艺考生专题讲义32 空间几何体的表面积与体积-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题

这是一份艺考生专题讲义32 空间几何体的表面积与体积-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题，共14页。试卷主要包含了空间几何的体积，空间几何的表面积等内容，欢迎下载使用。
一．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
二．空间几何体的表面积与体积公式
精讲精练
题型一 空间几何的体积
【例1】(2024·陕西咸阳市·高三一模)如图，在三棱锥中，平面平面是的中点．
(1)求证：平面；
(2)设点N是的中点，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)∵平面平面，
平面，平面，
是的中点，
，
平面
(2)由(1)知平面，
是的中点，到平面的距离是，
平面，
，
．
【方法总结】
求空间几何体的体积的常用方法
公式法
对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解
割补法
把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积
等体积法
等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决三棱锥的体积
【举一反三】
1．(2024·江西吉安市·高三其他模拟)在四棱锥中，平面，底面四边形是边长为1的正方形，侧棱与底面成的角是，，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】证明：(1)取的中点，连结、，
∵是的中点，∴，且，
∵底面四边形是边长是１的正方形，又是的中点，
∴，且∴，
∴，且，∴四边形是平行四边形，
∴，又磁面，平面，∴平面.
(2)∵平面，∴是侧棱与底面成的角，
∴，∴是等腰直角三角形，则，
∴.
2．(2024·内蒙古赤峰市·高三月考)如图，四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，面面，且，点在棱上.
(1)证明：当时，直线平面；
(2)当平面时，求的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)证明：连结与交于点，连结
，，，
，，
又面，面，平面.
(2)解：平面，平面，，
是的中点，面面，
点到面的距离为
到面的距离为
．
3．(2024·安徽芜湖市·高三期末)如图，三棱柱的各棱的长均为2，在底面上的射影为的重心．
(1)若为的中点，求证：平面；
(2)求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)连接交于点，连接，则为的中点，
又∵为的中点，∴为的中位线，
∴，
又平面，平面，
∴平面；
(2)在中，为重心，则，
在中，，
则．
题型二 空间几何的表面积
【例2-1】(2024·全国高三专题练习)一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 .
【答案】
【解析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．
∵一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，
∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则
棱锥的斜高为该六棱锥的侧面积为
【例2-2】(2024·全国高三专题练习)某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为( )
A．20B．C．16D．
【答案】A
【解析】由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.故选：A
【方法总结】
求解几何体表面积的类型及求法
求多面体的表面积
只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积
求不规则几何体的表面积时
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
【举一反三】
1．(2024·湖南高三月考)如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，.
(1)证明：直线平面；
(2)若四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)在平面内，因为，所以，
又平面，平面，故平面.
(2)取的中点，连结，.依题四边形为正方形，
因为为等边三角形，所以.
又侧面底面，平面平面，所以底面.
因为底面.
所以，
同理侧面，所以.
设，则，，，.
四棱锥的体积，解得.
取的中点，连结，则，所以.
所以，
，.
所以四棱锥的侧面积为.
2．(2024·全国高三专题练习)如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，BD1⊥B1D，四边形ABCD是边长为4的菱形，D1D＝6，E，F分别是线段AB的两个三等分点．
(1)求证：D1F//平面A1DE；
(2)求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)连接交于，连接，如图，
分别为，的中点，
,
又平面A1DE，平面A1DE，
D1F//平面A1DE
(2)在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，
所以四棱柱为直四棱柱，
因为在矩形中，BD1⊥B1D，
所以四边形是正方形，
所以,
所以,
又，
所以，
即四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为.
3．(2024·上海闵行区·高三一模)如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于､的点.
(1)求证：平面；
(2)若，，，求圆柱的侧面积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)如图所示：
由已知可知平面，平面，
点是上异于､的点，是的直径，
所以，
又，
∴平面.
(2)在中，，，，
，
圆柱的侧面积为：S侧 .
题型三 点面距
【例3】(2024·河南信阳市·高三月考)如图，在长方体中，为中点．
(1)求证：平面；
(2)若，，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】(1)连接交于点，则为中点，连接，
又为中点，故为的中位线，故，
又平面，平面，
所以平面．
(2)由(1)知，平面，
则到平面的距离与到平面的距离相等，连接．
故，
又中，，，．
由余弦定理知：，则，
故，
.
故到平面的距离
即点到平面的距离为．
【举一反三】
1．(2024·安徽蚌埠市·高三二模)如图，已知四边形和均为直角梯形，∥，∥，且，，．
(1)求证：∥平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)证明：在平面中，过作于，交于，连接，
由题意知，且，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面．
(2)，，平面，
∴平面，∵平面
∴平面平面，
在平面内过点作交于，
则平面，
∵，
∴，，
设点到平面的距离为，
则由得，
由题意知，，
，
代入，
解得，即点到平面的距离为．
2．(2024·河南高三期末)如图，直四棱柱的底面为平行四边形，是的中点．
(Ⅰ)求证：平面平面；
(Ⅱ)求点到平面的距离．
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)．
【解析】(Ⅰ)由题意可得，
所以，因此，
在直四棱柱中，平面，所以，
又因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
(Ⅱ)如图，在平面内作，垂足为．
由(Ⅰ)知平面，因为平面平面，
所以平面，所以，
又因为，所以平面．
所以线段的长就是点到平面的距离．
因为，所以．
在平面内，可知，
所以，得，
所以点到平面的距离为．
3．(2024·河南驻马店市·高三期末)如图，该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的边长为，是线段上(不含端点)的动点，．
(1)证明：平面；
(2)求到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】(1)证明：取的中点，连接，．
因为该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，
所以截面是平行四边形，
则．
因为，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
(2)解：连接，，，记到平面的距离为，
则到平面的距离为．
在中，，高为，所以的面积为．
因为三棱锥的高为，所以的体积为．
在中，，，
所以的面积为．
因为的体积与的体积相等，
所以，所以．
故到平面的距离为．
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圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r＋r′)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3