山东省青岛市即墨区2023_2024学年高二数学上学期期末考试

这是一份山东省青岛市即墨区2023_2024学年高二数学上学期期末考试，共13页。试卷主要包含了曲线围成图形的面积为等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回.
注意事项：
1.答第I卷前考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，
2.选出每小题答案前，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效.
一､选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.抛物线的焦点坐标为（）
A. B. C. D.
2.已知四面体中，为中点，若，则（）
A.3 B.2 C. D.
3.正方体分别的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
4.等差数列的首项为1，公差为，若成等比数列，则（）
A.0或-2 B.2或-2 C.2 D.0或2
5.已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（）
A. B. C.4 D.2
6.已知椭圆的左右焦点分别为，直线与交于两点，则的面积与面积的比值为（）
A.3 B.2 C. D.
7.某公司为激励创新，计划遂年加大研发资金投入.若该公司2020年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司年投入研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：）
A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年
8.曲线围成图形的面积为（）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知直线与直线，下列说法正确的是（）
A.当时，直线的倾斜角为
B.直线恒过点
C.若，则
D.若，则
10.关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（）
A.若数列的前项和，则数列为等比数列
B.若的前项和，则数列为等差数列
C.若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列
D.若数列为等差数列，为前项和，则成等差数列
11.下列说法正确的是（）
A.已知，则在上的投影向量为
B.若是四面体的底面的重心，则
C.若，则四点共面
D.若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
12.已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（）
A.圆的圆心坐标为，半径为
B.切线
C.直线的方程为
D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.直线在轴､轴上的截距分别是和-3，则直线的一般式直线方程为__________.
14.若双曲线的渐近线与圆相切，则__________.
15.如图，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，已知，则__________.
16.如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，则的离心率为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.
（1）求点到直线的距离；
（2）求证：面.
18.（12分）
是坐标平面内一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为坐标原点）的面积为6.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）如图所示，斜率为且过的直线与曲线交于两点，点为线段的中点，射线与曲线交于点，与直线交于点.证明：成等比数列.
19.（12分）
已知等差数列中的前项和为，公差为，且成等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前30项的和.
20.（12分）
如图，在底面是菱形的四棱锥中，底面分别在梭上，为的中点.
（1）若为中点，证明：面；
（2）若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21.（12分）
如图形状出现在南宋数学家杨浑所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列.
（1）写出与的递推关系，并求数列的通项公式；
（2）记等比数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.
22.（12分）
已知抛物线，点，过抛物线的焦点且平行于轴的直线与圆相切，与交与两点，.
（1）求和圆的方程；
（2）过上一点做圆的两条切线分别与交于两点，判断直线与圆的位置关系，并说明理由.
参考答案
一､选择题
二､填空题
13. 14. 15.或 16.
三､解答题
17.解：证明（1）由题知以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
正四棱柱为中点
（2）法一：由（1）知
又
面
法二：设面
的法向量
则有
令，则
.
面.
18.（1）设动点，
由于分别与直线垂直，
所以，四边形是矩形，
两点分别在一､四象限，
点的轨迹方程为：
（2）设直线的方程为：，中点
直线的方程与的方程联立得：
且
将其代入得
要证成等比数列，只要证明三点的横坐标成等比数列即可.
直线的斜率
直线的方程为
方程与方程联立得点横坐标，
点的横坐标显然
成等比数列.
19.解：（1）由题意，
成等比数列，
，即
又
解得
（2），
20.解：（1），
所以为等边三角形，
为中点
，
又，所以
以为原点，分别头轴，建立空间直角坐标系，则
设平面的一个法向量则
令解得
又面
面
（2）设，则
设平面的法向量，
则
令，得平面的一个法向量
设与平面所成的角为，则
解得或
即存在点，且或
21.解：（1）从图中可以发现每一层球的数量比上一层多的个数等于层数，
所以有，
所以
（2）由，
得
两式相减得
为等比数列，
，解得
，
，
22.解（1）由题意知直线的方程为
与方程联立可得
的方程为，直线的方程为
又直线与圆相切，圆的半径为2
圆的方程为
（2）设上三点，显然
直线的斜率都是存在的
直线的斜率
直线的方程为
同理的方程为
的方程为
圆与直线相切，
有
化简得：
同理，圆与直线相切，可得
所以：是方程
的两个根，由韦达定理
点到直线的距离题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
C
A
A
B
A
D
BD
AD
BC
AC