新高考数学一轮复习综合训练11数列（9种题型60题专练）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023•秦安县校级一模）两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于
A．B．C．D．
【分析】由已知，根据等差数列的性质，把 转化为求解．
【解答】解：因为：
．
故选：．
【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前项和公式以及等差中项的综合应用，以及计算能力．
2．（2024•江西模拟）已知数列是等差数列，其前项的和为，则下列结论一定正确的是
A．数列是等比数列B．数列是等比数列
C．数列是等差数列D．数列不是等差数列
【分析】设出公差，利用等比数列的定义可判断，举常数列可判断，，利用等差数列的定义可判断．
【解答】解：数列是等差数列，设公差为，为常数，
对于，数列是等差数列，则，
那么为常数，且，
所以数列是等比数列，故正确；
对于，当数列是各项都是0的常数列时，数列也是各项都为0的常数列，此时不是等比数列，故错误；
对于，数列是等差数列，其前项的和为，可设，为常数），
令，此时为常数，
所以数列是等差数列，故正确；
对于，当数列是各项都是0的等差数列时，，此时，
所以数列是各项都为0的等差数列，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的定义，属于基础题．
二．等差数列的前n项和（共5小题）
3．（2023•山西模拟）设公差不为零的等差数列的前项和为，，则
A．15B．1C．D．
【分析】设等差数列的公差为，利用基本量代换求出，进而求解．
【解答】解：设等差数列的公差为，．
，，解得：，．
，
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
4．（2023•黄州区校级二模）已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为
A．10B．11C．12D．13
【分析】利用等差数列的性质即可求解．
【解答】解：等差数列，
，，
，，
则取最大值时，．
故选：．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
5．（2023•海淀区校级模拟）等差数列的前项和为，，则
A．32B．42C．52D．62
【分析】利用等差数列的性质求出，再利用等差数列的前项和公式求解即可．
【解答】解：等差数列，，
，，，
，
故选：．
【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前项和公式，是基础题．
6．（2023•朝阳区校级模拟）设等差数列的前项和为，，，则 ．
【分析】由，得到与的关系，再利用等差数列的前项和公式和通项公式求解．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
7．（2023•锦州一模）已知正项等差数列，公差为，前项和为，若也是公差为的等差数列，则 ．
【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式，结合多项式相等即可求解．
【解答】解：因为是公差为的正项等差数列，则，
因为是等差数列的前项和，所以，
又因为也是公差为的等差数列，则，
从而有，两边平方得，
即，
由多项式相等，得出，
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式，属于中档题．
三．等比数列的性质（共2小题）
8．（2023•大庆三模）定义，已知数列为等比数列，且，，则
A．4B．C．8D．
【分析】结合已知定义，利用等比数列的性质即可求解．
【解答】解：数列为等比数列，且，，
所以，
所以，
则，
因为与符号一致，
故．
故选：．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．
9．（2023•徐汇区校级三模）已知数列不是常值数列，且满足是正整数），若，则
A．存在、，对任意、，都有为等比数列
B．存在、，对任意、，都有为等比数列
C．存在、，对任意、，都有为等差数列
D．存在、，对任意、，都有为等差数列
【分析】本题先将递推式进行变形，然后令，根据题意有常数，且．将递推式通过换元法简化为．两边同时减去，可得．根据此时逐步递推可得．根据题意有，则当，即，即，即时，可得到数列是一个等差数列．由此可得正确选项．
【解答】解：由题意，得．
令，则，
，为非零常数且，
，均为非零常数，
常数，且．
故．
两边同时减去，
可得．
常数，且．
，且．
．
数列是非常数数列，
，
则当，即，即，即时，
．
此时数列很明显是一个等差数列．
存在，，只要满足，为非零，且时，对任意，，都有数列为等差数列．
故选：．
【点评】本题主要考查递推式的基本知识，考查了等差数列和等比数列的基本性质，换元法的应用，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．
四．等比数列的通项公式（共3小题）
10．（2023•黄冈模拟）已知数列是正项等比数列，数列满足．若，
A．24B．32C．36D．40
【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解．
【解答】解：因为是正项等比数列，，
所以，则，
所以
．
故选：．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
