艺考生专题讲义31 空间几何体垂直关系-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题

这是一份艺考生专题讲义31 空间几何体垂直关系-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题，共9页。试卷主要包含了线面垂直，面面垂直，线线垂直等内容，欢迎下载使用。
一．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义：
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
二．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
三．证明线线垂直的思路
精讲精练
题型一 线面垂直
【例1】3．(2024·江西吉安市·高三期末节选)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，为正三角形，为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】∵为正三角形，为的中点，∴.
∵，，为的中点.∴四边形为平行四边形，∴.
又，∴，即.又，∴平面.
【举一反三】
1．(2024·河南信阳市节选)如图所示，四棱锥中，，，，平面，求证:平面
【答案】证明见解析
【解析】证明:，，
又，，故，
又平面平面，，
又，平面.
2．(2024·江西赣州市节选)如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图取中点，连接．
因为四边形为菱形，所以
又因为三棱柱的所有棱长均为2，，
所以和是等边三角形，所以
因为平面，
所以平面
所以，而，
所以平面
3．(2024·山东德州市节选)如图，四棱锥中，四边形是边长为的正方形，为等边三角形，分别为和的中点，且，证明:平面
【答案】证明见解析
【解析】如图所示，连接，由是边长为的正方形，
因为是的中点，可得的中点，
在中，因为分别是的中点，可得，
又因为，所以，
又由，且，所以平面.
题型二 面面垂直
【例2】(2024·河南高三期末节选)如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，，，是的中点，求证：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】由题意可得，
所以，因此.
在直四棱柱中，
平面，平面，所以
又因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
【举一反三】
1．(2024·河南焦作市节选)如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面点为线段的中点，求证:平面平面
【答案】证明见解析
【解析】因为四边形是菱形，所以
因为平面平面所以
又因为所以平面
因为平面所以平面平面.
2．(2024·山东青岛市·高三期末节选)如图，在直角梯形中，，，，，.将矩形沿翻折，使得平面平面，若，证明：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接，因所以
因为平面平面，平面平面，所以平面
因为平面，所以
因为，所以平面
因为平面，所以平面平面
3．(2024·安徽马鞍山市节选)如图，BE，CD为圆柱的母线，是底面圆的内接正三角形，M为BC的中点，证明：平面AEM⊥平面BCDE
【答案】证明见详解
【解析】根据题意可得，.
又为圆柱的母线，平面.
，，
平面.
又平面，
平面平面．
题型三 线线垂直
【例3】(2024·江西宜春市·高安中学节选)如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，已知，E为的中点，求证
【答案】证明见解析
【解析】交点为，连接，
是边长为2的菱形，是的中点，
，
又平面，平面，，平面，
平面，
【举一反三】
1．(2024·江苏南通市·高三期末节选)如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，求证：
【答案】证明见解析
【解析】取AC中点M，连接FM，DM，
分别为AB，AC中点，，
，
四边形DEFM是平行四边形，，
，
平面ACD，，
平面CDM，平面CDM，；
2．(2024·山东德州市节选)如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面分别为的中点.
(1)求证:;
(2)求证:平面.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
证明：(1)连，
，底面为菱形，
是等边三角形，
，
，
又，
，
又面面，
，
，
面面，
.
取的中点，连，
，
所以，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
又面面，
面.
3．(2024·山东枣庄市节选)如图，四棱锥的侧面是正三角形，底面是直角梯形，，，为的中点，求证：
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】证明：取中点，连，，
因为是正三角形，所以.又是中点，所以.
因为，即.所以，因为，､平而，
所以平面，平面，所以
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文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b)) ⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊂β,l⊥α))⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α