新高考数学二轮复习常考题分类讲练第10讲 恒成立能成立3种常见题型（2份，原卷版+解析版）

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考点一：恒成立问题
若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
考点二：存在性问题
若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
考点三：双变量问题
①对于任意的，总存在，使得；
②对于任意的，总存在，使得；
③若存在，对于任意的，使得；
④若存在，对于任意的，使得；
⑤对于任意的，使得；
⑥对于任意的，使得；
⑦若存在，总存在，使得
⑧若存在，总存在，使得．
【题型目录】
题型一：利用导数研究恒成立问题
题型二：利用导数研究存在性问题
题型三：利用导数处理恒成立与有解问题
【典型例题】
题型一：利用导数研究恒成立问题
【例1】（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）对任意正实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2】【2022年全国甲卷】已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
【例3】已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
【例4】已知函数（是正常数）.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若，，求的取值范围；
【例5】已知函数
（1）求的极值点；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．
【题型专练】
1.（2022·四川广安·模拟预测（文））不等式恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
3.（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数，.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
4.（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
5．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
题型二：利用导数处理存在性问题
【例1】（2022·河北秦皇岛·三模）函数，若存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例2】已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．
(1)求函数；
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．
【例3】（2022·辽宁·高二阶段练习）已知，若在上存在x使得不等式成立，则a的最小值为______．
【题型专练】
1.已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
2．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）已知函数.
(1)若是的极值点，确定的值；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围.
3.已知函数，设在点处的切线为
（1）求直线的方程；
（2）求证：除切点之外，函数的图像在直线的下方；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围
4.已知函数．
（1）若在点处的切线斜率为．
①求实数的值；
②求的单调区间和极值．
（2）若存在，使得成立，求的取值范围．
5.已知函数.
（1）当a=1时，求曲线在x=1处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若存在，使得，求a的取值范围.
题型三：利用导数处理恒成立与有解问题
【例1】（2022·福建省福安市第一中学高三阶段练习）设函数，其中.若对，都，使得不等式成立，则的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．
【例2】已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值;
(2)若对任意的，均存在，使得，求a的取值范围．
【例3】已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【例4】（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型专练】
1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（ ）
A．7B．5C．D．3
2．（2022·福建宁德·高二期末）已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4.已知函数
(1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值与函数的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．
5.已知函数，为的导函数．
(1)求的定义域和导函数；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)若对，都有成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围．