高考数学二轮复习培优专题第10讲 恒成立能成立3种常见题型（含解析）

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第10讲 恒成立能成立3种常见题型
【考点分析】
考点一：恒成立问题
若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
考点二：存在性问题
若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
考点三：双变量问题
①对于任意的，总存在，使得；
②对于任意的，总存在，使得；
③若存在，对于任意的，使得；
④若存在，对于任意的，使得；
⑤对于任意的，使得；
⑥对于任意的，使得；
⑦若存在，总存在，使得
⑧若存在，总存在，使得．
【题型目录】
题型一：利用导数研究恒成立问题
题型二：利用导数研究存在性问题
题型三：利用导数处理恒成立与有解问题
【典型例题】
题型一：利用导数研究恒成立问题
【例1】（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）对任意正实数，不等式恒成立，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，其中，则，
，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，所以，，.
故选：B.
【例2】【2022年全国甲卷】已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
【答案】(1)
【解析】(1)的定义域为，
令,得
当单调递减，当单调递增，
若,则,即，所以的取值范围为
【例3】已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求，分别讨论不同范围下的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调性，结合，分别求出的范围再求并集即可.
【详解】解：（1）由已知定义域为，
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，在上单调递增.
所以时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；
当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；
若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，不满足对任意的恒成立.
所以综上所述：.
【例4】已知函数（是正常数）.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若，，求的取值范围；
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，的极大值是，无极小值；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间；
（2）依题意可得，设，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解；
【详解】
解：（1）当时，，定义域为，，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值是，无极小值.
（2）因为，，即恒成立，即.
设，可得，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即.
【例5】已知函数
（1）求的极值点；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）是的极小值点，无极大值点；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用导数研究函数的极值点.
（2）由题设知：在上恒成立，构造并应用导数研究单调性求最小值，即可求的范围．
【详解】
（1）由题设，，
∴时，，单调递减；时，，单调递增减；
∴是的极小值点，无极大值点.
（2）由题设，对恒成立，即在上恒成立，
令，则，
∴时，，递减；时，，递增；
∴，故.
【题型专练】
1.（2022·四川广安·模拟预测（文））不等式恒成立，则实数k的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可得在区间上恒成立，然后求函数的最大值即得.
【详解】
由题可得在区间上恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
所以，
所以.
故选：D.
2.（2022·北京·景山学校模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)极小值是，无极大值.
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题设可得，根据的符号研究的单调性，进而确定极值.
（2）对任意的恒成立，转化为：对任意的恒成立，令，通过求导求的单调性进而求得的最大值，即可求出实数a的取值范围.
(1)
当时，，的定义域为，，则.
令，则，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增.当时，取得极小值且为，无极大值.
(2)
对任意的恒成立，则对任意的恒成立，
令，，所以，则在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，则，则.
实数a的取值范围为：.
3.（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数，.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【解析】
【分析】
（1）求函数的单调递增区间，即解不等式；
（2）参变分离得，即求的最小值.
(1)
定义域为，即
解得，所以在单调递增
(2)
对任意，不等式恒成立，即恒成立，
分离参数得.令，则．
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以，
即，
故a的取值范围是.
4.（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，利用导数求函数在定义域上的最值即可；
（2）由原不等式恒成立分离参数后得，构造函数，利用导数求最小值即可.
(1)
由已知得，
令，得.
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