11．（2023•石家庄一模）已知数列为各项均为正数的等比数列，，，则的值为
A．70B．72C．74D．76
【分析】根据已知条件求得以及通项公式，再根据等比数列的性质即可求解结论．
【解答】解：数列为各项均为正数的等比数列，，，
设公比为，且，
，
解得，舍），
故，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
12．（2023•大兴区模拟）设是各项均为正数的等比数列，为其前项和．已知，，若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是
A．4B．5C．6D．7
【分析】由已知利用等比数列的性质可求，又，可得，解得，或，分类讨论可求的值，即可求解数列的各项，即可求解．
【解答】解：等比数列中，公比；
由，
所以，
又，
所以，解得：，或，
若时，可得，可得的值为2，4，8，，不会存在使得的乘积最大（舍去），
若时，可得，可得的值为8，4，2，1，，，观察可知存在，使得的乘积最大，
综上，可得的一个可能是4．
故选：．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式以及等比数列的性质，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．
五．等比数列的前n项和（共4小题）
13．（2023•开福区校级模拟）设等比数列的前项和为，已知，，则
A．B．C．2D．3
【分析】根据题意，设等比数列的公比为，由，变形可得，进而求出的值，结合等比数列的通项公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为，
若，即，变形可得，则有，
又由，则．
故选：．
【点评】本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
14．（2023•东城区模拟）已知为等比数列，为其前项和，若，，则
A．7B．8C．15D．31
【分析】利用等比数列前项和公式、通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出等比数列的前4项和．
【解答】解：为等比数列，为其前项和，，，
，
解得，，
．
故选：．
【点评】本题考查等比数列的前4项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（2023•南开区校级模拟）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
【分析】设塔的顶层共有盏灯，则数列公比为2的等比数列，利用等比数列前项和公式能求出结果．
【解答】解：设塔的顶层共有盏灯，
则数列公比为2的等比数列，
，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（2023•佛山一模）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则的值为
A．30B．10C．9D．6
【分析】设等比数列的公比为，则，由等比数列的性质可得，结合，列出关于和的方程组，求出和的值，进而求出的值．
【解答】解：设等比数列的公比为，则，且，
，，
又，，
，解得，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式和前项和公式，属于基础题．
六．数列的求和（共20小题）
17．（2023•宁都县校级模拟）已知数列，，，，，那么数列的前项和为
A．B．C．D．
【分析】先求得数列的通项公式为，继而数列的通项公式为，经裂项后，前项的和即可计算．
【解答】解：数列的通项公式为
数列的通项公式为
其前项的和为
故选：．
【点评】本题考查了数列求和的两种方法：公式法和裂项相消法．属于基础题．
18．（2023•南京模拟）记为数列的前项和，已知则 ．
【分析】根据递推式直接递推即可得出前8项，再用裂项相消法求和．
【解答】解：由，可得：
，，，，，，，，
所以
．
故答案为：．
【点评】本题考查数列递推式求通项，考查裂项相消求和，属基础题．
19．（2023•西山区校级模拟）定义各项为正数的数列的“美数”为．若各项为正数的数列的“美数”为，且，则 ．
【分析】首先利用“美数”的定义，得到，再求数列的通项公式，并得到，最后利用裂项相消法求和．
【解答】解：因为各项为正数的数列的“美数”为，
所以，
设数列的前项和为，
则，
所以，
当时，，
所以，满足式子，
所以，
又，所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数列的递推式，考查了裂项相消法求和，同时考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
20．（2023•西安校级三模）已知数列是等差数列，，且，，成等比数列．给定，记集合的元素个数为．
（1）求，，的值；
（2）设数列的前项和为，判断数列的单调性，并证明．
【分析】（1）由题意设等差数列的公差为，结合题意可得，即，求出，即可得出答案；
（2）由（1）得集合，的元素个数为，即集合，的元素个数为，，即，求出，利用作差法，即可证明结论．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
，且，，成等比数列，
，即，解得，
，
集合，的元素个数为，
当时，集合，的元素个数为，即；
当时，集合，的元素个数为，即，
当时，集合，的元素个数为，即，
故，，；
（2）数列单调递增，
证明：由（1）得集合，的元素个数为，即集合，的元素个数为，
，即，
，
，
