2024-2025学年北京市西城区高二上册10月月考数学学情检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市西城区高二上册10月月考数学学情检测试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，，且，则（ ）
A. B. C. 6D. 1
2. 直线倾斜角是（ ）
A. 45°B. 135°C. 120°D. 90°
3. 已知空间向量，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
4. 在空间直角坐标系中，点P(1，2，-3)关于坐标平面xOy的对称点为（ ）
A. (-1，-2，3)B. (-1，-2，-3)C. (-1，2，-3)D. (1，2，3)
5. 若，，且，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
6. 如图，在正方体中，为CD的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，空间四边形OABC中，，点M是OA中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ）
B.
C. D.
9. 已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在正方体中，点E是侧面内的一个动点，若点E满足，则点E的轨迹为（ ）
A. 圆B. 半圆C. 直线D. 线段
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 已知向量，则______．
12. 已知点的中点坐标为______．
13. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
14. 正四棱锥所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的正切值为______．
15. 棱长为1的正方体中，若点为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是______.
①平面平面
②四面体的体积是定值
③可能是钝角三角形
④直线与AB所成的角可能为
三、解答题：本大题共4小题，共40分．
16. 在长方体中，，点在AB上，且．
（1）求直线与平面所成角正弦值；
（2）求点到平面的距离．
17. 如图，已知直三棱柱中，若为AB的中点.

（1）求异面直线与所成角的余弦值
（2）求二面角的余弦值．
18. 如图，在四棱锥中，平面为正三角形，分别为棱PD，PB的中点.
（1）如图，O为棱AD的中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，是否合理？请说明理由；
（2）求证：平面PCD；
（3）求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值．
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为菱形，且，点为棱DP的中点.
（1）在棱BC上是否存在一点，使得∥平面PAN？如果存在，确定点N位置，如果不存在，请并说明理由；
（2）若二面角余弦值为时，求棱DP的长度，并求点A到平面BCM的距离．
2024-2025学年北京市西城区高二上学期10月月考数学学情检测试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．
1. 已知，，且，则（ ）
A. B. C. 6D. 1
【正确答案】A
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】由可得，解得，
故选：A
2. 直线的倾斜角是（ ）
A. 45°B. 135°C. 120°D. 90°
【正确答案】B
【分析】根据斜率即可求解倾斜角.
【详解】由得，
故斜率为则倾斜角为135°，
故选：B
3. 已知空间向量，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【正确答案】D
【分析】根据空间向量的坐标运算求解.
【详解】∵，，则，
∴.
故选：D.
4. 在空间直角坐标系中，点P(1，2，-3)关于坐标平面xOy的对称点为（ ）
A. (-1，-2，3)B. (-1，-2，-3)C. (-1，2，-3)D. (1，2，3)
【正确答案】D
【分析】根据给定条件结合空间直角坐标系中对称的特点直接求解即可.
【详解】在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面xOy对称，则这两点横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数，
所以点P(1，2，-3)关于坐标平面xOy的对称点为(1，2，3).
故选：D
5. 若，，且，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】B
【分析】根据空间向量的共线条件，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，向量，，
因为，可得，即，解得.
故选：B.
6. 如图，在正方体中，为CD的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法线面夹角．
【详解】设正方体的棱长为2，如图所示建立空间直角坐标系，
则，可得，
且平面的法向量，可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：C．
7. 在棱长为1正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可
【详解】建立空间直角坐标系，如图，
则，，，所以，，
所以在上的投影为，
所以点到直线的距离.
故选：C.
此题考查空间中点到线的距离，考查空间向量的应用，属于基础题
8. 如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】将表示为以为基底的向量，由此求得的值.
【详解】依题意
，所以.
故选：C.
本小题主要考查空间中，用基底表示向量，考查空间向量的线性运算，属于基础题.
9. 已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】设点为的中点，取的中点，连接，，然后证明平面即可.
【详解】如图，设点为的中点，取的中点，连接，，

则，又平面，平面，∴平面，
易知，故平面与平面是同一个平面，
∴平面，此时，
故选：B
10. 如图，在正方体中，点E是侧面内的一个动点，若点E满足，则点E的轨迹为（ ）
A. 圆B. 半圆C. 直线D. 线段
【正确答案】B
【分析】设与交点为，取中点，连接，证明，由，则，从而可得，最终得出（a为正方体的棱长），从而得轨迹．
【详解】如图，设与交点为，取中点，连接，
是中点，，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，则，
，则，所以，
设正方体棱条为a，则，显然，所以，
在正方形内点到点的距离为，其轨迹是以为圆心的半圆，
故选：B．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
11. 已知向量，则______．
【正确答案】
【分析】根据题意先求，再根据模长的坐标运算求解.
【详解】因为，则，
所以.
故答案为.
12. 已知点的中点坐标为______．
【正确答案】
【分析】根据空间中中点坐标公式运算求解即可.
【详解】由题意可得：的中点坐标为，即.
故答案为.
13. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
【正确答案】
【详解】 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，
过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
因为的坐标为，所以,
所以.
14. 正四棱锥所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的正切值为______．
【正确答案】
【分析】作辅助线，分析可知二面角的平面角为，即可得结果.
【详解】对于正四棱锥，

