新高考数学二轮复习三角类专题练习三角中的结构不良问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习三角类专题练习三角中的结构不良问题（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习三角类专题练习三角中的结构不良问题原卷版doc、新高考数学二轮复习三角类专题练习三角中的结构不良问题解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
2.一般先选择条件，再根据正余弦定理化简求值、计算．可以从两方面思考：
①从题目给出的条件，边角关系来选择；
②从式子结构来选择．
3.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
母题呈现
【典例】在①是函数图象的一条对称轴，②是函数的一个零点，③函数在上单调递增，且的最大值为这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数，_________．
（1）求的最大值，并写出取得最大值时自变量x的取值集合；
（2）求在的单调递增区间．
【解析】（1）若选条件①，
.
【难点】根据三角恒等变换化为一角一函数
因为是函数图象的一条对称轴，
所以，即，
所以，又，
所以，，
当时，即时，函数取得最大值1，此时x的取值集合为；
若选条件②，
.
因为是函数的一个零点，所以，
即，
所以，又，
【技巧】根据对称轴求.
所以，．
当时，即时，函数取得最大值1，此时x的取值集合为；
若选条件③，
.
因为函数在上单调递增，且的最大值为，则，
所以，即，又，
所以，．
【技巧】根据单调区间求.
当时，即时，函数取得最大值1，此时x的取值集合为．
（2）令，由于函数在区间上单调递增，
即时，函数单调递增，
也即时，函数单调递增．
所以，可取即时，函数单调递增，
即当时，函数单调递增．
方法总结
“结构不良问题”的解题策略：
（1）题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；
（2）在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分．
模拟训练
1．在① ， ②， ③这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中， 并解答该问题．
在 中， 内角的对边分别是， 且满足_______ ，．
(1)若 ， 求的面积;
(2)求周长的取值范围．
【来源】四川省南充高级中学2023届高考模拟检测（七）理科数学试题
【分析】（1）三个条件，分别利用正余弦定理，两角和与差的正弦公式和三角形内角和公式化简，都能得到，再由余弦定理求得，即可计算的面积.
（2）， 由正弦定理边化角再化简得，再由求得的取值范围，即可得周长的取值范围.
【详解】（1）若选条件①， 由 及正弦定理， 得
即 ， 化简得，
因为， 所以， 所以，因为 ， 所以．
若选条件②， 由 及正弦定理， 得， 即， 化简得,
因为 ， 所以， 所以，因为 ， 所以．
若选条件③， 由 化简得，， 由余弦定理得， 即，因为 ， 所以，
所以三个条件，都能得到.
由余弦定理得 ， 即， 解得，
所以 的面积.
（2）因为 ， 由正弦定理得，
因为 ，
所以 ，
因为 ， 所以，
所以 ， 即， 所以周 长的取值范围为.
2．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求；
(2)若，，求△ABC的面积．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）
【来源】云南省红河州2023届高三第一次复习统一检测（一模）数学试题
【分析】（1）选①，由正弦定理得到，再由余弦定理得到，求出；选②，由正弦定理变形得到，结合正弦和角公式，诱导公式求出，得到；
（2）由求出，由，结合第一问结论得到，求出，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】（1）选①，由正弦定理，得．
所以．
化简为．
由余弦定理．
由于
所以．
选②．由正弦定理．，
得．
化简得，
由两角和的正弦公式得．
由诱导公式化简得．
因为，，
所以，，所以．
由于
所以．
（2），即．
由（1）知：，
所以，
因为，，
所以．
即△ABC为边长是4的等边三角形．
．
3．在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.
在中，内角所对的边分别是，__________.
(1)求；
(2)若，求的周长的取值范围.
【来源】陕西省汉中市2022-2023学年高二上学期期末文科数学试题
【分析】（1）选①或②：由正弦定理得到，再由余弦定理得到，结合，求出；
选③：由正弦定理化简得到，进而得到，，求出；
（2）由余弦定理结合基本不等式可得出，从而可求得的周长的取值范围.
【详解】（1）选①，，
，又
，又，.
选②，
，又
，又，.
选③，，
，又，.
（2）由余弦定理得：，
，当且仅当时，取等号.
