2024-2025学年广东省梅州市兴宁市高二上册10月联考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省梅州市兴宁市高二上册10月联考数学学情检测试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 与向量共线的单位向量可以为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知直线l过点和，则直线l在y轴上的截距为（ ）
A －1B. 0C. 2D. 4
4. 下列说法中正确的是（ ）
A. 空间中共线的向量必在同一条直线上
B. 不相等的两个空间向量的模必不相等
C. 数乘运算中，既决定大小又决定方向
D. 在四边形ABCD中，一定有
5. 点与点关于直线l对称，则l的方程是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列命题中正确是（ ）
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为
D. 已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则
7. 经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（ ）
（参考数据：取重力加速度大小为）
A. 63B. 69C. 75D. 81
二、多选题
9. 下面说法中错误的是（ ）.
A. 经过定点的直线都可以用方程表示
B. 经过定点的直线都可以用方程表示
C. 经过定点直线都可以用方程表示
D. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示
10. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）

A. CC1⊥BD
B.
C. 夹角是60°
D. 直线与直线的距离是
11. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（ ）
A. 当点E运动时，总成立
B. 当E向运动时，二面角逐渐变小
C. 二面角的最小值为
D. 三棱锥的体积为定值
三、填空题
12. 已知，，若点Px,y在线段上，则的取值范围是______.
13. 已知直线的方程为，求坐标原点到的距离的最大值________.
14. 已知直三棱柱，，，E为侧棱的中点，过E作平面与平面垂直，当平面与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点与该截面构成的三棱锥体积的最小值为_______.
四、解答题
15. 已知，，．
（1）写出直线一个方向向量；
（2）设平面经过点，且是平面的法向量，是平面内的任意一点，试写出，，满足的关系式．
16. 已知直线：，：，：，其中直线，交点为.
（1）求点a与b的值；
（2）求过点且与直线平行的直线方程；
（3）求过点且与直线垂直的直线方程.
17. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．

（1）求证平面；
（2）求平面与平面的夹角余弦值；
（3）求点到平面的距离．
18. 如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．
（1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
（2）当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
19. 如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点.
（1）求直线斜率的大小；
（2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长；
（3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
2024-2025学年广东省梅州市兴宁市高二上学期10月联考数学学情
检测试题
一、单选题
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角．
【详解】设直线的倾斜角为，
因为该直线的斜率为，所以，所以，
故选：A
2. 与向量共线的单位向量可以为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】计算出，从而得到与向量共线的单位向量.
【详解】因为，所以与向量共线的单位向量可以是或.
故选：D
3. 已知直线l过点和，则直线l在y轴上的截距为（ ）
A. －1B. 0C. 2D. 4
【正确答案】C
【分析】两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程，进而求截距.
【详解】直线l的斜率为，
∴直线l的方程为，即，故直线l在y轴上的截距为2.
故选：C
4. 下列说法中正确的是（ ）
A. 空间中共线的向量必在同一条直线上
B. 不相等的两个空间向量的模必不相等
C. 数乘运算中，既决定大小又决定方向
D. 在四边形ABCD中，一定有
【正确答案】C
【分析】对于A，由共线向量的定义分析判断，对于B，举例判断，对于C，根据数乘向量的意义分析判断，对于D，根据向量和加法法则判断.
【详解】对于A，空间中共线的向量不一定在同一条直线，有可能两向量所在的直线平行，所以A错误，
对于B，两个向量不相等，有可能方向不同，模相等，如的方向不同，但模相等，所以B错误，
对于C，向量数乘运算中，既决定大小又决定方向，所以C正确，
对于D，在平行四边形ABCD中，才有，所以D错误.
故选：C
5. 点与点关于直线l对称，则l的方程是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】求出两个定点中点坐标及这两个定点确定的直线斜率作答.
【详解】过点与点直线的斜率为，则直线l的斜率为，
点与点的中点为，
所以直线l的方程为，即.
故选：B
6. 下列命题中正确的是（ ）
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为
D. 已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则
【正确答案】C
【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D.
【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误；
对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，
，有，则或，B选项错误；
对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，
则直线l与平面所成的角为，C选项正确；
对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，
若，则，解得，D选项错误.
故选：C.
7. 经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】先求出两直线的交点坐标，再利用直线的方向向量求出斜率，利用点斜式求出直线方程.
【详解】联立直线与，，解得：，
所以直线：，：的交点为，
又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为，
故该直线方程为：，即
故选：D
8. 加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（ ）
（参考数据：取重力加速度大小为）
A. 63B. 69C. 75D. 81
【正确答案】B
【分析】根据平行四边形法则得到该学生的体重,利用余弦定理即可求出得解.
详解】
如图，设该学生的体重为,则.
由余弦定理得.
所以.
故选：B
本题主要考查向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、多选题
9. 下面说法中错误的是（ ）.
A. 经过定点的直线都可以用方程表示
B. 经过定点的直线都可以用方程表示
C. 经过定点的直线都可以用方程表示
D. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示
【正确答案】ABC
【分析】根据题意，结合直线方程的形式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，因为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，
所以经过定点的直线不一定可以用方程表示，所以A错误；
对于B中，因为直线不能表示与轴垂直的直线，
所以经过定点的直线不一定可以用方程表示，所以B错误；
对于C中， 因为方程只能表示斜率存在的直线，
所以经过定点的直线不一定可以用方程表示，所以C错误；
对于D中，因为方程，即为直线的一般式方程，
可以表示坐标系能所有的直线，所以经过任意两个不同的点的直线，
都可以用方程表示，所以D正确.
故选：ABC.
10. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）

