艺考生专题讲义30 空间几何体平行关系-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题

这是一份艺考生专题讲义30 空间几何体平行关系-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题，共17页。试卷主要包含了三角形的中位线证线面平行，构造平行四边形证线面平行，三角形相似比证线面平行，证明线线平行--线面垂直的性质等内容，欢迎下载使用。
一．直线与平面平行的判定定理和性质定理
二．平面与平面平行的判定定理和性质定理
线线平行
相似比(常用三角形的中位线)
构造平行四边形(证明一组对边平行且相等)
平行的传递性
线面垂直的性质：垂直同一个平面的两条直线平行
线面平行的性质
面面平行的性质
平面向量
空间向量
线面平行
证明线面平行有两种常用方法：
一是线面平行的判定定理；
二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行．
精讲精练
题型一 三角形的中位线证线面平行
【例1】(2024·全国高三专题练习节选)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面.
【答案】证明见解析.
【节选】证明：连接，易知，.
又由，故.
又因为平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD.
【方法总结】
三角形中位线证明线面平行思路
通过把面外的直线平移到平面内找到与之平行的直线
构造三角形中位线
【举一反三】
1．(2024·广东湛江节选)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：A1B1平面DEC1.
【答案】证明见解析.
【节选】因为D，E分别为BC，AC的中点，所以是三角形的中位线，所以.
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，，所以.
又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.
2．(2024·全国高三专题练习)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是AC，B1C的中点．求证：平面.
【答案】证明见解析.
【节选】因为分别是的中点，所以是三角形的中位线，所以.
又平面，平面，所以平面.
3．(2024·南宁市邕宁高级中学节选)如图，正四棱锥中，E为PA的中点，求证：平面EBD.
【答案】证明见解析；
【解析】连接AC交BD于点O，连接EO.
四边形ABCD为正方形，所以O为AC中点，又E为PA中点，
，又面，面EBD，
面.
题型二 构造平行四边形证线面平行
【例2】(2024·全国高三专题练习节选)如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE；
【答案】证明见解析
【解析】证明：连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=B1C．
又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D．由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
【方法总结】
构造平行四边形证线面平行
（1）通过把面外的直线平移到平面内找到与之平行的直线
（2）构造平行四边形，通过一组对边平行且相等证明平行四边形
（3）利用平行四边形的性质证明线线平行
【举一反三】
1．(2024·广东梅州节选)如图，四棱锥P−ABCD中，E是PD的中点．证明：直线平面PAB.
【答案】证明见解析
【解析】取的中点，连接，．
因为是的中点，所以，，
由得，
又，所以，即四边形是平行四边形，所以．
又平面，平面，故平面．
2．(2024·全国高三专题练习节选)如图所示，已知正方形.、分别是、的中点，将沿折起.证明平面.
【答案】证明见解析.
【解析】、分别为正方形的边、的中点，
∴，且，∴四边形为平行四边形，
∴，∵平面，而平面，∴平面.
3．(2024·河南洛阳市节选)在棱长为2的正方体中，是底面的中心，求证:平面
【答案】证明见解析.
【解析】证明：连接，设，连接.
且，是平行四边形..
又平面，平面，平面.
题型三 三角形相似比证线面平行
【例3】(2024·内蒙古赤峰市·高三月考节选)如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点在棱上.证明：当时，直线平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：连结与交于点，连结
，，，
，，
又面，面，平面.
【举一反三】
1．(2024·浙江杭州市·高三期末节选)在三棱锥中，为等腰直角三角形，点，分别是线段，的中点，点在线段上，且.若，，.
(Ⅰ)求证：平面；
【答案】证明见解析
【解析】连接交于，连接.则点为的重心，有.
因为，所以，且平面，平面，
所以平面.
2．(2024·江西吉安市节选)如图，在三棱锥中，已知是正三角形，为的重心，，分别为，的中点，在上，且，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：连接，
∵为的中点，为的重心，∴点一定在上，且，
∵为的中点，∴，
又，∴，即，∴，
则，∵平面，平面，∴平面；
题型四 面面平行的性质证线面平行
【例4】(2024·江西宜春市节选)如图所示，在多面体中，，，，四边形为矩形，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】取的中点为，连接，因为且，
四边形为平行四边形，所以且，
又因为四边形为矩形，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
且平面，平面，
所以平面，同理可证平面，又
所以平面平面，因为平面
所以平面.