，又，
的周长的取值范围为
4．从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若_______，
（1）求B；
（2）若面积的最大值为，求b．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】浙江省金华十校2022-2023学年高三上学期期末
【解析】（1）若选①：因为，所以，
解得或（舍去），
所以，又，所以；
若选②：由正弦定理角化边可得，
所以．又，所以；
若选③：由正弦定理边化角可得，
所以，
所以，
又，所以，
因为，所以，
所以，又，所以；
（2）由（1）及余弦定理可知，
所以，由基本不等式得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
又的面积的最大值为，所以．
【名师点睛】解题的关键是熟练掌握正弦定理、余弦定理、面积公式，并灵活应用，在求面积最大值时，需结合基本不等式求解，考查计算求值的能力，属中档题．
5．在中，，___________．
（1）求；
（2）若，求．
从① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分)
【试题来源】湖北省襄阳市部分优质高中2022-2023学年高三上学期2月联考
【解析】（1）因为，
所以
因为，所以
即，因为，；
（2）若选①
则在中，由余弦定理，
得，解得或(舍去)，所以
若选② ，
则，
由正弦定理，得，解得，所以；
若选③ ，由余弦定理得
，解得或(舍去)，所以．
6．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，______________？
【试题来源】广东省揭阳市2022-2023届高三下学期教学质量测试
【解析】由结合正弦定理可得
，
所以．
因为，所以．
[选择条件①的答案]
所以．
由得，所以．
因为，所以．所以．
由正弦定理得．
[选择条件②的答案]
所以．
因为，所以．
由正弦定理得．
[选择条件③的答案]
所以．
由得．
因为，所以．所以三角形不存在．
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请在①；②；③这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：
（1）求∠C；
（2）若a＝5，c＝7，延长CB到D，使，求线段BD的长度．
【试题来源】江苏省无锡市2022-2023届高三下学期2月教学质量检测
【解析】（1）选①
因为，及正弦定理，所以，
因为在中，，所以，所以
所以，
因为在中，，所以，所以，则．
选②
因为，及正弦定理，所以
所以
因为在中，，
所以，所以
因为在中，，所以．
选③
由余弦定理得
因为在中，，所以，则．
（2）第一问的答案都一样
在中，因为，由余弦定理得
所以，得（舍去）
由正弦定理得，所以，则，
由余弦定理得
在中，，所以
所以
由正弦定理得，则
【名师点睛】本题需要熟练运用正余弦定理进行边角互化，遇到多三角形问题，可以从要求的结果出发，把所求量放在一个三角形中，然后逆向思考．
8．在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解决该问题．
问题：已知的内角及其对边，若，且满足___________．求的面积的最大值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【试题来源】福建省名校联盟优质校2022-2023届高三大联考
【解析】选择条件①：因为，所以，
根据正弦定理可得，
由余弦定理得，
又由，可得，
根据余弦定理得，
则，
所以，
所以当且仅当时，面积取得最大值，最大值为．
选择条件②：因为，
由余弦定理得，
所以，
，
所以当且仅当时，面积取得最大值，最大值为．
选择条件③：因为，
由余弦定理得，
因为，可得，
又由余弦定理得，
所以，
，
所以当且仅当时，面积取得最大值，最大值为．
9．在锐角中，设角，，所对的边长分别为，，，且．
（1）求的大小；
（2）若，，点在边上，___________，求的长．
请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答(如选多个条件作答，按排列最前的解法评分)．
【试题来源】广东省中山市2022-2023届高三上学期期末
【解析】（1）在中，由正弦定理及，
得．
因为为锐角三角形，所以，所以．所以．
因为，所以．
（2）若选①．
在中，由余弦定理，得
，
所以，所以．
在中，由余弦定理，得，
即，
在中，由余弦定理，得，
即．
又，所以．
所以，所以．
若选②．
在中，，
即，
即，解得．
若选③．
在中，由余弦定理，得
，所以．
因为，又，
所以，解得．
10．已知的内角所对的边分别是在以下三个条件中任先一个：①；②；③；
并解答以下问题：
（1）若选___________填序号，求的值；
（2）在（1）的条件下，若，当有且只有一解时，求实数的范围及面积S的最大值．
【试题来源】湖南师范大学附属中学2022-2023届高三下学期月考（六）
【解析】（1）若选①，由已知化简得，
由正弦定理得，
由余弦定理得．
因为，所以；
若选②，由二倍角公式，故，
因为，所以；
若选③，由题设及正弦定理得．
因为，所以
由可得故，
因为，故，因此；
（2）由已知，当有且只有一解时，或，
即或，故或，，
①当时，为直角三角形，B为直角，，故，所以；
②当时，
由余弦定理可得
当且仅当时等号成立，
三角形面积为，
即面积的最大值．
综上，面积的最大值．
11．现有三个条件①，②，③，请任选一个，填在下面的横线上，并完成解答．
已知的内角所对的边分别是，，，若______．
（1）求角；
（2）若，求周长的最小值，并求周长取最小值时的面积．
【试题来源】江苏省南京市中华中学2022-2023学年高三上学期1月学情暨期末
【解析】若选①：（1），
，，
，，
，，；
（2）由（1）知，
，当且仅当时取等号；
，
又，则，
又，所以，
则周长的最小值为；此时，
所以的面积为．
若选②：（1）由，得，则，
又，则，
所以，即；
（2）由（1）知，
，当且仅当时取等号；
，
又，则，
又，所以，
则周长的最小值为；
此时，所以的面积为．
若选③：（1），，
，，，
，，或，
即或（舍）；
（2）由（1）知，
，当且仅当时取等号；
，
又，则，
又，所以，
则周长的最小值为；
此时，所以的面积为．