2024-2025学年福建省福州市部分学校教学联盟高二（上）适应性数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年福建省福州市部分学校教学联盟高二（上）适应性数学试卷（10月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若AB=a，AD=b，AA1=c，则与BM相等的向量是( )
A. 12a+12b+c
B. −12a+12b+c
C. 12a−12b+c
D. −12a−12b+c
2.已知直线l的一个方向向量n=(−1,2)，且过点(−1,2)，则直线l的方程为( )
A. 2x+y=0B. x−2y+5=0C. x+2y−3=0D. 2x−y+4=0
3.已知a=(2,0,−1),b=(3,−2,5)，则向量b在向量a上的投影向量是( )
A. 15(3,−2,5)B. 138(3,−2,5)C. 15(2,0,−1)D. 138(2,0,−1)
4.直线l1：ax+3y+2a=0与直线l2：2x+(a−1)y+(a+1)=0平行，则“l1//l2”是“a=−2”的( )
A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要
5.已知两点M(3,−1)，N(2,5)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A. (−∞,−1]B. [4,+∞)
C. [−1,4]D. (−∞,−1]∪[4,+∞)
6.以A(2,1)，B(4,2)，C(8,5)为顶点的三角形的面积等于( )
A. 1B. 45C. 65D. 2
7.若动点A、B分别在直线l1：x+y−7=0和l2：x+y−5=0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为( )
A. 3 2B. 2 3C. 3 3D. 4 2
8.三棱锥A−BCD满足BC−AC=BD−AD=2，二面角C−AB−D的大小为60°，CD⊥AB，AB=4，CD=3，则三棱锥A−BCD外接球的体积为( )
A. 7πB. 28πC. 7 7π3D. 28 7π3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若a⋅b>0，则是锐角
C. 已知向量{a,b,c}组是空间的一个基底，则{2a,b,c−a}也是空间的一个基底
D. 若对空间中任意一点O，有OP=112OA+14OB+23OC，则P，A，B，C四点共面
10.已知直线l： 3x−y+1=0，则下列结论正确的是( )
A. 直线l的一个法向量为( 3,1)
B. 若直线m：x− 3y+1=0，则l⊥m
C. 点( 3,0)到直线l的距离是2
D. 过(2 3,2)与直线l平行的直线方程是 3x−y−4=0
11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上一个动点，则以下说法正确的是( )
A. 当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P−AA1D1D的体积不变
B. 当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是[π3,π2]
C. 若点P在底面ABCD上运动，则使直线A1P与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹为椭圆
D. 若F是A1B1的中点，点P在底面ABCD上运动时，不存在点P满足PF//平面B1CD1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线l的斜率k∈[1, 3)，则直线l的倾斜角θ的取值范围为______．
13.过点(2,−1)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为______．
14.设m∈R，过定点A的动直线x+2+m(y−7)=0和过定点B的动直线mx−y−m+3=0交于点P(x,y)，则|PA|+|PB|的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l：(a−1)y=(2a−3)x+1．
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知直线l1：2x−(a−1)y−2=0，l2：(a+2)x+(2a+1)y+3=0(a∈R)．
(1)若l1⊥l2，求实数a的值；
(2)若l1//l2，求l1，l2之间的距离．
17.(本小题15分)
如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，∠DAB=90°，AD//BC，E，F，G分别为A1B1，A1B，CD的中点．
(1)证明：FG//平面CD1E.
(2)若A1A=AD=AB=2，BC=1，求二面角B−CD1−E的余弦值．
18.(本小题17分)
如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA．
(1)证明：OA⊥BC；
(2)当AO=1时，求点E到直线BC的距离；
(3)若二面角E−BC−D的大小为45°，求三棱锥E−BCD的体积．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB+AD=5，CD= 2，∠PAD=120°，∠ADC=45°．
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)设AB=AP．
①若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 3344，求线段AB的长．
②在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上？若存在，求线段AB的长；若不存在，说明理由．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.B
5.C
6.A
7.A
8.D
9.ACD
10.CD
11.AB
12.[π4,π3)
13.x+y−1=0或x+2y=0
14.[5,5 2]
15.解：(1)由l：(a−1)y=(2a−3)x+1，即a(2x−y)−3x+y+1=0，
则2x−y=0−3x+y+1=0，解得x=1y=2，
所以直线过定点(1,2)；
(2)

如图所示，结合图像可知，
当a=1时，直线斜率不存在，方程为x=1，不经过第二象限，成立；
当a≠1时，直线斜率存在，方程为y=2a−3a−1x+1a−1，
又直线不经过第二象限，则2a−3a−1>01a−1≤0，解得a0)，则E(0,13,2t3)，
因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为OA=(0,0,t)，
设平面BCE的法向量为n=(x,y,z)，又BC=( 32,32,0),BE=(0,43,2t3)，
所以由n⋅BC=0n⋅BE=0，得 32x+32y=043y+2t3z=0，
令x= 3，则y=−1，z=2t，故n=( 3,−1,2t)，
因为二面角E−BC−D的大小为45°，
所以|cs|=|n⋅OA||n||OA|=2t 4+4t2= 22，
即4t2(4+4t2)=24，即44t2+4=11+t2=12，
得1+t2=2，即t2=1，得t=1，所以OA=1，
又S△OCD=12×1×1× 32= 34，所以S△BCD= 32，
故VE−BCD=13S△BCD⋅EF=13× 32×23= 39．
19.解：(1)在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
AB⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以AB⊥平面PAD，
又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．
(2)如图以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立如图所示直角空间坐标系A−xyz，
设AB=t，则AP=t，由AB+AD=5，CD= 2，∠PAD=120°，∠ADC=45°，
则B(t,0,0)，P(0,−t2, 3t2)，因为AD=5−t，则D(0,5−t,0)，C(1,4−t,0)，
所以CP=(−1,t2−4, 3t2)，CD=(−1,1,0)，
①设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，由n⊥CP，n⊥CD，
得−x+t−82y+ 3t2z=0−x+y=0，
可取n=(1,1,10−t 3t)，
设直线PB与平面PCD所成角为θ，
则sinθ=|csn,BP|，BP=(−t,−t2, 3t2)，
即 3344=|−t−t2+10−t2 1+1+(10−t 3t)2 t2+t24+3t24|，
化简得：23t2−116t+140=0，
解得t=2或t=7023，
即AB=2或AB=7023．
②如图，假设在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上，
由GC=GD，得∖angGCD=∖angGDC=45°，所以∠CGD=90°，
所以GD=CDcs45°=1，
又AB=t得AD=5−t，AG=AD−GD=4−t，所以G(0,4−t,0)，P(0,−t2, 3t2)，
由GP=GD得[−t2−(4−t)]2+( 3t2)2=1，
即(t2−4)2+34t2=1，
亦即t2−4t+15=0(∗)，
因为Δ=(−4)2−4×15