【方法总结】
面面平行的性质证明线面平行
1：把线放在某个平面或构造一个平面与之平行
2.利用面面平行的性质证明线面平行
【举一反三】
1．(2024·全国高三月考节选)斜三棱柱中，设中点为，且，分别为，的中点，证明：平面
【答案】证明见解析
【解析】取中点，连接，，易知，，三点共线，
由，且平面，平面，故平面，
同理可得平面，
因为，故平面平面，
由平面，故平面．
2 .(2024·宁夏吴忠市节选)如图，在三棱锥中，点D、E、F分别为棱PA、PC、BC的中点，G为AD的中点，求证：平面BDE
【答案】证明见解析
【解析】法一：连接PF交BE于点H，连接DH，见图1:
∵E，F分别是PC，BC的中点，∴H是三角形的重心，
∴．
由已知得，∴，
又平面BDE，平面BDE，
∴平面BDE．
法二：取EC中点M，连接FM，GM，见图2:
由已知得
∴平面BDE，平面BDE，
∴平面BDE．
∵M，F分别是EC，BC的中点，
∴，又平面BDE，平面BDE，
∴平面BDE
∴，
∴平面平面BDE，又平面GFM，
∴平面BDE．
法三：在平面ABC内，以垂直于AB的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，AP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，见图3，
设正三角形边长为()
则，，，
∴，
设平面BDE的法向量为，则
，，
∴，可取．
又，，
∴，∴，
即，又平面BDE，
∴平面BDE．
题型五 证明线线平行--线面垂直的性质
【例5】(2024·江西赣州市节选)在如图所示的几何体中，，，均为等边三角形，且平面平面，平面平面，证明：；
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图示：分别取，的中点，，连结，，
因为，△均为全等的等边三角形，故，且
又因为平面平面且交于，平面平面且交于，
故面，面从而有，又，
进而得四边形为平行四边形，得：，又即：
【举一反三】
1．如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，，证明：直线平面；
【答案】见解析
【解析】证明：取中点，连接，
是正三角形，
∵平面平面，平面，
平面，∴，
又面，面，面.
2如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD，．求证：平面ABCD
证明：如图，过点作于，连接，∴．如图D
∵平面⊥平面，平面，
平面平面 ，
∴⊥平面，
又∵⊥平面，，
∴，.
∴四边形为平行四边形．
∴.
∵平面，平面，
∴平面．
题型六 面面平行
【例6】(2024·江西省奉新县第一中学节选)如图，在多面体中，面为正方形，面和面为全等的矩形，求证：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵四边形为正方形，四边形为矩形，∴，且.
∴四边形为平行四边形，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
同理平面.
又∵，为平面内的两条相交直线，∴平面平面.
【举一反三 】
1．(2024·武汉市第一中学节选)如图所示，多面体中，四边形为菱形，，求证：平面平面
【答案】证明见解析
【解析】∵四边形是菱形，∴．
又∵平面，平面，∴平面．
同理得，平面．
∵，平面，且，
∴平面平面；
2．(2024·山西吕梁市节选)正方体，为中点，为的中点，求证：∥平面
【答案】见解析
【解析】如图，连接，取的中点为，连接，
因为，故，
而平面，平面，故平面，
因为，故，
由正方体可得，故，
而平面，平面，故平面，
因为，而平面，
故平面平面，而平面，故平面.
3．(2024·安徽高三期末节选)如图，在四棱柱中，底面是菱形，点E，F分别为，的中点，点G在上，证明：平面ACE
【答案】证明见解析
【解析】如图所示：连接BD交AC于点O，则O为BD的中点，连接BF，OE，，则．
∵平面ACE，平面ACE，∴平面ACE．
∵，，∴四边形为平行四边形，∴．
又∵平面ACE，平面ACE，∴平面ACE．
∵，∴平面平面ACE，
∵平面，∴平面ACE．
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文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)
∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α
性质
定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b
如果两个平面互相平行，其中一个平面内的一直线平行与另外平面