设，可知为中点，
取的中点，连接，，
可得平面，平面，则，
且，∥，
因为，可得，
可知二面角的平面角为，
因为正四棱锥的所有棱长均为2，则，，
可得，所以侧面与底面所成二面角的正切值为.
故答案为.
15. 棱长为1的正方体中，若点为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是______.
①平面平面
②四面体的体积是定值
③可能是钝角三角形
④直线与AB所成的角可能为
【正确答案】①②③
【分析】通过线面垂直证明面面垂直判断①；利用等体积法，由底面积和高都为定值，得四面体体积为定值，判断②；利用余弦定理得到可能为钝角，判断③；利用线线角的范围判断④.
【详解】在正方体中，为线段上的动点（不含端点），
对于①：因为平面，即平面，
且平面，所以平面平面，故①正确；
对于②：连接，

因为且，即为平行四边形，则，
即，平面，平面，可得平面，
可知四面体的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，
所以四面体的体积是定值，故②正确；
对于③：因为正方体的棱长为1，所以，
若是上靠近的一个四等分点，则，
所以，
此时，
因为，此时为钝角，是钝角三角形，故③正确；
对于④：过点作，交于，
正方体中平面，则平面，
平面，，直线与所成的角为，
设，则，有，，
中，，
而，故④错误.
故①②③.
三、解答题：本大题共4小题，共40分．
16. 在长方体中，，点在AB上，且．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面距离．
【正确答案】（1）
（2）2
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法线面夹角；
（2）利用向量法求得点到平面的距离.
【小问1详解】
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值.
【小问2详解】
由（1）可得：，
所以到平面的距离为.
17. 如图，已知直三棱柱中，若为AB的中点.

（1）求异面直线与所成角的余弦值
（2）求二面角的余弦值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）建系标点，可得利用空间向量求线线夹角；
（2）分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角.
【小问1详解】
因为平面，且，
如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，
可得，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
【小问2详解】
由（1）可得：，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
且平面的法向量，
可得，
由图形可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
18. 如图，在四棱锥中，平面为正三角形，分别为棱PD，PB的中点.
（1）如图，O为棱AD的中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，是否合理？请说明理由；
（2）求证：平面PCD；
（3）求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值．
【正确答案】（1）合理，理由见详解
（2）证明见详解 （3）
【分析】（1）根据线面垂直分析可知两两垂直，即可判断；
（2）根据题意理由空间向量可得，结合线面垂直的判定定理分析证明；
（3）分别求平面AEF、平面PAD的法向量，理由空间向量求面面夹角.
【小问1详解】
合理，理由如下：
由题意可知：∥，且，
可知为平行四边形，可得∥，
因为平面，可得平面，
且平面，可得，
又因为为正三角形，且O为棱AD的中点，则，
即两两垂直，所以可以以为坐标原点建立空间直角坐标系.
【小问2详解】
由（1）中空间直角坐标系可得：，
则，
可得，即，
且，平面PCD，所以平面PCD.
【小问3详解】
由（2）可知：，，
设平面AEF的法向量为，则，
令，则，可得，
且平面PAD的法向量为，
可得，
所以平面AEF与平面PAD夹角的余弦值.
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为菱形，且，点为棱DP的中点.
（1）在棱BC上是否存在一点，使得∥平面PAN？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请并说明理由；
（2）若二面角的余弦值为时，求棱DP的长度，并求点A到平面BCM的距离．
【正确答案】（1）存在，点为的中点
（2）；点A到平面BCM的距离为2
【分析】（1）取的中点，可得平面∥平面PAN，根据面面平行的性质可得∥，进而可得结果；
（2）建系标点，设，分别求平面BCM、平面PCD的法向量，根据面面夹角求得a，进而可求点到面的距离.
【小问1详解】
取的中点，连接，
因为分别为的中点，则∥，
且平面PAN，平面PAN，可得∥平面PAN，
又因为∥平面PAN，，平面，
可得平面∥平面PAN，
且平面平面，平面平面，可得∥，
由题意可知：∥，则平行四边形，
可得，即点为的中点，
所以棱BC上是存在一点，使得∥平面PAN，此时点为的中点.
【小问2详解】
取的中点，连接，
由题意可知：为等边三角形，则，
且∥，可得，
又因为底面ABCD，
则可以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
可得，
设平面BCM的法向量，则，
令，则，可得，
且平面PCD的法向量，
由题意可得：，解得（舍负），
可得，，
所以点A到平面BCM的距离.