初中数学人教版（2024）八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式同步达标检测题

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知识清单
1．二次根式的有关概念
一般地，我们把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
注意：
（1）必须含有二次根号“，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”．
（2）被开方数必须是非负数，如和都不是二次根式．
（3）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子．
（4）式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有双重非负性．
2.二次根式的性质：
（1）．
（2）．一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数
（3）．一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值
（4）．积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积
（5）．两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根
3.二次根式的乘法：
（1）．
（2）逆用：
（3）推广：①
②
4．二次根式的除法：
（1）
（2）逆用：
（3）推广：①
②，其中．
5．最简二次根式
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
6．二次根式的加减
（1）法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
（2）步骤：
①将各个二次根式化成最简二次根式；
②找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合并被开方数相同的二次根式——将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变．
（3）注意：
①化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分．
②整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用．
③根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数是带分数的要化为假分数的形式．
7．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
（2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用．
（3）二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式．
题型专练
类型一、二次根式的定义
1．（2024春•江阳区校级期中）下列各式一定是二次根式的是（ ）
A．xB．6C．−27D．38
2．（2024秋•射洪市校级期中）在式子5，38，−2，(x+3)2，1x2+5中，是二次根式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．（2024春•红塔区校级月考）当a＝2033时，二次根式a−2024的值是 ．
类型二、二次根式有意义的条件
4．（2024秋•于洪区期末）若二次根式2−x有意义，则x的值不可以是（ ）
A．3B．2C．1D．0
5．（2024春•南岸区期中）若代数式xx−3有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x＞0C．x＞0且x≠3D．x≥0且x≠3
6．（2024秋•盐湖区期中）要使二次根式3−x在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
类型三、二次根式是整数，求参数的值
7．（2024春•孝感期末）已知n是正整数，54n是整数，则n的最小值为 ．
8．（2024秋•南安市期中）已知n是正整数，13+n是整数，则n的最小值为 ．
9．（2024•海城市校级开学）当x＝ 时，二次根式2x+1取最小值，其最小值为 ．
类型四、二次根式的性质
10．（2024秋•普宁市期末）下列各式中，正确的是（ ）
A．4=±2B．3−64=−4
C．±16=4D．(−3)2=−3
11．（2024秋•新华区校级期中）若(a−6)2=6−a，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜6B．a≤6C．a＞6D．a≥6
12．（2024秋•吴兴区期中）若(2−m)2+|n+3|=0，则5m﹣n2的值为
类型五、利用二次根式的性质进行化简
13．（2024秋•陵川县期中）已知3＜x＜5，化简(x−5)2+|x−3|的正确结果为（ ）
A．2B．﹣2C．2x﹣8D．8﹣2x
14．（2024秋•衡阳期中）若a＞1，化简(a−1)2+1＝ ．
15．（2024秋•丰城市校级期中）已知﹣3＜x＜2，化简|x﹣2|−(x−3)2+4x2−20x+25．
类型六、二次根式与数轴问题
16．（2024秋•中原区校级期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则a2+(b)2−|b−a|化简的结果是（ ）
A．﹣2bB．﹣2aC．2b﹣2aD．0
17．（2024秋•泗洪县校级期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，试化简：a2+b2+(a−b)2+(b−1)2−(a−1)2．
18．（2024秋•雁塔区校级期中）a2=|a|是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答下列问题．
