2024-2025学年辽宁省沈阳市高二上册第一次月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省沈阳市高二上册第一次月考数学学情检测试题（含解析），共29页。试卷主要包含了测试 总分， 直线l过点，且与圆C， 直线关于直线对称的直线方程为， 下列结论正确是等内容，欢迎下载使用。
说明：1.测试 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第Ⅰ卷（58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 过点，倾斜角为直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 当点到直线距离的最大时，直线l的一般式方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 关于空间向量，以下说法错误的是（ ）
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若，则与的夹角是锐角
C. 已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量
D. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
5. 如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（ ）
A. B. 1C. D.
6. 直线l过点，且与圆C：相交所形成长度为整数的弦的条数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
7. 直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，，，若球O的表面积为，则三棱锥（以A为顶点）的侧面积的最大值为（ ）

A. 6B. C. D.
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
9. 设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若直线，，且l⊥m，l⊥n，则
D. 若l，m是异面直线，，，且，，则
10. 下列结论正确是（ ）
A. 已知点Px,y在圆：上，则的最大值是
B. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C. 已知点是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离
D. 已知直线：，：，则存在实数，使得和关于直线对称
11. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（ ）
A. 的取值范围为
B. 四边形面积最小值为
C. 存在点使
D. 直线过定点
第Ⅱ卷（92分）
三、填空题（每空5分，共15分）
12. 若点在圆（为常数）外，则实数的可能取值为____________.
13. 已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是__________.
14. 如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．
（1）求的长；
（2）求和夹角的余弦值．
16. 在直三棱柱中，，，，G是的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上．

（1）若Q为的中点，证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角正弦值为，求．
17. 如图，在三棱柱中，平面.
（1）求证：平面平面；
（2）设点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
18. 已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切．
（1）求圆的标准方程．
（2）若 是圆C上任意一点，求取值范围
（3）已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
19. 如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为．
（1）求证：；
（2）若，求三棱台的体积；
（3）若到平面的距离为，求的值．
2024-2025学年辽宁省沈阳市高二上学期第一次月考数学学情检测试题
说明：1.测试 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第Ⅰ卷（58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 过点，倾斜角为的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由题意可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般方程可得.
【详解】由题可得直线的斜率为，
所以直线方程为：，
化简可得：；
故选：B
2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当时，，则，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 当点到直线距离的最大时，直线l的一般式方程是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到到直线的最远距离为，此时直线垂直于，即可求出直线方程．
【详解】因为直线，
所以可将直线方程变形为，
，解得，，
由此可得直线系恒过点
到直线的最远距离为，此时直线垂直于，，
直线的斜率为，
，，
直线的一般方程为．
故选：A
4. 关于空间向量，以下说法错误的是（ ）
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若，则与的夹角是锐角
C. 已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量
D. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
【正确答案】B
【分析】A由空间向量的概念及性质判断；B注意同向共线的情况；C由向量共面定理判断；D根据空间向量共面的推论判断.
【详解】A：若三个空间向量有两个向量共线，而空间中任意两个向量是共面的，故共线的两个向量必与第三个向量共面，对；
B：对于两个同向共线的非零向量也有，但它们的夹角为0度，不是锐角，错；
C：若、、是共面的向量，则存在且，
显然无解，所以、、是不共面的向量，对；
D：由，且，根据空间向量共面的推论知，，，四点共面，对.
故选：B
5. 如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（ ）
A. B. 1C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意，由条件可得间最小距离即为异面直线与间的距离，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.
【详解】
因为点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离即为
异面直线与间的距离，
建立如图所示空间直角坐标系，则，
则，，
设与异面直线与都垂直的向量，
则，解得，取，则，
所以，则异面直线间的距离为.
即间最小距离为.
故选：C
6. 直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【正确答案】D
【分析】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数.
【详解】由题设，圆的圆心为，且半径，
而，即点在圆内，且圆心到该点的距离，
当直线与、的连线垂直时，弦长最短为，
而最长弦长为圆的直径为，故所有弦的弦长范围为，
所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为，
根据圆对称性，弦长为各有2条，弦长为2的只有1条，
综上，共9条.
故选：D
7. 直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线上的点关于直线的对称点即可求解.
【详解】由，解得，则直线与直线交于点，
在直线上取点，设点关于直线的对称点，
依题意，，整理得，解得，即点，
直线的方程为，即，
所以直线关于直线对称的直线方程为.
故选：D
8. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，，，若球O的表面积为，则三棱锥（以A为顶点）的侧面积的最大值为（ ）

