3.6利用导数研究不等式恒(能)成立问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.6利用导数研究不等式恒(能)成立问题

【题型解读】

【知识储备】

1.恒成立与能成立问题的解决策略大致分四类：

①构造函数，分类讨论；

②部分分离，化为切线；

③完全分离，函数最值；

④换元分离，简化运算；

在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.

一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．

【题型精讲】

【题型一　端点效应处理不等式求参】

例1　（2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数f(x)＝ex－x2－ax－1，g(x)＝cosx＋x2－1．

(1)当a＝1时，求证：当x≥0时，f(x)≥0；

(2)若f(x)＋g(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．

【题型精练】

1．（2022·天津·崇化中学期末）设函数f(x)＝(1－x2)ex．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求实数a的取值范围．

2. （2022·山东济南高三期末）设函数f (x)＝(1＋x－x2)ex(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．

(1)讨论f (x)的单调性；

(2)当x≥0时，f (x)≤ax＋1＋2x2恒成立，求实数a的取值范围．

【题型二　分离参数法处理不等式求参】

方法技巧   分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；

a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；

a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；

a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.

例2　（2022·山东青岛高三期末）已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x3＋ax2－x＋2．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．

【题型精练】

1．（2022·天津市南开中学月考）已知函数f(x)＝ex＋ax2－x．

(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围．

2. （2022·安徽省江淮名校期末）已知函数f(x)＝ex－xlnx，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R，其中e为自然对数的底数．

(1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若g(x)≥f(x)对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求t的取值范围．

【题型三　最值法处理不等式求参】

方法技巧  最值法处理不等式求参

根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．

例3　（2022·河南高三期末）已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

【题型精练】

1．（2022·广东·高三期末）已知a∈R，设函数f(x)＝aln(x＋a)＋lnx．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若f(x)≤＋ln－1恒成立，求实数a的取值范围．

【题型四　同构法处理不等式求参】

例4　（2022·黑龙江工农·鹤岗一中高三期末）已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna．

(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

【题型精练】

1.（2022·全国高三课时练习）已知函数f(x)＝eax－x．

(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为1，求f(x)的单调区间；

(2)若不等式f(x)≥eaxln x－ax2对x∈(0，e]恒成立，求a的取值范围．

【题型五　双变量不等式求参】

例5　（2022·辽宁省实验中学分校高三期末）已知函数f(x)＝＋aln x，其中参数a<0．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设函数g(x)＝2x2f′(x)－xf(x)－3a(a<0)，存在实数x1，x2∈[1，e2]，使得不等式2g(x1)<g(x2)成立，求a的取值范围．

【题型精练】

1. （2022·江苏·昆山柏庐高级中学期末）设f(x)＝＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3．

(1)如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；

(2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．

2. （2022·山东·历城二中期末）设函数f(x)＝(a∈R)．

(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线过点M(2，3)，求a的值；

(2)设g(x)＝x＋－，若对任意的n∈[0，2]，存在m∈[0，2]，使得f(m)≥g(n)成立，求a的取值范围．