江西省2023_2024学年高二数学上学期1月期末联考试题含解析

这是一份江西省2023_2024学年高二数学上学期1月期末联考试题含解析，共17页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线与直线平行，则的斜率为（）
A. 6B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线的一般方程可求得其斜率为，再由两直线平行即可求得的斜率.
【详解】将直线化为斜截式可得，
易知直线的斜率与直线的斜率相等，即的斜率为；
故选：D
2. 展开式中的常数项为（ ）
A. -20B. -15C. 15D. 20
【答案】C
【解析】
【详解】由二项式定理展开式的通项公式有：，
常数项满足：可得：.
则常数项为：.
本题选择C选项.
3. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用双曲线定义并结合点是的左支上一点可得结果.
【详解】根据双曲线标准方程可知，
由双曲线定义可得，
又为左焦点，点是的左支上一点，所以，
可得.
故选：B
4. 某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有（）
A. 18B. 21C. 23D. 72
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊元素优先安排的方法，先安顿好甲，再安排其他同学即可.
【详解】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分成两步完成：
① 让甲在三个项目中任选一个，有种方法；
② 让另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，有种方法.
由分步乘法计数原理，可得符合条件的报名方法种数为.
故选：A.
5. 已知点，，，则原点到平面的距离为（）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量求出平面的一个法向量，再由空间距离的向量求法即可求得结果.
【详解】易知，
设平面的一个法向量为，
则，解得，取可得；
又，
所以原点到平面的距离为.
故选：A
6. 如图，在正三棱锥中，高，，点分别为的中点，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求得，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】在等边中，因为，可得的高为，
所以，
在直角中，可得，
又因为分别为的中点，可得，
在中，可得，
所以.
故选：B.
7. 若满足有序实数对有3对，则的值为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设出，根据所求和题设条件联想到点的轨迹和平面图形的几何意义，从而将问题转化为圆上有3个点到直线的距离为，借助于圆的性质数形结合迅速解题.
【详解】设（），则，，而表示点到直线的距离，
点又在圆上，所以问题转化为圆上有3个点到直线的距离为，如图，
而圆心到直线的距离为，故，解得，则.
故选：A.
8. 若点既在直线上，又在椭圆上，的左、右焦点分别为，，且的平分线与垂直，则的长轴长为（）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】过点、分别作、垂直直线于点、，由的平分线与垂直可得，即可得与相似，结合点到直线的距离可得相似比，从而可求出、，结合椭圆定义即可得长轴长.
【详解】过点、分别作、垂直直线于点、，
作的平分线与轴交于，
由，故、，
则，，
由且为的平分线，故，
故，
又、，故与相似，
故，
由，令，则，
故直线与轴交于点，故，
，故，
由，
故，，
故，，
由椭圆定义可知，，故，
即的长轴长为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题关键在于作出、垂直直线于点、，再将的平分线与垂直这个条件转化为，从而得到相似三角形，结合点到直线距离公式及得到、的值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知分别为空间中两条不重合的直线的方向向量，分别为两个不重合的平面的法向量，则下列结论正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面的法向量的概念，结合线面位置关系的判定方法，逐项判定，即可求解.
详解】对于A中，由，可得，则，当时，，所以A错误；
对于B中，由，可得，则，所以B正确；
对于C中，因为分别为两个不重合的平面的法向量，若，可得，所以C正确；
对于D中，因为分别为两个不重合的平面的法向量，若，可得，所以D不正确.
故选：BC.
10. 下列说法正确的是（）
A. 两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B. 在回归分析中，为0.99的模型比为0.88的模型拟合的更好
C. 在的展开式中，所有项的系数和为0
D. 某时间段的第1天为星期三，则第天为星期四
【答案】AB
【解析】
【分析】对于AB：根据统计知识判断AB；对于CD：根据二项式定理分析判断.
【详解】对于A：两个变量，的相关系数为，越小，与之间的相关性越弱，A正确：
对于B：越接近1，模型拟合越好，且，B正确；
对于C：取，得所有项的系数之和为1，C错误；
对于D：因为，
可知被7除余数为6，所以第天是星期一，D错误.
故选：AB.
11. 已知直线，抛物线与抛物线的焦点分别为，则（）
A. 存在，使得直线过点与
B. 存在，使得直线与各有1个公共点
C. 若过与的公共点，则与两准线的交点距离为
D. 与的交点个数构成的集合为
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，联立直线与抛物线的方程，再逐项判断即可得解.
【详解】抛物线的焦点，准线，抛物线的焦点，准线，
当时，直线过点与，A正确；
由消去y得，由，得，此时直线与只有一个公共点，
由消去x得，由，得，直线与只有一个公共点，
因此当时，直线与各有1个公共点，B正确；
抛物线与的公共点为和，当直线经过点时，直线的方程为，
直线与交于点，与交于点，这两个交点间距离为，C错误；
当时，，与的交点个数为0，当时，与的交点个数为2，
当时，直线与的交点各有两个，而当或时，直线经过了的交点
此时与的交点个数为3，当且且时，与的交点个数为4，
因此与的交点个数构成的集合为，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：联立直线l与抛物线C的方程组，消元后的一元二次方程判别式为：
(1)直线l与抛物线C相交；(2)直线l与抛物线C相切；(3)直线l与抛物线C相离.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，若，则______.