A. 6B. C. D.
【正确答案】B
【分析】求出球的半径，利用条件得到三棱锥A﹣BCD的外接球即为以为棱的长方体的外接球，从而得到，结合基本不等式求出侧面积的最大值.
【详解】设球的半径为，则，解得，
因为AD⊥平面ABC，，
所以三棱锥的外接球，即为以为棱的长方体的外接球，
故，其中，故，
三棱锥（以A为顶点）的侧面积为
，
由基本不等式得，故，
当且仅当时，等号成立，
，
故，当且仅当时，等号成立，
所以.
故选：B
关键点点睛：特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解.
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
9. 设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若直线，，且l⊥m，l⊥n，则
D. 若l，m是异面直线，，，且，，则
【正确答案】ABC
【分析】ABC可举出反例；D选项，作出辅助线，由线面平行得到线线平行，进而得到面面平行.
【详解】对于A，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，A错误．
对于B，若，，，则l与m可能平行，可能相交，也可能异面，B错误．
对于C，没有说m，n是相交直线，所以不能得到，C错误．
对于D，因为，设平面平面，，所以，
因为l，m是异面直线，，所以l，a相交，
因为，，，所以，
因为，，l，a相交，所以，D正确．
故选：ABC
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 已知点Px,y在圆：上，则的最大值是
B. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C. 已知点是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离
D. 已知直线：，：，则存在实数，使得和关于直线对称
【正确答案】AD
【分析】利用三角代换可判断A；求出直线所过定点，结合图形可判断B；
利用点到直线的距离公式可判断C；转化为寻找对称点问题，即可判断D.
【详解】A选项：因为点在圆上，所以
当时，取得最大值，故A 正确；
B选项：由所以，即直线过点，
因为直线和线段相交，故只需或，故B 错误；
C选项：圆的圆心到直线的距离为，而点是圆的圆外一点，
所以，即，故直线与圆相交，故C错误；
D选项：在上任取点，则关于直线x+y=0对称的点坐标，
代入方程，得：①当时，，②当时，为任意实数；故D正确.
故选：AD.
11. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（ ）
A. 的取值范围为
B. 四边形面积的最小值为
C. 存在点使
D. 直线过定点
【正确答案】ABD
【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以PC为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案.
【详解】圆心到直线的距离为，

所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得，
当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确；
因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确；
因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确；
对于D，设，则，，以PC为直径的圆的圆心为，半径为，所以以PC为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以PC为直径的圆的公共弦，
联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确；
故选：ABD
第Ⅱ卷（92分）
三、填空题（每空5分，共15分）
12. 若点在圆（为常数）外，则实数的可能取值为____________.
【正确答案】（答案不唯一）
【分析】由点A在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可.
【详解】因为点在圆外，
则，解得，
又由圆的一般方程，可得，
即，即或，
所以实数的范围为，例如符合题意.
故（答案不唯一）.
13. 已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是__________.
【正确答案】（或）
【分析】解法一：待定系数法，设出圆的一般形式，将点的坐标代入，解方程组即可求解；
解法二：几何法，根据得的外接圆是以线段为直径的圆.然后确定圆心和半径，即可求解.
【详解】解法一：设的外接圆方程为，其中.
由题意得解得满足，
所以外接圆的方程为.
解法二：依题意，直线的斜率，直线的斜率，
则，即.因此的外接圆是以线段为直径的圆.
线段的中点为，半径，
所以外接圆的方程是.
故（或）
14. 如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为______．
【正确答案】
【分析】建立空间直角坐标系，先求出点的坐标，再根据点到直线距离的向量公式计算即可．
【详解】以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
，
由平面，设，
所以，
设，
所以，即，解得，
所以，则，
设直线的夹角为，
则，
所以，
所以点到直线的距离为，
故．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．
（1）求的长；
（2）求和夹角的余弦值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案；
（2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案.
【小问1详解】
由题意得，
又，，，，，
故
，
故；
【小问2详解】
，
则.
16. 在直三棱柱中，，，，G是的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上．