数列单调递增．
【点评】本题考查数列的求和、等差数列与等比数列的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．（2023•抚松县校级模拟）已知为等比数列的前项和，若，，成等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，证明：．
【分析】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首项，即可得出答案；
（2）求出，然后运用裂项相消法求出，即可证明结论；
【解答】解：（1）设数列的公比为，
，，成等差数列，，即，解得，
又，则，解得，
，即数列的通项公式为；
（2）证明：由（1）得，
故，
当时，取得最大值，当时，，
，
故．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和裂项相消法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22．（2023•和平区校级一模）已知数列满足．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若记为满足不等式的正整数的个数，数列的前项和为，求关于的不等式的最大正整数解．
【分析】（1）根据等差数列的定义，证明为常数，由等差数列通项公式得，即可得出答案；
（2）不等式即为，从而可确定的个数，即，然后由错位相减法求得，结合是递增数列，通过估值法得出不等式的最大正数解．
【解答】解：（1），
，即，
数列为公差为的等差数列，
故；
（2），
，
这样有个，
故，，，
，
两式相减得，
，
又为递增数列，
又，，，则，
故最大正整数解为8．
【点评】本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
23．（2023•杭州模拟）设正项数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）能否从中选出以为首项，以原次序组成的等比数列．若能，请找出公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式，并求出数列的前项和；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据数列的递推式得到数列是以4为首项，2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）当，时，会得到数列中原次序的一列等比数列，此时的公比，是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列中，整理得的通项公式为：，利用分组求和即可求解．
【解答】解：（1）设正项数列的前项和为，且，
，，
当时，，即，
得或（舍去），
当时，由，①
得，②
①②得：，
化简得，
因为，所以，，
即数列是以4为首项，2为公差的等差数列，
所以，
则数列的通项公式为，
（2）存在．
当，时，
会得到数列中原次序的一列等比数列，
此时的公比，是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列中；
下面证明此时的公比最小：
，假若取，公比为，
则为奇数，不可能在数列中，
所以，
又，所以，即的通项公式为：，
故．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和分组求和，属于中档题．
24．（2023•广东模拟）已知数列，时，．
（1）求数列的通项公式；
（2）为各项非零的等差数列，其前项和为，已知，求数列的前项和．
【分析】（1）根据，的关系，即可得出答案；
（2）利用错位相减法，即可得出答案．
【解答】解：（1）①，
当时，②，
由①②得，
，
当时，满足上式，
；
（2）由（1）得，
则，
又在各项非零的等差数列中，则，
，
③，④，
由③④得，
，
．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
25．（2023•湖南模拟）已知正项数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：．
【分析】（1）利用与的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式，即可得出答案；
（2）由（1）得，则，利用裂项求和法求得，即可证明结论．
【解答】解：（1）①，
当时，，，则，
当时，②，
由①②得，
又，则，
数列是首项为1，公差为1的等差数列，
；
（2）证明：由（1）得，则，
，
故成立．
【点评】本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
26．（2023•市中区校级二模）已知两个正项数列，满足，．
（1）求，的通项公式；
（2）若数列满足，其中表示不超过的最大整数，求的前项和．
【分析】（1）依题意可得，，即可求出、；
（2）根据高斯函数先推出的解析式，再运用等差数列求和公式计算可得．
【解答】解：（1）由，得，
由，得，，是正项数列，，
；
（2），
，
当时
，
当时满足，
．
【点评】本题主要考查数列的求和，数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题．
27．（2023•鼓楼区校级模拟）设为数列的前项和，已知，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围．