（1）化简：(−4)2= ，(3−π)2= ．
（2）已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简a2−|1−a|+(1−b)2．
类型七、最简二次根式
19．（2024秋•威远县校级期中）下列二次根式中，最简二次根式为（ ）
A．13B．6C．9D．0.2
20．（2024秋•七星关区校级期中）若18与最简二次根式m−1能合并同类项，则m的值为 ．
21．（2024秋•南海区期中）下列各式12，0.2，2，20中是最简二次根式的有 个．
类型八、二次根式的乘除法则
22．（2024秋•长宁区校级月考）下列各式从左到右一定正确的是（ ）
A．a2+b2=a+bB．(−a)⋅(−b)=a⋅b
C．−a3=−a−aD．4a2=2a
23．（2024秋•秦安县校级月考）若xx−4=xx−4在实数范围内成立，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≥4C．0≤x＜4D．x＞4
24．（2024秋•海口期末）若(x−2)(3−x)=x−2•(3−x)成立，则x的取值范围是 ．
类型九、二次根式的乘除运算
25．计算、化简
（1）2000
（2）68×（﹣26）
（3）8ab×6ab3
（4）72÷2
（5）x4+x2y2
（6）8y25x2(x＜0)
（7）113÷213÷125
（8）ba÷ab×a3b2．
26．计算
（1）627×(−23)；
（2）6×15×10；
（3）123÷213×125；
（4）3a2b⋅(ba÷21b)．
27．计算：
（1）214×37
（2）123÷56
（3）912÷5412×36
（4）ab3⋅(−32a3b)÷(13ba)．
类型十、二次根式的加减
28．（2023春•永寿县期末）计算412−613+12的结果是（ ）
A．32−23B．5−2C．5−3D．22
29．（2024春•沙市区期中）计算：
（1）212−613+348；
（2）（12+20）+（3−5）．
30．（2023春•合江县期末）计算：18+92−(π−2)0−|1−2|+(12)−1．
类型十一、二次根式的混合运算
31．（2024秋•沈河区期末）（1）(3+1)(2−3)；
（2）(92−983)÷2+13．
32．（2024秋•怀化期末）计算：
（1）(π−3)0−24÷6+(−1)−2025；
（2）|−22|+(−12)−2−16×12．
33．（2024秋•姑苏区校级月考）计算：
（1）48÷3−12×14+28；
（2）75−613+|2−3|．
类型十二、乘法公式在二次根式的混合运算的应用
34．（2024秋•晋源区期末）计算(6−2)2+43的结果为 ．
35．（2024秋•徐汇区校级期中）计算：(3+2)2023×(3−2)2024= ．
36．（2024秋•兴宁市校级期中）计算：
（1）18−(2+1)2+(3+1)(3−1)；
（2）(312−6+48)÷23+23−1．
类型十三、二次根式的化简求值
37．（2024秋•内乡县期中）若a=2−5，则代数式2a2﹣8a﹣1的值等于 ．
38．（2024秋•威远县校级期中）已知a=22−3，b=22+3，求：
（1）a2b+ab2；
（2）a2+b2﹣ab．
39．（2024秋•射洪市校级期中）已知a=13+2，b=13−2．
（1）求a+b的值；
（2）求a2﹣3ab+b2的值．
类型十四、二次根式的应用
40．（2024秋•从江县校级期中）2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为243m、宽为128m．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：6≈2.45）
41．（2024秋•中原区校级期中）高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式t=ℎ5（不考虑空气阻力的影响）．
（1）小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为3m，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 s（结果保留根号）；
（2）某物体从高空落到地面的时间为4s，则该物体的起始高度h＝ m；
（3）资料显示：伤害无防护人体只需要65J的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式E＝mgh计算，其中，m为物体质量（单位kg），g≈10N/kg，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为150g的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由．
类型十五、复合型二次根式的化简
42．（2024秋•从江县校级期中）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2=(2)2，3=(3)2，7=(7)2，0=02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3−22的算术平方根．
解：3−22=2−22+1=(2)2−22+12=(2−1)2，
所以3−22的算术平方根是2−1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）3+22；
（2）10+8(3+22)．
43．（2024秋•薛城区期中）下面我们观察：(2−1)2=(2)3−2×1×2+12=2−22+1=3−22，反之，3−22=2−22+1=(2−1)2，
∵3−22=(2−1)2
∴3−22=2−1．
仿上例，求：
（1）化简：4−23；
（2）计算：3−22+5−26+7−212+⋯⋯+19−290．
类型十六、分母有理化及其化简
