福建省福州市部分学校2024-2025学年高二上学期10月适应性检测数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州市部分学校2024-2025学年高二上学期10月适应性检测数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点.若，，，则( )
A.B.C.D.
2．已知直线l的一个方向向量,且过点,则直线l的方程为( )
A.B.C.D.
3．已知,,则向量在向量上的投影向量是( )
A.B.C.D.
4．直线：与直线：平行，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要
5．已知两点,直线l过点且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值范围是( )
A.B.
C.D.
6．以，，为顶点的三角形的面积等于( )
A.1B.C.D.2
7．若动点,分别在直线和上移动,则AB的中点M到原点距离的最小值为( )
A.3B.2C.D.4
8．三棱锥满足,二面角的大小为,,,,则三棱锥外接球的体积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．关于空间向量,以下说法正确的是( )
A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面
B.若,则,是锐角
C.已知向量组是空间的一个基底,则也是空间的一个基底
D.若对空间中任意一点,有,则P,A,B,C四点共面
10．已知直线,则下列结论正确的是( )
A.直线l的一个法向量为
B.若直线,则
C.点到直线l的距离是2
D.过与直线l平行的直线方程是
11．已知点P是正方体表面上的一个动点,则以下说法正确的是( )
A.当P在平面上运动时,四棱锥的体积不变
B.当P在线段AC上运动时,与所成角的取值范围是
C.若点P在底面ABCD上运动,则使直线与平面ABCD所成的角为的点P的轨迹为椭圆
D.若F是的中点,点P在底面ABCD上运动时,不存在点P满足平面
三、填空题
12．若直线l的斜率,则直线l的倾斜角的取值范围为________.
13．过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为________.
14．设,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点,则的取值范围是________.
四、解答题
15．已知直线.
（1）求证:直线l过定点;
（2）若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
16．已知直线,.
（1）若,求实数a的值;
（2）若,求,之间的距离.
17．如图,在直四棱柱中,底面ABCD是梯形,,,E,F,G分别为,,CD的中点.
（1）证明:平面.
（2）若,,求二面角的余弦值.
18．如图,在三棱锥中,平面平面BCD,,O为BD的中点,是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,.
（1）证明:;
（2）当时,求点E到直线BC的距离;
（3）若二面角的大小为,求三棱锥的体积.
19．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,,,.
（1）求证:平面平面PAD;
（2）设.
①若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为,求线段的长.
②在线段AD上是否存在点G,使得点P,C,D在以G为球心的球上?若存在,求线段AB的长;若不存在,说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：.故选D.
2．答案：A
解析：因为直线l的一个方向向量,所以直线l的斜率为,
又直线经过点,所以直线l的方程为,即.
故选:A.
3．答案：C
解析：因为,,
则向量在向量上的投影为,
所以向量在向量上的投影向量是.
故选:C.
4．答案：B
解析：当时，有，故或，
当时，的方程为，的方程为，此时两条直线重合，不符合；
当时，的方程为，的方程为，符合；
综上，“”是“”的充要条件，
故选：B.
5．答案：C
解析：由图象结合题意可知:,
观察到直线过点P与线段MN有公共点时倾斜角为钝角时逐渐增大,
斜率大于或等于直线PM的斜率;
为锐角时倾斜角逐渐减小,斜率小于或等于直线PN的斜率;
所以直线l的斜率k的取值范围是.
6．答案：A
解析：由题意知：，直线的方程为，即，则C到直线的距离为，
故三角形的面积为.
故选：A.
7．答案：A
解析：由题意,知点M在直线与之间且与两直线距离相等的直线上,
设该直线方程为,则,即,
点M在直线上,
点M到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离,即.
故选：A.
8．答案：D
解析：如图所示,
设,,则,,
由向量的运算及余弦定理可得:
所以,
解得:,故,过C作,连接DE,则,
设,则,解得:,所以点E与点A重合,
故,,即为二面的平面角,
故三棱锥可放置成如图所示,
为底面正的外心,即,
O为的外接球球心,即,为使得,故,
所以三棱锥的外接球半径,
所以外接球的体积.
故选:D.
9．答案：ACD
解析：对A,根据空间向量共面定理知:空间中三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面,故A正确;
对B,若,则,,故B错误.
对C,假设,,共面,则,
因为向量组是空间的一个基底,
所以不存在实数,,使得成立,故,,不共面,
即也是空间的一个基底,故C正确.
对D,因为,且,
所以P,B,A,C四点共面,故D正确.
