示，结合图像可知，
当a=1时，直线斜率不存在，方程为x=1，不经过第二象限，成立；
当a≠1时，直线斜率存在，方程为y=2a−3a−1x+1a−1，
又直线不经过第二象限，则2a−3a−1>01a−1≤0，解得a0)，则E(0,13,2t3)，
因为OA⊥平面BCD，
故平面BCD的一个法向量为OA=(0,0,t)，
设平面BCE的法向量为n=x,y,z，
又BC=32,32,0,BE=0,43,2t3,
所以由n⋅BC=0n⋅BE=0，得32x+32y=043y+2t3z=0，
令x=3，则y=−1，z=2t，故n=(3,−1,2t)，
因为二面角E−BC−D的大小为45°，
所以csn,OA=|n⋅OA||n||OA|=2t4+4t2=22，
解得t=1，
所以OA=1，
又S△OCD=12×1×1×32=34，
所以S△BCD=32，
故三棱锥E−BCD的体积VE−BCD=13S△BCD⋅2t3=13×32×23=39．
19.（17分）
（1）在四棱锥P−ABCD中，
平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
AB⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以AB⊥平面PAD，
又AB⊂平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）如图以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立如图所示直角空间坐标系A−xyz，
设AB=t，
则AP=t，
由AB+AD=5，CD=2，∠PAD=120°，∠ADC=45°，
则Bt,0,0，P0,−t2,3t2，
因AD=5−t，则D0,5−t,0，C1,4−t,0，
所以CP=−1,t2−4,3t2，CD=−1,1,0
①设平面PCD的法向量为n=x,y,z，由n⊥CP，n⊥CD，得：
−x+t−82y+3t2z=0−x+y=0，
可取n=1,1,10−t3t
设直线PB与平面PCD所成角为θ，
则有：sinθ=csn,BP，BP=−t,−t2,3t2，
即：3344=−t−t2+10−t21+1+10−t3t2t2+t24+3t24，
化简得：23t2−116t+140=0，
解得t=2或t=7023，
即AB=2或AB=7023.
②如图，假设在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上，
由GC=GD，
得∠GCD=∠GDC=45°，
所以∠CGD=90°，
所以GD=CDcs45°=1，
又AB=t得AD=5−t，AG=AD−GD=4−t，
所以G0,4−t,0，P0,−t2,3t2
由GP=GD得−t2−4−t2+3t22=1，
即t2−42+34t2=1，
亦即t2−4t+15=0（*），
因为Δ=−42−4×15