新高考数学一轮复习综合训练07平面向量及其应用（10种题型60题专练）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023•大理州模拟）若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（ ）
A．B．C．4D．12
2．（2023•广西模拟）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠BAC＝，＝2，则•＝（ ）
A．18B．9C．12D．6
3．（2023•市中区校级模拟）在△ABC中，有，则tanC的最大值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023•阿勒泰地区一模）在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝135°，，若AD⊥AC，则λ＝（ ）
A．B．C．D．
5．（2023•河北模拟）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知A，B两点间的距离为2，点P为上的一点，则的最小值为 ．
6．（2023•重庆模拟）已知向量的夹角为60°，，若对任意的x1、x2∈（m，+∞），且x1＜x2，，则m的取值范围是（ ）
A．[e3，+∞）B．[e，+∞）C．D．
7．（2023•毕节市模拟）已知点G为三角形ABC的重心，且，当∠C取最大值时，csC＝（ ）
A．B．C．D．
8．（2023•合肥三模）哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段AB和两个圆弧AC、BC围成，其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B，圆O与线段AB及两个圆弧均相切，若AB＝2，则＝（ ）
A．B．C．D．
9．（2023•宜章县二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2csin（）．
（1）求C；
（2）若c＝1，D为△ABC的外接圆上的点，•＝2，求四边形ABCD面积的最大值．
二．投影向量（共6小题）
10．（2023•湖南模拟）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．1B．﹣1C．D．
11．（2023•全国二模）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023•武陵区校级模拟）若向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023•静安区二模）已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于 ．
14．（2023•石家庄二模）已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023•河北三模）已知平面向量，为单位向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
三．平面向量的基本定理（共5小题）
16．（2023•泰州模拟）在平行四边形ABCD中，，．若，则m+n＝（ ）
A．B．C．D．
17．（2023•贵阳模拟）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（ ）
A．﹣B．﹣+C．+D．﹣
18．（2023•淄博模拟）已知△ABO中，OA＝1，OB＝2，，过点O作OD垂直AB于点D，则（ ）
A．B．
C．D．
19．（2023•开封一模）已知△ABC中，D为BC边上一点，且，则＝（ ）
A．B．C．D．
20．（2023•海安市校级一模）已知等边△ABC的边长为2，D为BC的中点，P为线段AD上一点，PE⊥AC，垂足为E，当时，＝（ ）
A．B．C．D．
四．平面向量共线（平行）的坐标表示（共4小题）
21．（2023•乌鲁木齐模拟）已知向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+n与﹣2共线，则等于（ ）
A．﹣B．C．﹣2D．2
22．（2023•龙口市模拟）已知向量＝（m2，﹣9），＝（1，﹣1），则“m＝﹣3”是“∥”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
23．（2023•林芝市二模）已知向量，，且，则＝ ．
24．（2023•高州市二模）已知向量，，若与平行，则实数λ的值为（ ）
A．B．C．6D．﹣6
五．数量积表示两个向量的夹角（共4小题）
25．（2023•2月份模拟）平面向量与相互垂直，已知＝（6，﹣8），，且与向量（1，0）的夹角是钝角，则＝（ ）
A．（﹣3，﹣4）B．（4，3）C．（﹣4，3）D．（﹣4，﹣3）
26．（2023•沈阳三模）已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是 ．
27．（2023春•大理市校级期中）已知平面向量，则向量与的夹角为 ．
28．（2023•杨浦区校级三模）对任意两个非零的平面向量和，定义⊗＝．若平面向量，满足||≥||＞0，与的夹角θ∈（0，），且⊗和⊗都在集合{|n∈Z}中，则⊗＝ ．
六．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共5小题）
29．（2023•运城三模）已知向量满足，且，则实数λ＝（ ）
A．1或B．﹣1或C．1或D．﹣1或
30．（2023•安徽模拟）已知平面向量，若与垂直，则实数t＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
31．（2023•桃城区校级模拟）已知向量，，若，则cs2θ＝（ ）
A．B．C．D．
32．（2023•红河州一模）已知向量＝（2，m），＝（4，﹣1），且（﹣）⊥（+），则实数m＝（ ）
A．2B．C．8D．
33．（2023•平定县校级模拟）已知向量，，，且，则实数m＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．任意实数
七．正弦定理（共5小题）
34．（2023•汕头二模）在△ABC中，已知C＝45°，b＝，c＝2，则角B为（ ）
A．30°或150°B．60°C．30°D．60°或120°
35．（2023•宝鸡模拟）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
（1）证明：2a＝b+c；
（2）若csA＝，a＝2，求△ABC的面积．
36．（2023•榆林二模）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且2csin（B﹣A）＝2asinAcsB+bsin2A，则的取值范围是 ．