【分析】（1），，两式相减，求解并验证即可；
（2）根据（1）得到的通项公式，结合裂项相消法求出，再分和两种情况，讨论即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，
，
则，
两式相减得：，
即，
则，
当时，；
当时，符合上式，
故数列的通项公式为．
（2）根据（1）可知，当时，，
即，
，
，
当时，满足，
当时，存在，使得，
则，
所以，不满足条件，
所以．
故的取值范围是，．
【点评】本题考查数列的应用，属于中档题．
28．（2023•汉滨区校级模拟）在数列中，已知，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
【分析】（Ⅰ）先将题干中递推公式进行转化，进一步推导即可发现数列是首项为2，公比为2的等比数列，通过计算数列的通项公式即可计算出数列的通项公式；
（Ⅱ）先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列的通项公式，再运用错位相减法即可计算出数列的前项和．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，当时，由，
两边同时减去，
可得，
，
数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，
故，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
，
设数列的前项和为，
则，
，
两式相减，
可得
，
．
【点评】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，错位相减法，等比数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
29．（2023•抚松县校级模拟）已知等差数列满足，．数列的前项和满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）对于集合，，定义集合且．设数列和中的所有项分别构成集合，，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和．
【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，进而得到；由数列的递推式和您的通项公式求得；
（2）求得数列的前50项中数列和中相同的项，可得数列前50项由数列的前52项再去掉的，这两项构成，由等差数列的求和公式计算可得所求和．
【解答】解：（1）由等差数列满足，，
可得，解得，
；
数列的前项和满足．
可得时，，解得，
当时，，
化为，
可得；
（2）由于，，，，
所以中要去掉数列的2项：9，81，
所以数列前50项由数列的前52项再去掉的，这两项构成，
所以．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
30．（2023•广西模拟）已知数列的前项和为，在①且；②；③且，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
（1）已知数列满足_____，求的通项公式；
（2）已知正项等比数列满足，，求数列的前项和
【分析】（1）若选①，由已知可推得，进而得出数列是常数列，从而得出；若选②，由已知推得，进而根据与的关系，即可推得；若选③，根据等差中项的性质，可推得数列是等差数列，然后由已知求得，即可得出；
（2）根据已知可求出，然后根据对数运算以及裂项化简可得，然后相加即可得出．
【解答】解：（1）若选①且，
由可得，
又，
所以数列是常数列，且，所以；
若选②，
由已知可得，，
当时，有，
当时，有，
，
两式作差可得，，
所以，
又满足，所以；
若选③且，，
由可得，，
所以，数列是等差数列，
又，，
所以，所以，所以；
（2）由（1）知，，所以，
设等比数列公比为，
由已知可得，解得，
所以，
所以，
所以．
【点评】本题考查了数列的递推式和裂项相消求和，属于中档题．
31．（2023•让胡路区校级三模）已知数列、，满足，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【分析】（1）分析可知对任意的，，推导出数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；
（2）求出的表达式，然后利用裂项相消法可求得的表达式．
【解答】解：（1）因为，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，
即，，
又因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以的通项公式为．
（2），则，
所以，
故．
【点评】本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
32．（2023•华容县模拟）已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【分析】（1）直接利用题中的已知条件，建立方程组，进一步求出数列的通项公式；
（2）由（1）的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．
【解答】（1）解：设的公差为，的公比为，，，
联立，整理可得，解得，
所以，．
（2）解：由（1）知，
则，①，
，②，
①②，得．
所以．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