故选:ACD.
10．答案：CD
解析：对于A,因为直线的斜率,
但,可知不为直线l的一个法向量,故A错误;
对于B,因为直线的斜率,且,
所以直线l与直线m不垂直,故B错误;
对于C,点到直线l的距离,故C正确;
对于D,过与直线l平行的直线方程是,即,故D正确.
故选:CD.
11．答案：AB
解析：不妨设正方体棱长为2.
A选项,当P在平面上运动时,点P到平面的距离为2,
所以四棱锥的体积,故A正确;
B选项,以DA为x轴,以DC为y轴,以为z轴建立空间直角坐标系,如图,
,,,,,,,
设与所成角为,则,
当时,,,
则,,,
,即,
当时,,所以,
又因为,所以,故B正确;
C选项,若点P在底面ABCD上运动,
设,,,
平面ABCD的法向量取,
则直线与平面所成的角为时,
有,
化简为,则点P的轨迹为四分之一圆,故C错误;
D选项,如图,
,,,,,
,,,
因为,,且,,平面,
所以平面,即向量是平面的法向量,
,,,
若平面,则,即,
因为直线与正方形ABCD有公共点,即存在点P满足平面,故D错误;
故选:AB.
12．答案：
解析：根据的部分图象,结合倾斜角定义范围,
可以得出倾斜角的取值范围为.
故答案为:
13．答案：或
解析：设在x轴、y轴上的截距均为a,
若,即直线过原点,设直线为,
代入,可得,
所以直线方程为,即;
若,则直线方程为,
代入,则,解得,
所以此时直线方程为;
综上所述:所求直线方程为或.
故答案为:或.
14．答案：
解析：由题意可知,动直线,经过定点,
动直线即,经过定点,
时,动直线和动直线的斜率之积为,
时,也垂直,
所以两直线始终垂直,又P是两条直线的交点,
,
.
设,则,,
由且,可得,
,
,
,
,
,
故答案为:.
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由,即,
则,解得,
所以直线过定点;
（2）如图所示,结合图像可知,
当时,直线斜率不存在,方程为,不经过第二象限,成立;
当时,直线斜率存在,方程为,
又直线不经过第二象限,则,解得;
综上所述.
16．答案：（1）或;
（2）.
解析：（1）由,则,即,
所以,可得或.
（2）由,则,可得,故或,
当,则,,此时满足平行,且,之间的距离为;
当,则,,此时两线重合,舍;
综上,时,之间的距离为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取的中点H,连接GH,EH,EF.
因为EF是的中位线,所以,且.
同理可得,且.
又,且,所以,且.
则四边形EFGH是平行四边形,从而.
因为平面,平面,所以平面.
（2）在直四棱柱中,因为,所以,AB,AD两两垂直.
以A为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示空间直角坐标系.
因为,所以,,,,
则,,.
设平面的法向量为,
则,令,可得,
设平面的法向量为,
则,令,可得,
所以
易知二面角为锐角,所以其余弦值为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）因为,O为BD的中点,所以,
又平面平面BCD,平面平面,平面ABD,
所以平面BCD,又平面BCD,
所以;
（2）取OD的中点F,因为为正三角形,所以,
过O作与BC交于点M,则,
所以OM,OD,OA两两垂直,
以点O为坐标原点,分别以OM,OD,OA所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示,
,,,
又,,
所以,则,
所以点E到直线BC的距离为;
（3）设,则,
因为平面BCD,故平面BCD的一个法向量为,
设平面BCE的法向量为,又,,
所以由,得,
令,则,,故,
因为二面角的大小为,
所以,
解得,所以,
又,所以,
故三棱锥的体积.
19．答案：（1）证明见解析
（2）①或;
②不存在点G,理由见解析
解析：（1）在四棱锥中,平面平面ABCD,,
平面ABCD,平面平面,
所以平面PAD,
又平面PAB,所以平面平面PAD.
（2）如图以A为原点,以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴建立如图所示直角空间坐标系,
设,则,由,,,,
则,,因,则,,
所以,
①设平面PCD的法向量为,由,,得:
,可取
设直线PB与平面PCD所成角为,
则有:,,
即:,化简得:,
解得或,即或.
②如图,假设在线段AD上是否存在点G,使得点P,C,D在以G为球心的球上,
由,得,所以,
所以,
又得,,所以,
由得,即,
亦即（*）,
因为,所以方程（*）无实数解,
所以线段AD上不存在点G,使得点P,C,D在以G为球心的球上.