A. CC1⊥BD
B.
C. 夹角是60°
D. 直线与直线距离是
【正确答案】ABD
【分析】设，依题得运用向量数量积的运算律计算即可判断A,B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项.
【详解】
如图，设，
则
对于A，因，
则，故A正确；
对于B，因，，
则，故B正确；
对于C，，则，
且
设夹角为，则，因，则，即C错误；
对于D,在平行六面体中，易得,
则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离.
因，
且，
则，故D正确.
故选：ABD.
11. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（ ）
A. 当点E运动时，总成立
B. 当E向运动时，二面角逐渐变小
C. 二面角的最小值为
D. 三棱锥的体积为定值
【正确答案】ACD
【分析】A选项，作出辅助线，得到，，从而得到平面，因为平面，所以总成立；B选项，当E向运动时，平面与平面的夹角不变；C选项，建立空间直角坐标系，设，，得到二面角的法向量，求出二面角的余弦，从而得到余弦值的最大值，得到二面角的最小值；D选项，利用体积公式求出三棱锥的体积为定值.
【详解】对于A，连接，，，

因为四边形为正方形，故，
又⊥平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面.
因为平面，
所以，同理可证.
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以总成立，故A正确.
对于B，平面EFB即平面，平面EFA即平面，
所以当E向运动时，二面角的大小不变，故B错误.
对于C，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，所以，
因为E，F在上，且，
故可设，，，则，
由题知平面ABC的一个法向量为，
设平面ABE一个法向量为，
则，解得，
取，则，故，
设二面角的平面角为，则为锐角，
所以，
又，所以当时，取得最大值，
取得最小值，故C正确；
对于D，因为，
点A到平面EFB的距离即到平面的距离，为，
所以，为定值，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
12. 已知，，若点Px,y在线段上，则的取值范围是______.
【正确答案】
【分析】根据的形式，可转化为线段AB上点与连线的斜率，结合图形即可求解.
【详解】的几何意义是点Px,y与点连线的斜率，
又点Px,y在线段上，由图知，
因为，，所以，
因为点P是线段AB上的动点，所以，
故
13. 已知直线的方程为，求坐标原点到的距离的最大值________.
【正确答案】
【分析】整理直线的方程得令 ，解方程组即可求得定点的坐标，原点到直线的距离，，计算可得结果.
【详解】直线的方程为，即
令，解得：
所以直线恒过定点，
所以原点到直线的距离，即到直线的距离的最大值为.
故答案为.
本题主要考查了直线过定点问题，考查定点到动直线距离最值问题，考查转化能力和计算能力，属于中档题.
14. 已知直三棱柱，，，E为侧棱的中点，过E作平面与平面垂直，当平面与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点与该截面构成的三棱锥体积的最小值为_______.
【正确答案】
【分析】利用空间向量法来计算动点坐标关系，从而去解决平面问题.
【详解】分别以所在直线为轴，轴，轴
则
，
设平面的法向量，
则，得，
设平面，与平面交于点，
则，点，由，得，即，
当平面经过直线并绕着直线旋转时，
平面与平面的交线绕着点旋转，
当交线与线段，都相交时，与正方体所成截面三角形，
令平面与平面的交线交于点，交于点，
设，， 则，
，
由三点共线，得，，
所以，因此，所以
故答案为.
四、解答题
15. 已知，，．
（1）写出直线的一个方向向量；
（2）设平面经过点，且是平面的法向量，是平面内的任意一点，试写出，，满足的关系式．
【正确答案】（1）
（2）．
【分析】（1）求出即可作为直线的一个方向向量；
（2）由，可得为平面的一个法向量，所以，由此能求出，，满足的关系式．
【小问1详解】
，，
，
即为直线的一个方向向量．（答案不唯一）
【小问2详解】
由题意得，
平面，，
，则，
，
．
化简得．
16. 已知直线：，：，：，其中直线，的交点为.
（1）求点a与b的值；
（2）求过点且与直线平行的直线方程；
（3）求过点且与直线垂直的直线方程.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据直线，的交点为，列出方程组，即可求得的值.
（2）根据过点且与直线平行，求得所求直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.
（3）根据过点且与直线垂直，求得所求直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【小问1详解】
解：因为直线，的交点为，可得，解得.
【小问2详解】
解：将直线的方程可化为，可得，
因为过点且与直线平行，可得所求直线的斜率为，
又由点，可得直线的方程为，即.
【小问3详解】
解：将直线的方程可化为，所以，
因为点且与直线垂直，可得所求直线的斜率为，
又由点，可得直线的方程为，即.
17. 已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．