33．（2023春•袁州区校级期中）已知数列的前项和为，，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【分析】（1）根据对数运算得，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列为等差数列，建立方程求出公差，从而可得的通项；
（2）利用错位相减法计算即可．
【解答】解：（1），
，
，为等比数列，
又，得，
，
，是等差数列，
又且，，
，解得，，
；
（2），，
，
，
，
两式相减可得：
，
．
【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式的求解，错位相减法求和，方程思想，化归转化思想，属中档题．
34．（2023•邵阳二模）已知为数列的前项和，，，记．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，记数列的前项和为，求证：．
【分析】（1）由数列的递推式和等比数列的通项公式、结合对数的运算性质可得所求通项公式；
（2）求得，分别讨论为奇数或偶数，再由数列的裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，可得证明．
【解答】解：（1）由，可得，
即，即有，
可得，
则，；
（2）证明：
，
当为偶数时，
，
由在上递增，可得；
当为奇数时，
，
由，可得．
所以．
【点评】本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
35．（2023•庐阳区校级模拟）已知正项数列满足，．
（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求．
【分析】（1）根据递推公式将其分解整理可得，两边同时加1即可证明数列是等比数列，根据等比数列通项公式即可求出数列的通项公式；（2）由（1）可写出，分别对是奇数和偶数两种情况进行分类讨论即可求得结果．
【解答】解：（1）将等式右边分解得，
因为已知，所以，
所以，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，
即．
所以数列的通项公式为
（2）结合（1）知，
所以当为偶数时，．
当为奇数时，．
所以数列的前项和
【点评】本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和数列的并项求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
36．（2023•建华区校级三模）在等比数列和等差数列中，，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，，记数列的前项积为，证明：．
【分析】（1）根据等差数列、等比数列通项公式即可求解；（2）求出，判断的单调性即可求解．
（2）由已知先判断数列的单调性，然后结合单调性即可求解．
【解答】解：（1）设数列的公比为，数列的公差为，
由，有，，
又由，有，有，
又由，有，有，有，
可得，得或（舍去），故，，
故，；
（2）证明：由（1）知：，，
则，
当，2时，；
当时，，即，
又，，，，，
故，，
当时，，，
故．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式，还考查了数列单调性在数列最值求解中的应用，属于中档题．
七．数列递推式（共8小题）
37．（2023•汉滨区校级模拟）设函数，数列，满足，，则
A．B．C．D．
【分析】由函数的解析式求得，，计算可得结论．
【解答】解：函数，数列，满足，，
可得，，即，
则，，，，，
可得．
故选：．
【点评】本题考查函数的解析式和等差数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
38．（2023•辽宁模拟）已知数列满足，，则
A．B．C．D．
【分析】由题意可得：数列是以1为首项，2为公差的等差数列，然后结合等差数列的通项公式的求法求解即可．
【解答】解：已知数列满足，，
则，
又，
即数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
即，
则．
故选：．
【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等差数列的通项公式的求法，属基础题．
39．（2023•福建模拟）已知数列满足，，恒成立，则的最小值为
A．3B．2C．1D．
【分析】通过等差数列的定义求出的通项公式，再利用裂项相消法求出，进而确定的最小值．
【解答】解：，是等差数列，
又，，
故对，，
也符合上式，
，
故，即的最小值为1．
故选：．
【点评】本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于中档题．
40．（2023•广州二模）在数列中，，，若，则正整数 10 ．
【分析】由题意令，则，可得数列是首项为2，公差为2的等差数列，求出，结合题意，即可得出答案．
【解答】解：，，
令，则，
数列是首项为2，公差为2的等差数列，
，
又，即，
，解得或，
为正整数，．
故答案为：10．
【点评】本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
41．（2023•吉林模拟）著名的斐波那契数列满足，，其通项公式为，则是斐波那契数列中的第 101 项；又知高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则