44．（2024秋•毕节市月考）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如35，23，23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
35=3×55×5=355（一）
23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=3−1（二）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．23+1还可以用以下方法化简：
23+1=3−13+1=(3)2−123+1=(3+1)(3−1)3+1=3−1（三）
请用不同的方法化简25+3．
（1）参照（二）式得25+3= ；
（2）参照（三）式得25+3= ；
（3）化简：13+1+15+3+17+5+⋯+12n+1+2n−1．
45．（2024秋•槐荫区期中）阅读下列材料，然后回答问题：
已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值，小名是这样分析与解答的：
∵a=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3，
∴a−2=−3，
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：12+1= ；
（2）化简：12+1+13+2+14+3+⋅⋅⋅+1100+99；
（3）若a=15−2，求3a2﹣12a﹣1的值．
类型十七、有关二次根式的大小比较
46．（2024秋•章丘区期中）阅读与思考：请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务．
任务：
（1）填空：(5+6)2= ；
（2）①判断△ABC的形状，并说明理由；
②直接判断5+6与11的大小；
（3）延伸拓展：直接判断23+6与32的大小．
47．（2023春•郸城县校级期中）老师在延时课时总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a＞b，那么a＞b”，然后讲解了一道例题：比较23和32的大小．
解：(23)2=4×3=12，(32)2=9×2=18．
∵12＜18，
∴23＜32．
参考上面例题的解法，解答下列问题：
（1）填空：−35 −53（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）比较6+2与5+3的大小；
（3）若M=2−6，N=3−5，试比较M，N的大小．
类型十八、二次根式的新定义问题
48．（2024秋•海州区校级期中）用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有a☆b=b2+1a−b，例如：7☆4=42+17−4=173，那么3☆（﹣7）＝ ．
49．（2024秋•建宁县期中）如果一个三角形三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)⋯，①古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]⋯，②这两个公式实质上是同一个公式，所以也称①为海伦—秦九韶公式．
（1）设a，b，c为△ABC的三边，当a＝4，b＝5，c＝6时，求S△ABC的面积．
（2）请你对公式②进行变形，推导出公式①．
50．（2024秋•雨城区校级期末）定义：我们将（a+b）与（a−b）称为一对“对偶式”．因为（a+b）（a−b）＝（a）2﹣（b）2＝a﹣b，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知18−x−11−x=1，求18−x+11−x的值，可以这样解答：
因为（18−x−11−x）×（18−x+11−x）＝（18−x）2﹣（11−x）2＝18﹣x﹣11+x＝7，
所以18−x+11−x=7．
（1）已知：20−x+4−x=8，求20−x−4−x的值；
（2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：20−x+4−x=8；
（3）计算：131+3+153+35+175+57+⋯+120232021+20212023．
类型十九、有关二次根式规律探究问题
51．（2024秋•蒲县月考）先阅读材料，再回答问题：
13=12=1；
13+23=32=3；
13+23+33=62=6；
13+23+33+43=102=10；
…
（1）请根据以上规律写出第七个等式；
（2）根据以上规律，若一个等式的最右边的值是55，请写出这个等式；
（3）根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且n≥1）
52．（2024秋•渠县校级期中）细心观察图形，认真分析各式，解答问题：
OA22=(1)2+1=2，S1=12（S1是Rt△A1A2O的面积），OA32=(2)2+1=3，S2=22（S2是Rt△A2A3O的面积），OA42=(3)2+1=4，S3=32（S3是Rt△A3A4O的面积），
…
（1）用含n（n为正整数）的式子表示Sn，则Sn＝ ；
（2）推算出OA2023＝ ；
（3）若2S=1s1+s2+1s2+s3+1s3+s4+⋯+1s2022+s2023，求S的值．
53．（2024秋•郸城县月考）观察下列各式及其验证过程：
223=2+23，
验证：223=233=(23−2)+222−1=2(22−1)+222−1=2+23=223．
338=3+38，
验证：338=338=3(32−1)+332−1=3+38=338．
（1）按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想4415的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数且n≥2）表示的等式并给出说明．
比较5+6与11的大小
“善思小组”的思路：将5+6，11两个式子分别平方后，再进行比较．
“智慧小组”的思路：以5，6，11为三边构造一个△ABC，再利用三角形的三边关系进行比较．