（1）求证平面；
（2）求平面与平面的夹角余弦值；
（3）求点到平面的距离．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；
（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.
【小问1详解】
取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
故平面；
【小问2详解】
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有A0,0,0、、、、C1,1,0、，
则有、、，
设平面与平面的法向量分别为、，
则有，，
分别取，则有、、，，
即、，
则，
故平面与平面的夹角余弦值为；
【小问3详解】
由，平面的法向量为，
则有，
即点到平面的距离为.
18. 如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．
（1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
（2）当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，点在线段上靠近点的三等分点处.
【分析】（1）根据菱形和点，分别是边，的中点得到，，然后利用线面垂直的判定定理得到平面，再结合得到平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得到平面平面；
（2）根据几何的知识得到当平面平面时，四棱锥的体积最大，然后根据线面角的定义得到为直线和平面所成角，最后求正弦值即可；
（3）设，利用空间向量的方法得到平面与平面所成角的余弦值，然后列方程，解方程得到即可.
【小问1详解】
∵四边形为菱形，∴，
∵点，分别是边，的中点，
∴，，，即，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
【小问2详解】
由题意知，当平面平面时，四棱锥的体积最大，
∵平面平面，，平面平面，
平面.
∴平面，为直线和平面所成角，
∵菱形的边长为4，，
∴，，
∴，.
【小问3详解】
如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，，
设，则，
设平面的法向量为，
，令，则，，
∴，
∵平面平面，，平面平面，
∴平面，则可以作为平面的一个法向量，
∴，解得，
所以存在点使平面与平面所成角的余弦值为，点在线段上靠近点的三等分点的位置上.
19. 如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点.
（1）求直线斜率的大小；
（2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长；
（3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【正确答案】（1）；（2）点是线段的中点，；（3）存在点或或使为等腰直角三角形.
【分析】(1)设出直线的方程，求出点A，B坐标，借助三角形面积求解而得；
(2)由给定面积关系导出，再利用相似三角形性质求解即得；
(3)假定存在符合条件的点M，再按照直角顶点分别为点Q，P，M分类讨论判断作答
【详解】1）显然直线斜率存在，设直线方程为，
则直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，
于是得，解得，
所以直线斜率为；
（2）由（1）知直线的方程为：，即，，
因，则，
又，则与相似，于是有，即，得，此时点为线段中点，
所以时，点为线段中点，且；
（3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形，由(1)知直线的方程为：，如图，
当时，而点在轴上，点Q在x轴的正半轴上，则M必与原点O重合，
设，因，则，于是有，解得，此时，
当时，由，知四边形为正方形，
设，则，于是有，解得，此时，
当时，由，得，即，
设，则，直线上点，
显然直线斜率为-1，则斜率必为1，即，解得，此时，
综上，轴上存在点或或使为等腰直角三角形.