故.
(2)
，即，
因为，所以在上恒成立.
令，则，
令，得或（舍去）.
当时，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
故，所以，即实数的取值范围为.
5．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）方法一：利用导数研究函数的单调性，当a=1时，由得,符合题意；当a>1时，可证，从而存在零点，使得，得到，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得恒成立；当时，研究.即可得到不符合题意.综合可得a的取值范围.
【详解】
（1），，.
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为．
（2）［方法一］：通性通法
,，且.
设,则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,∴成立.
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
［方法二］【最优解】：同构
由得，即，而，所以．
令，则，所以在R上单调递增．
由，可知，所以，所以．
令，则．
所以当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以，则，即．
所以a的取值范围为．
［方法三］：换元同构
由题意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．
令，所以．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以当时，取得最大值为．所以．
［方法四］：
因为定义域为，且，所以，即．
令，则，所以在区间内单调递增．
因为，所以时，有，即．
下面证明当时，恒成立．
令，只需证当时，恒成立．
因为，所以在区间内单调递增，则．
因此要证明时，恒成立，只需证明即可．
由，得．
上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立．
当时，因为，显然不满足恒成立．
所以a的取值范围为．
【整体点评】
（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；
方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；
方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出；
方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可．
题型二：利用导数处理存在性问题
【例1】（2022·河北秦皇岛·三模）函数，若存在，使得，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，将问题转化为求解函数的最大值问题，先通过导数方法求出函数的最大值，进而求出答案.
【详解】因为，所以．由题意，只需．当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故实数的取值范围为．
故选：D.
【例2】已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．
(1)求函数；
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】
（1）求导后，根据和，解得即可得解；
（2）转化为，再利用导数求出函数在上的最小值，然后解不等式可得结果.
(1)
∵，
由，得且，解得，，
又，∴，
经检验，时，满足题意,
∴；
(2)
存在，使得，等价于，
∵，
当时，，当时，，
∴在上递减，在上递增，
又，，
∴在上的最小值为，
∴，解得或，
所以的取值范围是．
【例3】（2022·辽宁·高二阶段练习）已知，若在上存在x使得不等式成立，则a的最小值为______．
【答案】
【分析】将原式化为，构造函数，求导得函数在上单调递增，即得，两边取对数分离参数，构造函数，利用导数求解函数的最小值即可.
【详解】解：不等式成立，即成立，
因为，所以，
令，则，
因为，所以在上单调递增，
所以，即，
因为在上存在x使得不等式成立，
所以，
令，则，
故当时，取得最小值.
所以，即a的最小值为.
故答案为：.
【题型专练】
1.已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）当时，，得出的定义域并对进行求导，利用导数研究函数的单调性，即可得出的单调区间；
（2）将题意等价于在内有解，设，即在上，函数，对进行求导，令，得出，分类讨论与区间的关系，并利用导数研究函数的单调和最小值，结合，从而得出实数的取值范围.
(1)
解：当时，，可知的定义域为，
则，
可知当时，；当时，；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由题可知，存在，使得成立，
等价于在内有解，
可设，即在上，函数，
，
令，即，解得：或（舍去），
当，即时，，在上单调递减，
，得，
又，所以；
当时，即时，，在上单调递增，
，得，不合题意；
当，即时，
则在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
，
即，不符合题意；
综上得，实数的取值范围为.
【点睛】
思路点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数解决不等式成立的综合问题：
（1）利用导数解决单调区间问题，应先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；利用导数解决含有参数的单调性问题，要注意分类讨论和化归思想的应用；
（2）利用导数解决不等式的综合问题的一般步骤是：构造新函数，利用导数研究的单调区间和最值，再进行相应证明.
2．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）已知函数.
(1)若是的极值点，确定的值；
(2)若存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由已知可得出，求出的值，然后利用导数分析函数的单调性，结合极值点的定义检验即可；
（2）由参变量分离法可得出，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.
（1）解：因为，该函数的定义域为，则，
由已知可得，可得，此时，列表如下：