【分析】根据斐波那契数列的定义，化简得，即可得出答案；利用，则，即可得出答案．
【解答】解：，，
，
则是斐波那契数列中的第101项；
列出斐波那契数列有1，1，2，3，5，8，13，，，
则，
，令，则，
，
，
，故，
则，
．
故答案为：101；842．
【点评】本题考查数列的递推式，考查运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
42．（2023•斗门区校级三模）已知数列的前项和为，，且，则 2000 ．
【分析】令，可得，利用等比数列的定义和通项公式，即可得出答案．
【解答】解：令，
，且，
，，
，
数列是首项为8，公比为2的等比数列，
，即，
．
故答案为：2000．
【点评】本题考查数列的递推式和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
43．（2023•黄州区校级三模）已知数列满足：，若，且数列为递增数列，则实数的取值范围为 ．
【分析】根据题意，两边同时取倒数，然后变形即可得到数列是等比数列，从而得到，再根据其为递增数列，列出不等式，即可得到结果．
【解答】解：因为，两边取倒数可得，
变形可得，所以数列是等比数列，且首项为，公比为2，所以，
则，又，数列为递增数列，
所以，即．
当时，，即，解得．
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数列的单调性在参数范围求解中的应用，属于中档题．
44．（2023•朝阳区二模）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，．给出下列四个结论：
①存在，使得，，成等差数列；
②存在，使得，，成等比数列；
③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列；
④存在正整数，，，，且，使得．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】由，，成等差数列判断①；由数列任意连续三项为奇数，奇数，偶数或奇数，偶数，奇数，结合是否能成立判断②；利用递推式可得，即判断③；写出前16项判断是否存在使判断④．
【解答】解：由题设，，显然，，成等差数列，①正确；
由题设知：，，在上，依次为奇数，奇数，偶数或奇数，偶数，奇数或偶数，奇数，奇数，
所以不可能有，故不存在使，，成等比数列，②错误；
由，，，
所以，故，则成等差数列，
故存在使得对任意，都有，，成等差数列，③正确；
由，，，，，，
所以，则，
由题设，数列前16项分别为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，
其中，
所以存在正整数，，，，且，使得，④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了等差、等比数列的定义性质判断，还考查了数列的递推关系的应用，属于中档题．
八．数列与不等式的综合（共9小题）
45．（2023•淄博二模）已知等差数列的首项为，公差为2．数列满足．
（1）求取得最小值时的值；
（2）若，证明：．
【分析】（1）利用累加法结合等差数列的求和公式即得；
（2）利用裂项求和法结合条件即得．
【解答】解：（1）由，得，，，，
累加可得：，
所以，
由二次函数的性质可得，取最小值时，的值为2；
证明：（2）由（1）可知，若，则，
所以
，
显然时，，
可得．
【点评】本题主要考查了累加法求数列的通项公式，考查了裂项相消法求和，属于中档题．
46．（2023•河南模拟）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【分析】（1）利用等差数列前项和基本量的运算求解公差，写出等差数列通项公式即可；
（2）对和变形后利用裂项相消法求和，再利用放缩法证明即可．
【解答】（1）解：由题意，设等差数列的公差为，
则，
解得，
，．
（2）证明：由（1）可得，
，
．
【点评】本题主要考查等差数列的基本运算，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了方程思想，转化与化归思想，裂项相消法，放缩法，等差数列的求和公式的应用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
47．（2023•郑州三模）已知数列与的前项和分别为和且对任意，恒成立．
（1）若，，求；
（2）若对任意，都有，及恒成立，求正整数的最小值．
【分析】（1）根据题干已知条件并结合公式推导出数列的通项公式，代入后化简整理，进一步推导即可发现数列是以2为首项，2为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式即可计算出前项和的表达式；
（2）先根据代入进行化简整理，进一步推导即可发现数列是以为首项，3为公比的等比数列，初步计算出前项和关于首项的表达式，然后运用裂项相消法计算出，再转化为关于的表达式，最后根据不等式的性质即可推导出满足不等式的正整数的最小值．
【解答】解：（1）由题意，当时，，
当时，
，
当时，也满足上式，
，，
由，
可得，
整理，得，
，
数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
．
（2）依题意，由及，
可得，
化简整理，得，
故数列是以为首项，3为公比的等比数列，
，
，
，
对任意，都有恒成立，
，即，
的为正整数，
满足不等式的正整数的最小值为3．