【答案】0.14##
【解析】
【分析】由正态分布的对称性即可求解.
【详解】因为，所以，
故答案为：0.14.
13. “守得住经典，当得了网红”，这是时下人们对国货最高的评价，网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势，使得各大国货品牌都受到高度关注，销售额迅速增长，已知某国货品牌2023年8-12月在网络平台的月销售额（单位：百万元）与月份具有线性相关关系，并根据这5个月的月销售额，求得回归方程为，则该国货品牌2023年8-12月在网络平台的总销售额为______百万元.
【答案】225
【解析】
【分析】根据样本中心点在回归直线上的性质，先计算出，代入回归方程求得，再用代表月平均销售额，即可算得总销售额.
【详解】依题意，，因样本中心点在回归直线上，代入得：，
所以该国货品牌2023年8-12月在网络平台的总销售额为百万元.
故答案为：225.
14. 《测圆海镜》是金元时期李治所著中国古代数学著作，是中国古代论述容圆的一部专著，如第2卷第8题的“弦外容圆”问题是一个勾股形（直角三角形）外与弦相切的旁切圆问题，已知在中，，，点在第一象限，直线的方程为，圆与延长线、延长线及线段都相切，则圆的标准方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意首先确定圆心在的平分线上，再利用点到直线距离列方程解得圆心为，即可得出圆的标准方程.
【详解】根据题意可知，直线的方程为，
由可得，所以直线的方程为，
联立直线和的方程，可得；
由圆与延长线、延长线及线段都相切，由对称性可得圆心在的平分线上，即上；如下图所示：
设，且，
由直线与圆相切可得，解得或（舍）；
结合图形可知，此时圆心为，半径为；
因此圆的标准方程为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用图形确定出圆心在的平分线上，且在线段的上方，列方程即可求得圆心坐标.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知点，，直线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）若圆经过点，且圆心在轴上，求点的坐标.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出直线的斜率，再结合垂直的条件求出的值.
（2）求出线段的中垂线，再求出圆心的坐标.
【小问1详解】
依题意，直线的斜率为，由直线垂直于直线，得，
所以.
【小问2详解】
线段的中点坐标为，则线段的中垂线方程为，即，
由圆经过点，得圆心在直线上，而圆心又在轴上，
所以点的坐标为.
16. 已知双曲线经过点，且的一条渐近线的方程为.
（1）求的标准方程；
（2）若点是的左顶点，是上与顶点不重合的动点，从下面两个条件中选一个，求直线与的斜率之积.
①关于原点对称；②关于轴对称.
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）选①，答案为1；选②，答案为
【解析】
【分析】（1）根据渐近线方程得到，待定系数法求出，得到双曲线方程；
（2）选①，得到，，，由斜率公式计算出答案；
选②，得到，，，由斜率公式计算出答案.
【小问1详解】
由题意得的一条渐近线的方程为，故，
又，解得，
故的标准方程为；
【小问2详解】
若选①，关于原点对称，
由题意得，，，
故，
则，
若选②，关于轴对称，
由题意得，，，
故，
则，
17. 2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：
（1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；
（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及.
附：①，其中；
②当时有95%把握认为两变量有关联.
【答案】（1）没有 （2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意和公式求出，然后根据附②即可得出结论；
（2）由题得出的取值依次为0，1，2，依次求出各种取值的概率，然后写出分布列求出期望.
【小问1详解】
根据列联表中的数据，
得，
所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异.
【小问2详解】
这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，
则抽取的男生有3人，女生在2人，
所以的取值依次为0，1，2，
，，，
所以的分布列为
18. 如图，在三棱柱中，是正三角形，四边形是菱形，与交于点，平面，.
（1）若点为中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题设易于建系，分别求出相关点的坐标，得到，的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得；
（2）同上建系，求出相关点坐标，分别求得两个平面的法向量坐标，最后利用空间向量的夹角公式计算即得.
【小问1详解】
因为四边形是菱形，所以，
因为平面，所以，，两两垂直，
如图，以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.
则，，，，.
，，在三棱柱中，因，
易得,故，
因为点为中点，所以，所以，
因，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
【小问2详解】
，，，，
设是平面的一个法向量，则，
取，得，
设是平面的一个法向量，则，
取，得，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
19. 已知F是抛物线C：（）的焦点，过点F作斜率为k的直线交C于M，N两点，且.
（1）求C的标准方程；
（2）若P为C上一点（与点M位于y轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设MN的方程，与抛物线方程联立，表示出弦长，解得p的值；
（2）由对称性得点P与N关于y轴对称，直线MP的方程与抛物线的方程联立，可得直线MP过定点，由的面积等于4，得直线MP的方程.
【小问1详解】
由题，，则直线的方程为，，，
联立方程组，得，，
，
则，抛物线方程为.
【小问2详解】
由（1），，，
设直线MP的方程为，
因为直线MN与FP的斜率之和为0，所以P与N关于y轴对称，，
联立方程组，得，
所以，，得，所以直线MP过定点，
所以，所以，，
，，，
所以直线MP的方程为.
【点睛】直线MN与FP的斜率之和为0，等价与y轴平分，可得P与N关于y轴对称，利用（1）可得直线MP过定点，更易表示的面积.
不太了解
比较了解
合计
男生
20
40
60
女生
20
20
40
合计
40
60
100
0
1
2