2023届广东省广州市天河区高三一模数学试题含答案

广东省广州市天河区2023届高三一模

数学试题

一、单选题

1．设集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知复数，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．已知向量，，若，则实数m的值是（    ）

A． B． C．1 D．4

4．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（    ）

A．0.92 B．0.93 C．0.94 D．0.95

5．已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

6．若数列满足，则的前2022项和为（    ）

A． B． C． D．

7．已知一个圆台的母线长5，且它的内切球的表面积为，则该圆台的体积为（    ）

A． B． C． D．

8．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列命题中，正确的命题有（    ）

A．已知随机变量X服从正态分布且，则

B．设随机变量，则

C．在抛骰子试验中，事件，事件，则

D．在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好

10．已知函数，则下列选项正确的有（    ）

A．函数极小值为1

B．函数在上单调递增

C．当时，函数的最大值为

D．当时，方程恰有3个不等实根

11．已知点，，且点在圆：上，为圆心，则下列结论正确的是（    ）

A．的最大值为

B．以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为：

C．当最大时，的面积为

D．的面积的最大值为

12．如图，长方体中，，，，点M是侧面上的一个动点（含边界），P是棱的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．当PM长度最小时，三棱锥的体积为

B．当PM长度最大时，三棱锥的体积为

C．若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为

D．若M在平面内运动，且，则点M的轨迹为圆弧

三、填空题

13．展开式中的系数为________.

14．若点P是曲线上一动点，则点P到直线的最小距离为________.

15．写出一个周期为，且在区间上单调递减的函数解析式________.

16．设双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线分别与双曲线的左、右支交于点、，若以为直径的圆过点，且，则该双曲线的离心率为______．

四、解答题

17．已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.

(1)求数列的通项公式：

(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.

18．在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足.

(1)求A；

(2)若，，AD是的中线，求AD的长.

19．某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：

假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.

(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求的分布列和数学期望；

(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差DX和DY的大小关系.

20．如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，

(1)证明：平面平面；

(2)在棱上有一点，使得平面与平面的夹角为，求点到平面的距离.

21．已知椭圆 ，直线l：与椭圆交于两点，且点位于第一象限.

(1)若点是椭圆的右顶点，当时，证明：直线和的斜率之积为定值；

(2)当直线过椭圆的右焦点时，轴上是否存在定点，使点到直线 的距离与点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

22．已知函数，.

(1)若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；

(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案：

1．A

2．C

3．B

4．B

5．A

6．D

7．B

8．B

9．BD

10．AC

11．ABD

12．ABC

13．

14．

15．

16．

17．

（1）

设数列的公差为，因为是和的等比中项，

则且

则或（舍）

则，

即通项公式

（2）

因为与（，2，…）之间插入个1，

所以在中对应的项数为，

当时，

当时，

所以，，且

所以

18．

（1）

，

所以，

由正弦定理得：，

，，

，，

得，即，

.

（2）

,

,得，

由余弦定理得：，

，

所以，

即AD的长为.

19．

（1）

依题意，，1，2，且，

，，

所以的分布列为：

故

（2）

由题意，易知服从二项分布，，

服从二项分布，，故.

20．

（1）

证明：取的中点，连接交于，连接，，

因为是菱形，所以，且是的中点，

所以且，又，，

所以且，所以四边形是平行四边形，

所以，

又平面，平面，所以，

又因为，平面，

所以平面，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）

解：取的中点，由四边形是菱形，，则，

是正三角形，，，又平面，

所以以为原点，，，为坐标轴建立空间直角坐标系，

设在棱上存在点使得平面与平面的夹角为，

则，，，，，，

则设，，

所以，，，，

设平面的一个法向量为，，，

则，即，令，，

得

平面的法向量可以为，

，解得，

所以，则

设平面的一个法向量为，

则，即，取，得，

所以点到平面的距离.

21．

（1）

证明：因为，所以直线l：，

联立直线方程和椭圆方程： ，得，

设，

则有，

所以，

又因为，

所以，，

所以==

所以直线和的斜率之积为定值；

（2）

解：假设存在满足题意的点，设，

因为椭圆的右焦点，所以,即有，

所以直线的方程为.

由，可得，

设，

则有；

因为点到直线的距离与点到直线的距离相等，

所以平分,

所以.

即==，

又因为，

所以，

代入，

即有，

解得.

故轴上存在定点，使得点到直线 的距离与点到直线的距离相等.

22．(1)

(2)

【分析】（1）将零点问题转化为交点问题，利用导数分析的单调性以及极值情况.

（2）分三种情况讨论，将不等式恒成立问题转化成求即可.

（1）

当时，显然满足题意

当时，若函数只有一个零点，

即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为

只有一个根，

即直线与函数（且）的图像只有一个交点.

，令，得，

在和上，，在上，，

所以在和上单调递减，在上单调递增.

在时有极小值，图像如图所示：

由图可知：若要使直线与函数的图像只有一个交点，

则或，

综上.

（2）

恒成立，

等价于，

令（），

，

①若时，，

所以在上单调递增，

，即，满足，

②若时，则，，

所以在上单调递增，

当时，，不成立

故不满足题意.

③若时，令，，

，，

，单调递减，

，单调递增，

只需即可，

，，

令

，在上单调递增，

，时，，

，，

所以在上单调递增，

，即，

综上：

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．