【点评】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了整体思想，分类讨论思想，转化与化归思想，等差数列和等比数列求和公式的运用，不等式的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
48．（2023•包河区模拟）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，．球数构成一个数列，满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
【分析】（1）利用累加法求解即可；
（2）利用裂项相消法求解即可．
【解答】解：（1）因为，，所以，，
所以当时，
，
当时，上式也成立，
所以；
（2）证明：由，
所以．
【点评】本题主要考查数列与不等式的综合，数列递推式，裂项求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
49．（2023•让胡路区校级模拟）已知数列为等差数列，数列满足，且，．
（1）求，的通项公式；
（2）证明：．
【分析】（1）根据等差数列的性质和通项公式进行求解即可；
（2）利用裂项相消法进行求解即可．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为．
由，
所以数列为等差数列，且，的公差相等，均为．
由，得，则．
由，得，即．
因为，所以，则有，则，
故数列的通项公式为，
则数列的通项公式；
（2）证明：由（1）可知，
则
．
【点评】本题主要考查数列与不等式的综合，等差数列的通项公式，裂项求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
50．（2023•渭南模拟）已知首项为1的数列的前项和为，且．
（1）求及数列的通项公式；
（2）数列中是否存在连续的三项成一个等差数列？如果存在，求出所有的这三项；如果不存在，请说明理由．
（3）若数列满足，求证：．
【分析】（1）由已知递推式两边同时除以，结合等差数列的定义和通项公式、数列的通项与前项和的关系，可得及数列的通项公式；
（2）数列中假设存在连续的三项成一个等差数列，结合等差数列的中项性质，化简整理，可得结论；
（3）由，结合不等式的放缩法和不等式的性质，可得证明．
【解答】解：（1）由，
两边同时除以，可得，
则是首项为，公差为的等差数列，
即有，
即为，
时，，
上式对也成立，
所以，；
（2）数列中假设存在连续的三项成一个等差数列，设，，成等差数列，
则，即为，
即，即有不成立，所以不存在连续的三项成一个等差数列；
（3）证明：由，可得，
所以．
即有原不等式成立．
【点评】本题考查数列的通项与前项和的关系，以及等差数列的通项公式和不等式的放缩法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
51．（2023•哈尔滨二模）已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设数列满足求最小的实数，使得对一切正整数均成立．
【分析】（1）条件两端取倒数，化成目标的形式，根据等比数列定义即可；
（2）先求出，奇偶项分开求和，一部分是等比数列求和，一部分是裂项相消求和．
【解答】解：（1）证明：由于，则，
于是，由于，则，
故数列是首项为，公比为等比数列；
（2）由（1）知，则，
由于，则
，
当时，，
由对一切正整数均成立可得，
故最小的实数为：．
【点评】本题考查等比数列的概念，以及分组求和、裂项相消求和，属于中档题．
52．（2023•葫芦岛一模）设等差数列的前项和为，已知，，等比数列满足，．
（1）求；
（2）设，求证：．
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等差中项性质，计算得，；
（2）根据等比数列的通项公式和等比中项性质，计算得，错位相减法证明．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
则由题意得，
解得，
，，
；
证明：（2）设等比数列的公比为，
由题意得，，解得：，，
，，
，
又，
令，
，
两式相减得，
，
．
【点评】本题考查求等差等比数列的通项公式和用错位相减法求数列的前项和，属于中档题．
53．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知等差数列的前项和为，公差为，，且．
（1）求；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）根据等常数列的前项和公式以及通项公式化简，即可得答案．
（2）利用裂项求和法求得的表达式，根据对任意恒成立，可得相应不等式，求得答案．
【解答】解：（1）由题意等差数列的前项和为，公差为，，且，
，
所以，
则，即，
故．
（2），
所以，
而，
故对任意恒成立，
需，即或．
所以的取值范围为，．
【点评】本题考查等差数列以及裂项求和法的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
九．等差数列与等比数列的综合（共7小题）
54．（2023•大理市二模）已知等差数列和等比数列满足，，，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和．
【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，再求出的通项公式；
（Ⅱ）分的前60项中含有的前6项，的前60项中含有的前7项两种情况，求得的范围，结合等差数列和等比数列的求和公式，再求出．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，