（1）若Q为的中点，证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角正弦值为，求．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）连接并延长，交于点，则为的中点，连接，由面面平行的判定得出平面平面，再由面面平行的性质即可证明；
（2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，根据线面夹角的向量公式列出方程求解即可．
【小问1详解】
连接并延长，交于点，则为的中点，连接，
因为为直三棱柱，所以平面平面，，，
又分别为的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
因为平面，且，
所以平面平面，又平面，
所以平面．
【小问2详解】
以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系，
设，
则，，，
所以，
由直三棱柱可得，为的中点，
所以，则，
设平面的一个法向量为，
由得，，取，则，
因为直线与平面所成的角正弦值为，
所以，
整理得，，解得或（不合题意舍） ，
所以．

17. 如图，在三棱柱中，平面.
（1）求证：平面平面；
（2）设点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）由线面垂直得到，结合证明出平面，故，结合得到平面，证明出面面垂直；
（2）求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用面面角的夹角余弦公式进行求解.
【小问1详解】
证明平面平面，
.
又，且平面，
平面
平面.
又，且平面，
平面.
平面，
平面平面.
【小问2详解】
由（1）知，所以四边形为正方形，即，且有.
以点为原点，以所在直线分别为轴，以过点和垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
设平面的一个法向量，
则即取，
同理可得平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切．
（1）求圆的标准方程．
（2）若 是圆C上任意一点，求的取值范围
（3）已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【正确答案】（1）
（2）
（3）存在，
【分析】（1）由题意圆心坐标为，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径，从而可得出答案.
（2）若 Mx,y是圆C上任意一点，则表示圆上任意一点到点距离的平方，画出图可知最大值为，最小值为，然后求解取值范围即可.
（3）设，Px,y，分别表示出，由为定值得出答案.
【小问1详解】
依题可设圆心坐标为，
则圆的方程为，
因为直线与圆相切，
所以点到直线距离，
因为，所以，故圆的标准方程为.
【小问2详解】
若 Mx,y是圆C上任意一点，
则表示圆上任意一点到点距离的平方，
所以最大值为，
的最小值为：
，
所以的取值范围为：
【小问3详解】
假设存在定点，设，Px,y ，
则，
则，当，即，（舍去）时，为定值，
且定值为，故存在定点，且的坐标为0,3.
19. 如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为．
（1）求证：；
（2）若，求三棱台的体积；
（3）若到平面的距离为，求的值．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得平面，可证明结论；
（2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；
（3）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出的值.
【小问1详解】
取中点为，连接；如下图所示：
易知平面平面，且平面平面，平面平面；
所以，又因为，
可得四边形为等腰梯形，
且分别为的中点，所以，
因为，所以，
易知，且平面，
所以平面，
又平面，所以；
【小问2详解】
由二面角定义可得，二面角的平面角即为，
当时，即，因此可得平面，
可知即为三棱台的高，由可得；
易知三棱台的上、下底面面积分别为，
因此三棱台的体积为
【小问3详解】
由（1）知，，，二面角的平面角即为；
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
可得，
易知，可得；
则
设平面的一个法向量为，
所以，
令，则，可得；
显然，
由到平面的距离为，可得，
即，可得；
整理得，解得或；
又，可得.
方法点睛：求解点到平面距离常用方法：
（1）等体积法：通过转换顶点，利用体积相等可得点到面的距离；
（2）向量法：求出平面的法向量，并利用点到平面距离的向量求法公式计算可得结果.