江西省上饶市2023_2024学年高二数学上学期期末教学质量测试试题含解析

这是一份江西省上饶市2023_2024学年高二数学上学期期末教学质量测试试题含解析，共19页。
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．
4．本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟．
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线斜率可得答案.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
因为，所以.
故选：D.
2. 若向量，，则的值为（）
A. 0B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用数量积的坐标运算可得.
【详解】由向量，，
则.
故选：B.
3. 盒子中有红球3个，黄球4个，任取3个球，则抽到2个红球的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由古典概型概率公式可得.
【详解】盒子中有红球3个，黄球4个，从盒子中任取3个球，共有种取法，
3球中抽到个红球，则有个黄球，故取法有种，
由古典概型的概率公式得所求事件的概率为.
故选：A
4. 根据与之间的一组数据求得两个变量之间的线性回归方程为，已知数据的平均值为，则数据的平均值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将代入回归直线方程，可得出的值.
【详解】将代入回归直线方程可得.
故选：D.
5. 已知椭圆，若点P在椭圆M上，，是椭圆M的左、右焦点，则的最大值为（）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由，再由基本不等式求解.
【详解】解：由椭圆M方程可知，，且，
则，
当且仅当，
则的最大值为：2
故选：B
6. 某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题设，应用全概率公式可直接求得该同学第2天去餐厅用餐的概率.
【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，
由题意得：，，，
由全概率公式，得：，
因此，该同学第天去餐厅用餐的概率为.
故选：B.
7. 名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生，则不同的分配方法种数为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依次分配第一、二、三组，结合平均分组法可得出不同的分配方法种数.
【详解】名学生参加数学建模活动，有个不同的数学建模小组，每个小组分配名学生
则不同的分配方法种数为种.
故选：B.
8. 已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的长为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设点、，设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量的坐标运算结合可得出，代入韦达定理求出的值，再利用抛物线的焦点弦长公式可求得的值.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
设点、，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意；
设直线的方程为，联立可得，
，由韦达定理可得，，
因为，即，可得，即，
所以，，可得，
，所以，，则，
所以，.
故选：C.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若随机变量，下列说法中正确的有（）
A. B. 期望
C. 期望D. 方差
【答案】AC
【解析】
【分析】利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用二项分布的期望公式可判断B选项；利用期望的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项.
【详解】因为随机变量，则，，
，
由期望的性质可得，
由方差的性质可得，AC对，BD错.
故选：AC.
10. 已知，则下列结论成立的有（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】设，可得出，可判断A选项；利用二项展开式通项可判断B选项；由可判断C选项；由可判断D选项.
【详解】设，
对于A选项，，A对；
对于B选项，的展开式通项为，
所以，，B对；
对于CD选项，，
解得，，C错D对.
故选：ABD.
11. 若直线与相交于点P，O为坐标原点，则的值可以为（）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】ABC
【解析】
【分析】由几类特殊情况可得ABC，由两直线互相垂直得点的轨迹，可得的范围可排除D.
【详解】已知直线与，
由，得.
由直线，则不垂直于轴，不过原点，
令，
则直线恒过定点，
当点与重合时，则过，，解得，
此时，故A正确；
由直线，直线不垂直于轴，也不过原点，
令，
则直线恒过定点，
当点与重合时，则过，，解得，
此时，故B正确；
当时，，则两直线交点，
此时，故C正确；
当点不与重合时，
设两条直线交于点，则，
则交点的轨迹为以为直径的圆，且点与或重合时，都满足题意，但原点除外.
且圆的圆心为的中点，圆的半径，
则圆的方程为，不包含原点.
由，则点也在圆上，则的取值范围为，
故，故D错误.
故选：ABC.
12. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于，过点的切线与双曲线的渐近线交于、两点，则下列说法正确的有（）
A. 双曲线的渐近线方程为B.
C. 离心率D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】设点，利用斜率公式求出的值，可得出双曲线的渐近线方程，可判断A选项；写出切线方程，求出点、的横坐标，证明出点为线段的中点，可判断B选项；利用双曲线的离心率公式可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，设点，则，且，
易知点、，则，
因为，解得，所以，双曲线的渐近线方程为，A错；
对于B选项，接下来证明双曲线在点处的切线方程为，
联立可得，
又因为，整理可得，解得，
所以，双曲线在点处的切线方程为，
联立可得，即，
联立可得，即，
所以，，
所以，点为线段的中点，即，B对；
对于C选项，离心率，C对；
对于D选项，，
点到直线的距离为，
所以，，D对.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知随机变量服从正态分布，且，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性求解指定区间的概率即可.
【详解】随机变量服从正态分布，且，
所以，
所以，
故答案为：
14. 以为圆心且与圆外切的圆的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出两圆圆心距，利用两圆外切求出圆的半径，即可得出圆的方程.
【详解】设圆的半径为，圆的圆心为坐标原点，半径为，
两圆圆心距为，故，
因此，以为圆心且与圆外切的圆的方程为.
故答案为：.
15. 在正四棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值______．
【答案】##
【解析】
【分析】设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与所成角的余弦值.
【详解】不妨设，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
则，，
所以，.
因此，与所成角余弦值为.
故答案为：.
16. 如图，离心率相同两个椭圆和分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆和外接椭圆，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】由离心率相同，可得，由图可得，计算即可得的值.