37．（2023•邢台一模）已知△ABC内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，2．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝4，求△ABC面积的取值范围．
38．（2023•潮阳区三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．C＝，AB边上的高为．
（1）若S△ABC＝2，求△ABC的周长；
（2）求的最大值．
八．余弦定理（共8小题）
39．（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC中，若a2+c2﹣b2＝﹣ac，则角B＝（ ）
A．120°B．60°C．135°D．150°
40．（2023•蒙城县校级三模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且cs2C﹣cs2A＝sinAsinB﹣sin2B．
（1）求∠C的大小；
（2）已知a+b＝4，求△ABC的面积的最大值．
41．（2023•崇州市校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝ ．
42．（2023•铜仁市模拟）锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝a（a+b），则sinA的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
43．（2023•琼山区校级一模）已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．a＝2，b＝2，且csA（ccsB+bcsC）+asinA＝0．
（1）求A；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
44．（2023•江西模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2+b2﹣c2＝2S．
（1）求csC；
（2）若acsB+bsinA＝c，，求b．
45．（2023•榆林二模）在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若△ABC的面积是，则A＝（ ）
A．B．C．D．
46．（2023•大理州模拟）在①2a﹣b＝2ccsB，②S＝（a2+b2﹣c2），③sin（A+B）＝1+2sin2三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设△ABC的面积为S，已知______．
（1）求角C的值；
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为，求边长a的值．
九．三角形中的几何计算（共4小题）
47．（2023•天门模拟）某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）．如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P．若AB＝3，则sin∠PAC＝ ；若AC：AB：BC＝6：5：4，则PA+PB+PC的值为 ．
48．（2023•江宁区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，设△ABC的面积为S，满足，求b的值．
49．（2023•江西模拟）《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时（注：一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（ ）
A．B．C．D．
50．（2023•浑南区校级三模）如图，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交f（x）的图象于点D，O（坐标原点）为△ABD的重心（三条边中线的交点），其中A（﹣π，0），则tanB＝ ．
一十．解三角形（共10小题）
51．（2023•宜春模拟）如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km．行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了（ ）（sin12°≈0.21，sin18°≈0.31）
A．10kmB．20kmC．30kmD．40km
52．（2023•衡水模拟）已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求角A的大小；
（2）设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD＝2，b＝3，求△ABC的面积．
53．（2023•重庆模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）设AB的中点为D，若CD＝a，且b﹣c＝1，求△ABC的面积．
54．（2023•桃城区校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（csB+csC）+（b+c）cs（B+C）＝0．
（1）求A；
（2）若D为线段BC延长线上的一点，且BA⊥AD，BD＝3CD，求sin∠ACD．
55．（2023•晋江市校级模拟）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围．
56．（2023•黄石模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acsC+csinA＝b．
（1）求A；
（2），BD＝3，求△ABC面积的最大值．
57．（2023•宁波一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求的值；
（2）若，求csA．
58．（2023•宜春一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b＝2ccsB．
（1）求证：C＝2B；
（2）求的最小值．
59．（2023•江西二模）在①；②a（3sinB+4csB）＝4c，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，_____．
（1）求sinA的值；
（2）若△ABC的面积为2，a＝4，求△ABC的周长．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
60．（2023•开福区校级二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为2的等差数列．
（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积．
（2）是否存在正整数b，使得△ABC的外心在△ABC的外部？若存在，求b的取值集合；若不存在，请说明理由．