艺考生专题讲义49 情境应用题-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习试题

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1．（2020•北京）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在，这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论：
①在，这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在，，，，，这三段时间中，在，的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【分析】由两个企业污水排放量与时间的关系图象结合平均变化率与瞬时变化率逐一分析四个命题得答案．
【解答】解：设甲企业的污水排放量与时间的关系为，乙企业的污水排放量与时间的关系为．
对于①，在，这段时间内，甲企业的污水治理能力为，
乙企业的污水治理能力为．
由图可知，，，
即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；
对于②，由图可知，在时刻的切线的斜率小于在时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，
在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②正确；
对于③，在时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，
在时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；
对于④，由图可知，甲企业在，，，，，这三段时间中，在，的污水治理能力最强，
故④错误．
正确结论的序号是①②③．
故答案为：①②③．
二．根据实际问题选择函数类型（共2小题）
2．（2021•北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：．24 降雨量的等级划分如下：
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为，高为的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的的雨水高度是 如图所示），则这降雨量的等级是
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
【分析】利用圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，求出圆锥内积水部分的半径，求出圆锥的体积，求出平面上积水的厚度，由题意即可得到答案．
【解答】解：圆锥的体积为，
因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，
所以圆锥内积水部分的半径为，
将，代入公式可得，
图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，
平底上积水的体积为，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，
所以，
则平地上积水的厚度，
因为，
由题意可知，这一天的雨水属于中雨．
故选：．
3．（2020•山东）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为
A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天
【分析】根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可．
【解答】解：把，代入，可得，，
当时，，则，
两边取对数得，解得．
故选：．
三．等差数列的前n项和（共1小题）
4．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
【分析】方法一：由题意可得从内到外每环之间构成等差数列，且公差，，根据等差数列的性质即可求出，再根据前项和公式即可求出；
方法二：设第环天心石块数为，第一层共有环，根据等差数列分段和为等差数列，即可求出．
【解答】解：方法一：设每一层有环，由题意可知，从内到外每环上扇面形石板数之间构成等差数列，上层中心的首项为，且公差，
由等差数列的性质可得，，成等差数列，
且，
则，
则，
则三层共有扇面形石板块，
方法二：设第环天心石块数为，第一层共有环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，，，
下层比中层多729块，
，
，
，解得，
，
故选：．
四．数列的应用（共1小题）
5．（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，．已知，，成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【分析】由题意，结合等差数列的性质求解即可．
【解答】解：设，则，，，
由题意得：，，
且，
解得，
故选：．
五．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）
6．（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为
A．B．C．D．
【分析】先统一单位，再根据题意结合棱台的体积公式求解即可．
【解答】解：，，
根据题意，增加的水量约为
．故选：．
六．球的体积和表面积（共1小题）
7．（2021•新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，其上点的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，该卫星信号覆盖地球表面的表面积（单位：，则占地球表面积的百分比约为
A．B．C．D．
【分析】由题意，地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，求解，根据卫星信号覆盖的地球表面面积可得占地球表面积的百分比．
【解答】解：由题意，作出地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，
则，那么；
卫星信号覆盖的地球表面面积，
那么，占地球表面积的百分比为．
故选：．
七．进行简单的合情推理（共1小题）
8．（2022•北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系，其中表示温度，单位是；表示压强，单位是．下列结论中正确的是
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【分析】计算每个选项的的值，结合与图可判断结论．
【解答】解：对于，当，时，，由图可知二氧化碳处于固态，故错误；
对于：当，时，，由图可知二氧化碳处于液态，故错误；
对于：当，时，，由图可知二氧化碳处于固态，故错误；
对于：当，时，，由图可知二氧化碳处于超临界状态，故正确；
故选：．
八．与圆有关的比例线段（共1小题）
9．（2020•山东）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，，，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】设大圆的半径为，利用已知条件求出、的长，利用求出大圆的半径，再根据图中线段关系得出为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．
【解答】解：
作垂直于，交、于、，垂足为，过点作垂直于，垂足为，
到直线和的距离均为，，
又，，
，，
，，，
由于是圆弧的切线，
，，
设大圆的半径为，则，
，，
，，解得，
图中阴影部分面积分为扇形和直角的面积减去小半圆的面积，
所以．
故答案为：．
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等级
降雨量（精确到
小雨
中雨
大雨
暴雨