增
极大值
减
所以，函数在处取得极大值，合乎题意，故.
（2）解：存在，使得可得，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，则，
所以，，解得，因此，实数的取值范围是.
3.已知函数，设在点处的切线为
（1）求直线的方程；
（2）求证：除切点之外，函数的图像在直线的下方；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围
【答案】（1）y＝x﹣1；（2）见详解；（3）（﹣∞，1）.
【解析】
【分析】
（1）求导得，由导数的几何意义k切＝f′（1），进而可得答案．
（2）设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，求导得h′（x），分析h（x）的单调性，最值，进而可得f（x）﹣（x﹣1）≤0，则除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方．
（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，令g（x）＝，x＞1，只需a＜g（x）max．
【详解】
（1），
由导数的几何意义k切＝f′（1）＝1，
所以直线m的方程为y＝x﹣1．
（2）证明：设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，
，
函数定义域为（0，+∞），
令p（x）＝1﹣lnx﹣x2，x＞0，
p′（x）＝﹣﹣2x＜0，
所以p（x）在（0，+∞）上单调递减，
又p（1）＝0，
所以在（0，1）上，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
在（1，+∞）上，p（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）max＝h（1）＝0，
所以h（x）≤h（1）＝0，
所以f（x）﹣（x﹣1）≤0，
若除切点（1，0）之外，f（x）﹣（x﹣1）＜0，
所以除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方．
（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式f（x）＞a（x﹣1）成立，
则若存在x∈（1，+∞），使得不等式＞a成立，
即若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，
令g（x）＝，x＞1，
g′（x）＝
＝ ，
令s（x）＝x﹣1﹣（2x﹣1）lnx，x＞1
s′（x）＝1﹣2lnx﹣（2x﹣1）•，
令q（x）＝﹣x﹣2xlnx+1，x＞1
q′（x）＝﹣1﹣2lnx﹣2＝﹣3﹣2lnx＜0，
所以在（1，+∞）上，q（x）单调递减，
又q（1）＝0，
所以在（1，+∞）上，q（x）＜0，s′（x）＜0，s（x）单调递减，
所以s（x）≤s（1）＝0，即g′（x）≤0，g（x）单调递减，
又，
所以a＜1，
所以a的取值范围为（﹣∞，1）．
4.已知函数．
（1）若在点处的切线斜率为．
①求实数的值；
②求的单调区间和极值．
（2）若存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）①；②减区间为，增区间为，极小值为，无极大值； （2）.
【解析】
【分析】
（1）求得函数的导数，①根据题意得到，即可求得的值；
②由①知，结合导数的符号，以及极值的概念与计算，即可求解；
（2）设，根据存在，使得成立，得到成立，结合导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数的定义域为，且，
①因为在点处的切线斜率为，可得，解得.
②由①得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值，
综上可得，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.
（2）因为，由，即，
即，设
根据题意知存在，使得成立，即成立，
由，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
所以，即实数的取值范围是.
5.已知函数.
（1）当a=1时，求曲线在x=1处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若存在，使得，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）时，在单增；，在单增，在单减；（3）.
【解析】
【分析】
（1）求出函数导数，将切线横坐标代入得到斜率，再求出切点纵坐标，最后写出切线方程；
（2）求导后，通分，分两种情况讨论得到单调区间；
（3）当时，代特值验证即可，当时，函数最大值大于0，解出即可.
【详解】
由题意，
所以所以切线方程为：.
（2），若，则，在单增；
若，则时，，单增；时，，单减.
（3）由（2），若，则，满足题意；
若，，则，
综上：.
题型三：利用导数处理恒成立与有解问题
【例1】（2022·福建省福安市第一中学高三阶段练习）设函数，其中.若对，都，使得不等式成立，则的最大值为（       ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】由题意易知恒成立，则可等价为对，恒成立，利用参变分离，可变形为恒成立，易证，则可得，即可选出答案.
【详解】对，都，使得不等式成立，
等价于,
当时，，所以，
当时，，所以，
所以恒成立，当且仅当时，，
所以对，恒成立，即，
当，成立，
当时，恒成立.
记,
因为恒成立，
所以在上单调递增，且，
所以恒成立，即
所以.
所以的最大值为1.
故选：C.
【点睛】本题考查导数在不等式的恒成立与有解问题的应用，属于难题，
此类问题可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故；
（5）若，，有，则的值域是值域的子集．
【例2】已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值;
(2)若对任意的，均存在，使得，求a的取值范围．
【答案】(1)最大值为，最小值为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用导数研究的区间单调性，进而确定端点值和极值，比较它们的大小，即可得最值；
（2）将问题转化为、上，利用二次函数性质及导数求函数最值，即可得结果.
(1)
由题设，则，
所以在上，递增，在上，递减，
则，极大值，
综上，最大值为，最小值为.
(2)
由在上，
根据题意，只需即可，
由且，
当时，，此时递增且值域为R，所以满足题设；
当时，上，递增；上，递减；
所以，此时，可得，
综上，a的取值范围.
【点睛】
关键点点睛：第二问，将问题转化为、上求参数范围.
【例3】已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)当时，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为；
(2).
【解析】
【分析】
（1）首先对函数求导，根据的取值情况判断的正负情况，进而得到的增减情况；
（2）对任意，存在，使得成立，等价于，然后对进行讨论，分别求函数的最值，进而得到结论.
(1)
因为，
所以．
当时，与的变化情况如表所示：