【详解】由图可得，故有，
由两个椭圆离心率相同，则有，即，
故，即有，故.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 某教育部门为了了解某地区高中学生每周的课外乒乓球训练的情况，随机抽取了该地区名学生进行调查，其中男生人．将每周课外训练时间不低于小时的学生称为“训练迷”，低于小时的学生称为“非训练迷”．己知“训练迷”中有名男生和名女生．
（1）根据数据完成上面的列联表；
（2）判断是否有把握认为“训练迷”与性别有关．
附：
【答案】（1）列联表见解析
（2）有，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题中信息可完善列联表；
（2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.
【小问1详解】
解：根据已知条件完成的列联表如下：
【小问2详解】解：根据公式得，的观测值为，
则，故有的把握认为“训练迷”与性别有关．
18. 某学校有男运动员4名，女运动员6名共10名运动员，其中男、女队长各一名，选拔4名运动员参加全市中学生运动会．
（1）共有多少种选法；
（2）若要求至少有1名队长参加，有多少种方法．
【答案】18. 210
19. 140
【解析】
【分析】（1） 由组合的定义即可求解；
（2）1：有2名队长，可以分选一名队长及分二名队长求解；法2：也可以从反面求解.
【小问1详解】
解：从10名运动员中选4名参赛共有种选法．
【小问2详解】
法1：由题意知，10名运动员中男、女队长各1名，共2名队长．
若选中1名队长，则有种选派方法；
若选中2名队长，则有种选派方法；
∴队长中至少有1人参加，有种方法．
法2：由题意，男运动员4名，女运动员6名，其中男、女队长各1名．选派4人，
若没有队长，则有种选派方法，
若随机选择，则有种选派方法，
∴队长中至少有1人参加，有种方法．
19. 已知点和圆．
（1）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）点在圆上运动，满足，求点的轨迹方程．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，利用点到直线的距离公式求出相应的参数值，综合可得出直线的方程；
（2）设点，利用中点坐标公式可得出点，将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程.
【小问1详解】
解：因为圆，所以，圆的圆心为，半径，
因为直线过点，且被圆截得的弦长为，
所以，圆心到直线的距离为，
①当直线的斜率存在时，设其方程为，
即，则，解得，
故直线的方程为，即；
②当直线的斜率不存在时，因为直线过点，则直线的方程为，
圆心到直线的距离为，符合题意.
综上所述，直线的方程为或．
【小问2详解】
解：设点，因为，则点为线段的中点，
设点，由中点坐标公式可得，可得，即点，
因为点在圆上运动，则，可得，
故点的轨迹方程为．
20. 如图，在四棱锥中，平面底面，，，，，点为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理只需证明，即证EF平行且等于AB即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，而平面的法向量有现成的，
无需计算，再根据两个平面的法向量求出两个平面的夹角.
【小问1详解】
证明：取PD中点F，连接EF、AF，因为E为棱PC的中点，
所以EF为的中位线，所以，且，
又，，，所以EF平行且等于AB，
所以四边形ABEF为平行四边形，所以，
又因为面PAD，面PAD，所以面PAD．
【小问2详解】
如图，取AD的中点为O，连接PO，因为，所以，
又因为，平面底面ABCD且交线为AD，所以平面ABCD．
建立空间直角坐标系，，，，
，，设平面PBC的法向量为，
则，即，令得，
平面PAD即平面，其一法向量为，所以，，
故平面PBC与平面PAD所成角的余弦值为．
21. 已知只小白鼠中有只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案．方案甲：将只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止．方案乙：先取只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠．
（1）若用方案甲，求化验次数为次的概率；
（2）若平均化验次数少的方案好，请你确定方案甲、方案乙哪个更好．
【答案】（1）
（2）方案乙更好，利用见解析
【解析】
【分析】（1）若用方案甲，设化验次数为，利用独立事件的概率公式可求得的值；
（2）计算出使用方案甲、乙时试验次数的期望值，比较大小后可得出结论.
【小问1详解】
解：若用方案甲，设化验次数为，则可能取值为、、、、、、、、，
若用方案乙，设化验次数为，则可能取值为、、、，
由题意可得.
所以，若用方案甲，化验次数为次的概率为.
【小问2详解】
解：由（1）可知，，，，
，，
，，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，，
由题意可知，随机变量可能取值为、、、，则，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，，
则，所以方案乙比方案甲好.
22. 已知椭圆的两焦点分别为、，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过两焦点的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，若，求平行四边形ABCD面积最大值．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）由已知焦点与离心率得关系，求解方程组可得；
（2）将平行四边形面积转化为的面积，设出直线方程，联立直线与椭圆方程，再利用分割法将的面积转化为，利用韦达定理转化为函数最值研究即可.
【小问1详解】
由题意知，解得，
则，
则椭圆E的方程为；
【小问2详解】
易知直线AB的斜率不为0，由（1）知，
不妨设直线AB的方程为，
联立，消去x并整理得，
此时恒成立，设，
由韦达定理得，，
所以，
此时，
椭圆C的内接平行四边形面积为，
令，则.
则，
设，，
则，
则函数在单调递增，所以，
所以当时，S取最大值6，故平行四边形的面积最大值为6．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.非训练迷
训练迷
合计
男
女
合计
非训练迷
训练迷
合计
男
女
合计
X
P