，，
，．
（Ⅱ）当的前60项中含有的前6项时，
令，可得，
此时至多有项（不符）；
当的前60项中含有的前7项时，
令，可得，
且，，是和的公共项，
则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项．
．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
55．（2023•德阳模拟）已知首项为的等比数列的前项和为，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的最大项．
【分析】（1）设出公比，分和两种情况，根据条件得到方程，求出公比，进而求出通项公式；
（2）根据等比数列求和公式得到，换元后，利用函数单调性求出最大值．
【解答】解：（1）由题意得，
设公比为，若，此时，此时不满足；
若，则，
故，即，
由于，故，解得或1（舍去），
故；
（2），故，
所以，
令，，
由对勾函数可知在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，
所以数列的最大项为．
【点评】本题考查等差（比数列的通项与前项和的求法，以及利用函数知识求数列的最大值，属于中档题．
56．（2023•泰和县一模）公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的通项公式及其前项和．
【分析】（Ⅰ）公差不为零的等差数列，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得公差和首项，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）由等比数列的通项公式可得，所以，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】解：（Ⅰ）公差不为零的等差数列，
由，得，即，可得，
又，，成等比数列，，
即，
可得，
解得或（舍去），
，故．
（Ⅱ）由是首项为1，公比为2的等比数列，可得，
所以，
所以前项和
．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查分组求和方法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
57．（2023•兴庆区校级四模）在等差数列中，已知公差，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值．
【分析】（1）由已知列式求得等差数列的公差，可得通项公式；
（2）由，得，由，得，把去绝对值后利用等差数列的求和公式求解．
【解答】解：（1），，，，
又，，成等比数列，，
即，
化简得，解得或，
又，，
；
（2）由（1）得，由，得，由，得，
，
．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查等比数列的性质，是基础题．
58．（2023•龙岗区校级二模）已知是等差数列，，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记，求．
【分析】（1）设出公差，利用已知条件求解公差，然后求解数列的通项公式．
（2）化简通项公式，通过为偶数与奇数，转化求解即可．
【解答】解：（1）是等差数列，，，且，，成等比数列，
设等差数列公差为，由题意，
解得或（不符合题意，舍去），
所以．
（2）由题意知，，
．
当为偶数时，
，
当为奇数时，
．
综上．
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
59．（2023•上饶模拟）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，成等比数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求满足条件的的最小值．
【分析】（1）设等差数列的公差为，由，，成等比，求得，再由，求得或，进而得到，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）求得，得到，
令，进而得到的最小值．
【解答】（1）解：设等差数列的公差为，因为，，成等比，
所以，
可得，整理得，
又因为，所以，
因为，所以，
解得或，
当时，，不合题意舍去；
当时，，则，
所以数列的通项公式为．
（2）解：由，可得，
所以，
当时，，此时，不符合题意，
当时，，
令，可得，
即，解得，
所以的最小值为4．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，还考查了数列的裂项求和方法的应用，属于中档题．
60．（2023•潍坊二模）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求数列的最大项．
【分析】（1）由已知建立方程求出等差数列的首项，即可求出通项公式；
（2）把数列的通项公式代入，整理后换元，再由函数的单调性求最值．
【解答】解：（1）由题可知，公差，且，，成等比数列，
则，即，
，
解得，
；
（2），
令，则，
，
在上单调递减，在上单调递增，且，
当或时，可能取得最大值，而时，不合题意，
故，即时，数列取最大值为．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与等比数列的性质，训练了利用导数求最值，是中档题．