0


单调递增

单调递减

所以当时，函数的单调递增区间为，
函数的单调递减区间为．
(2)
当时，，所以函数为偶函数．
所以当时，函数的单调递增区间为，，
函数的单调递减区间为，,
所以函数的最大值为．
设，则当时，．
对任意，存在，使得成立，
等价于．
当时，函数在区间上的最大值为，不合题意．
当时，函数在区间上的最大值为，
则，解得或，
所以．
当时，函数在区间上的最大值为，
则，解得，
所以.
综上所述，的取值范围是．
【例4】（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为使得成立，通过求得导数和单调性，可得最值，再根据不等式成立，结合参数分离可得的范围．
【详解】，使得成立，等价为使得成立，
由得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，，故
在成立，
当时，，
设，，则，
由，得，
所以在递减，所以，
则在递减，所以，
则，所以．
故选：A
【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得的值域与 的值域有交集即可，先求导分析的值域，再求导分情况讨论的单调性与值域，结合解集区间的端点关系列式求解即可
【详解】①当时，，则在上恒成立，
所以函数在区间上单调递减，则，即，
②当时，，函数在区间上单调递增，
所以，即，
综上，函数f（x）的值域为；
由题意，的值域与的值域有交集，故分析的值域.
又，，
若时，则，函数在上单调递增，所以，即，
此时若要满足题意，只需，当时恒成立；
当时，令，解得，，.
当时，，故函数在上单调递增，故，所以，所以，解得，
当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增；因为，，
故若值域满足与有交集，则只能，解得，此时
当时，，在上单调递减，所以，，此时，不满足题意
综上，实数a的取值范围为
故选：C．
【题型专练】
1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（       ）
A．7 B．5 C． D．3
【答案】D
【分析】分别求出两个函数在对应区间上的最大值，然后可得答案.
【详解】因为，所以，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，，，，
所以当时，，
因为，所以在区间上单调递减，
所以当时，，
因为对任意，总存在，使得成立，所以，即，
所以实数的最大值为3，
故选：D
2．（2022·福建宁德·高二期末）已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】原命题等价于，再求和解不等式即得解.
【详解】，使得成立，则，
由题得，
当时，，当时，，
所以函数在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，
所以，
由题得，
∴
故选：B.
3．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据恒成立转化不等式为，再分离转化为求最大值，利用导数研究其单调性，即可确定结果.
【详解】，，
∴令，解得，单调递增，
∴令，解得，单调递减，
∵
因为对，使得成立，
所以使得成立，
因为，所以，使得成立，
令，所以


，
在单调递增，，
因此，在单调递增，
，，

故选：A
【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立与有解问题，考查综合分析求解能力，属较难题.
4.已知函数
(1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值与函数的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．
【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出，由得，再利用由、可得答案；
（2）转化为时，，容易求出，
所以只须 ，，讨论、可得答案.
(1)
，由得，
，
由得，由得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
若要命题成立，只须当时，，
由可知 当时，
所以只须
对来说，，
（1）当时，在上有，∴
这时，由得；
（2）当时，，
设，则，
∴在递减，，
∴当时，，
综上所述，满足题意的.
【点睛】
本题考查了对任意，均存在，使得，转化为求参数的取值范围的问题，考查了学生的思维能力、运算能力.
5.已知函数，为的导函数．
(1)求的定义域和导函数；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)若对，都有成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)在单减，也单减，无增区间
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据分母不等于0，对数的真数大于零即可求得函数的定义域，根据基本初等函数的求导公式及商的导数公式即可求出函数的导函数；
（2）求出函数的导函数，再根据导函数的符号即可得出答案；
（3）若对，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用导数求出函数的最小值即可求出的范围，，，求出函数的值域，根据存在，使成立，则0在函数的值域中，从而可得出的范围，即可得解.
(1)解：的定义域为，；
(2)解：当时，，
恒成立，所以在和上递减；
(3)解：若对，都有成立，
即，即，
令，，则，
对于函数，，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
当时，，
所以，所以，
故恒成立，在为减函数，
所以，所以，
由（1）知，，所以，
记，
令，，则原式的值域为，
因为存在，使成立，
所以，，所以，
综上，．
【点睛】
本题考查了函数的定义域及导数的四则运算，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了不等式恒成立问题，考查了计算能力及数据分析能力，对不等式恒成立合理变形转化为求最值是解题关键.