广东省肇庆市2025届高三第二次模拟数学试题（解析版）

这是一份广东省肇庆市2025届高三第二次模拟数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了 已知集合，则， 已知，则， 已知向量，则， 已知是锐角，，则等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
，则.
故选：D.
2. 已知，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】因为，所以，则.
故选：C.
3. 已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因，，
故，又，
故得.
故选：A.
4. 小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】记小王受到爸爸表扬为事件，小王受到妈妈表扬为事件，小王受到表扬为事件，小王同学受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立，
则.
故选：C.
5. 已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（ ）
A. 数列为等差数列B.
C. 数列存在最大值D. 数列存在最大值
【答案】D
【解析】由可知，当时，，
因为，所以，
故数列是从第二项开始的等差数列，故A错误；
将的通项公式可得，故B错误；
由知，数列为递增数列，不存在最大值，故C错误；
由知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确.
故选：D.
6. 已知是锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得，
由得，
化简得，得
故选：B.
7. 已知直线是双曲线的一条渐近线，是坐标原点，是的焦点，过点作垂直于直线交于点的面积是，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，解得，则双曲线方程为.
故选：B.
8. 已知正三棱锥的底面是边长为的正三角形，高为2，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，
若球心在三棱锥内，设为底面的外接圆的圆心.
球的半径为，则.
因为，所以，解得.
.
若球心三棱锥外，则，
同理由解得，此时，不符合题意.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中是奇函数且是周期函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】若，定义域为，
则是奇函数，
是周期函数，故A正确；
若，则，故不是奇函数，故B错误；
若，定义域为，
则，
故不是奇函数，故C错误；
若，定义域为，
则是奇函数，
是周期函数，故D正确.
故选：AD.
10. 如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则平面
B. 若，则点的轨迹长度为
C. 若，则存在，使
D. 若，则存在，使平面
【答案】ABD
【解析】
对于A，若，则，则点在线段上，如上图.
因平面平面,且平面平面,平面平面,
故因平面，平面,故平面，同理可证平面，
因平面，平面,且,故有平面平面，
又因为平面，所以平面，故A正确；
对于B，若，则（为的中点）如上图.
又因为，所以.故点的轨迹长度为，故B正确；
对于C，若，则，所以
，所以点在线段上（如上图）.
假设，则，
即，化简得，
该方程无解，所以不存在，故C错误；
对于D，如上图，设为的中点，
当时，则，即，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则,
.
所以.
假设平面，则
即解得.故D正确.
故选: .
11. 已知函数有两个极值点，则（ ）
A. 或
B.
C. 存在实数，使得
D
【答案】BD
【解析】易知，
令，则.
令，则.设，
由对勾函数的图象可知：
当时，与的图象有两个交点，
因为，故不成立，故A错误；
设，则①，
设为①式的两根，则，即②，
③.
由③式可知，所以，则，
故B正确；
解法1：由②式可知，
令，
则，
则在上单调递减，所以，
故，所以不存在实数使得，故C错误；
解法2：，，，
可得为区间的极小值点，则必有，故C错误；
由③式可知，所以，
要证
，
仅需证明成立.
令，则.
则在上单调递增，所以，
故，故D正确.
故选：BD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，所有项的系数和为__________.
【答案】
【解析】令，可得所有项的系数和为.
故答案为：.
13. 已知函数，则的最小值是__________.
【答案】
【解析】当时，单调递减，所以.
当时，在区间上单调递减，在区间上单调增，所以.
综上所述，的最小值是.
故答案为：.
14. 直线与椭圆交于两点不是椭圆的顶点），设，当直线的斜率是直线斜率的2倍时，__________.
【答案】
【解析】设，由可知.
由知，，解得.
，①
，②
.
又，
，即，化简得，
将①②代入上式可得，解得或，满足.
当时，直线经过椭圆右顶点，不合题意，舍去.综上所述.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________.
（1）求.
（2）设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积.
解：（1）选择条件①：.
由正弦定理得，
所以.
由余弦定理，得.
因为，所以.
选择条件②：因，所以，即.
由正弦定理得，即.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以.因为，所以.
（2）连接，
因为点是内心，所以.
因为，所以，
所以，所以.
由余弦定理得，即，解得，
所以.
16. 如图，在四棱锥中，底面平行四边形，平面，平面平面.
（1）证明：平面.
（2）若为的中点，求到平面的距离.
（1）证明：如图,在平面内作,交于点.
因为平面平面,平面平面平面,
所以平面,则.
因为平面,所以,
因为平面,所以平面.
（2）解：如图，连接交于点,连接.
易知为的中位线,所以.
因为平面平面,所以平面,
所以到平面的距离,即为点到平面的距离.
由（1）知平面,所以.
因为,所以.又因为平面,所以两两垂直.
因为,所以.
法一（建系）：如图,以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.
则,
所以,
.
设平面的法向量为,
则即
取,则,所以平面的一个法向量为.
则点到平面的距离,即到平面的距离为
法二（几何）：因为平面,所以,因为平面,所以,所以是直角三角形.
所以,因为是斜边的中点,所以.
则.
设点到平面的距离为,则,解得，即到平面的距离为.
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右、上、下顶点分别为.设为上并且位于第一象限的两点，满足.
（1）若交轴于，且，求椭圆的离心率.
（2）设为的中点，直线交于点（其中在轴上方）.证明：.
解：（1）因为，所以.
所以，则，
则，解得，
则.
（2）由（1）知，.
设点，因为，所以存在，使，则.
因为是的中点，所以.
又因为三点共线，所以存在，使.
令，则，
则由点在椭圆上得，
整理得，
.
因为点在椭圆上，所以，整理得.
所以.
18. 购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一､其最吸引人的地方是因为盒子上没有标注物品具体信息，买家只有打开才会知道自己买到了什么.某商店推出种款式不同的盲盒，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的.小刘特别喜欢种款式中的一种.
（1）若种款式的盲盒各有一个.
（i）求小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率.
（ii）设小刘抽到特别喜欢的款式所需次数为，求的数学期望.
（2）若每种款式的盲盒数量足够多，每次盲盒被买后老板都会补充被买走的款式.商店为了满足客户的需求，引进了保底机制：在抽取前指定一个款式，若前次未抽出指定款式，则第次必定抽出指定款式.设为小刘抽到某指定款式所需的次数，求的数学期望（参考数据：，结果保留整数）.
解：（1）（i）设小刘第次抽到特别喜欢的款式为事件.
则小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率为.
（也可以用）
（ii）的可能取值为，
则，
所以的分布列为
则.
（2）记的可能取值为.
因为前9次（包含第9次）没有保底，
则，其中，
，
所以的分布列为
则.
记，
则，
两式相减，得，
所以.
19. 把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为.例如：函数列可以记为.记为的导函数.
（1）若.证明：为等差数列.
（2）已知定义在上的函数列满足，且对任意的，都有.
（i）设，证明：的充要条件是.
（ii）取定正数，使数列是首项和公比均为的等比数列，证明：.
（1）证明：由题知，所以，
记，因为，
所以为等差数列，即是首项为，公差为的等差数列.
（2）（i）证明：令，则.
所以在上单调递增，所以当时，，
则当时，.
充分性：当时，由题知显然成立.
必要性：若，则由时，，得，
则，所以.
因为，所以.
所以的充要条件是.
（ii）证明：由题知，且，则，
两边取自然对数得，则需.
考虑函数，
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以.
因为在上单调递减，所以，
所以，
则，即.1
2
19
20
1
2
9
10