新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）18 解三角形中的结构不良问题（2份打包，原卷版+含解析）

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一、“结构不良问题”的解题策略
（1）题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；
（2）在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分．
二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．
（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；
（2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；
（3）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
三、“边化角”或“角化边”的变换策略
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
二、题型精讲精练
【典例1】在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 SKIPIF 1 < 0
(1)求角B；
(2)在① SKIPIF 1 < 0 的外接圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 的周长为12，③ SKIPIF 1 < 0 ，这三个条件中任选一个，求 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【分析】（1）由已知，根据给的 SKIPIF 1 < 0 ，先使用正弦定理进行边角转化全部转化成角的关系，然后再利用 SKIPIF 1 < 0 ,把 SKIPIF 1 < 0 换掉，展开和差公式合并同类项，然后根据角B的取值范围，即可完成求解；
（2）由已知，根据第（1）问计算出的角B，若选①，现根据给的外接圆的面积计算出外接圆半径R，然后根据角B利用正弦定理计算出边长b，然后使用余弦定理结合基本不等式求解ac的最值，即可完成面积最值得求解；若选②，利用 SKIPIF 1 < 0 ，表示出三边关系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最值，然后再利用基本不等式找到ac与a+c的关系，从而求解出面积的最值；若选③，可根据边长b、角B借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面积最值得求解.
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
（2）若选①，设 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径为R，
则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
由余弦定理，得： SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.即 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
若选②∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （舍）或 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立
若选③，由余弦定理，得： SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【题型训练1-刷真题】
一、解答题
1．（2023·北京·统考高考真题）设函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 SKIPIF 1 < 0 存在，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
条件①： SKIPIF 1 < 0 ；
条件②： SKIPIF 1 < 0 ；
条件③： SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 .
(2)条件①不能使函数 SKIPIF 1 < 0 存在；条件②或条件③可解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 的解析式求出 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把 SKIPIF 1 < 0 的解析式化简，根据 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性及函数的最值可求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出 SKIPIF 1 < 0 的值；把 SKIPIF 1 < 0 的值代入 SKIPIF 1 < 0 的解析式，由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若选条件③：由 SKIPIF 1 < 0 的单调性可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
若选条件①：因为 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 无解，故条件①不能使函数 SKIPIF 1 < 0 存在；
若选条件②：因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
若选条件③：因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
以下与条件②相同．
2．（2021·北京·统考高考真题）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 SKIPIF 1 < 0 存在且唯一确定，求 SKIPIF 1 < 0 边上中线的长．
条件①： SKIPIF 1 < 0 ；
条件②： SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ；
条件③： SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，则由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 矛盾，故这样的 SKIPIF 1 < 0 不存在；
若选择②：由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则周长 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 边上的中线的长度为：
SKIPIF 1 < 0 ；
若选择③：由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 边上的中线的长度为：
SKIPIF 1 < 0 .
【题型训练2-刷模拟】
一、解答题
1．（2023·四川·校联考模拟预测）已知锐角 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．在下列三个条件① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 中任选一个，回答下列问题．
(1)求A；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）条件①：根据向量平行的坐标表示转化 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ；条件②：根据正弦定理转化为 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ；条件③：将条件中的余弦转化为正弦，再用正弦定理与余弦定理求得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）根据余弦定理及基本不等式求得 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【详解】（1）选择条件①，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形可知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
选择条件②，因为 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形可知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
选择条件③，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形可知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以根据余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，满足条件．
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2023·北京东城·统考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：
条件①：在 SKIPIF 1 < 0 图象上相邻的两个对称中心的距离为 SKIPIF 1 < 0 ；
条件②： SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求ω；
(2)将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位（纵坐标不变），得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由三角函数的恒等变换对 SKIPIF 1 < 0 进行化简，再分别由条件①②求 SKIPIF 1 < 0 的值．
（2）由三角函数的平移变换得 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再由函数的定义域求值域即可．
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
选①： SKIPIF 1 < 0 图象上相邻两个对称中心的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
选②： SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0
（2）将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度（纵坐标不变），
得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2023·全国·模拟预测）在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．
(1)求角C；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 外接圆的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据正弦定理、两角和的正弦公式和辅助角公式化简计算，即可求出C；
（2）根据正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用余弦定理和基本不等式计算可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合三角形的面积公式计算即可求解.
【详解】（1）选条件①．
SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
选条件②．
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ．
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
选条件③．
由 SKIPIF 1 < 0 及正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径为R，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测） SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且______．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）若选①则根据余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，于是利用平方公式得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 的值，再根据面积公式即可得 SKIPIF 1 < 0 的面积；若选②根据向量数量积定义得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，于是利用平方公式得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 的值，再根据面积公式即可得 SKIPIF 1 < 0 的面积；
（2）由正弦定理得即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】（1）若选① SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
若选② SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测） SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为 SKIPIF 1 < 0 的内心，记△OBC， SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形，求AC的取值范围；
(2)在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 中选一个作为条件，判断△ABC是否存在，若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的面积，若不存在，说明理由．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意，根据 SKIPIF 1 < 0 的内切圆的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用正、余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合角C的取值范围即可求解；
（2）选择①，根据正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，方程无解即△ABC不存在．选择②，根据三角恒等变换可得 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，结合三角形的面积公式计算即可.选择③，由（1），根据余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，方程无解即△ABC不存在．
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径为r，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以AC的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）选择①，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，方程无实数解，所以 SKIPIF 1 < 0 不存在．
选择②，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 存在且唯一， SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ．
选择③，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
方程无实数解，所以 SKIPIF 1 < 0 不存在．
6．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且__________，求 SKIPIF 1 < 0 的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答.① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 .
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据条件，利用 SKIPIF 1 < 0 和正弦的和角公式，化简即可得出结果；
（2）选①，利用正弦定理和条件得出 SKIPIF 1 < 0 ，选②，利用条件和三角形面积公式得出 SKIPIF 1 < 0 ，选③，利用条件和数量积的定义得出
SKIPIF 1 < 0 ，再利用余弦定即可得到结果.
【详解】（1）由正弦定理： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）若选①，根据正弦定理和（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
若选②，由题知 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
若选③，即 SKIPIF 1 < 0 ，由数量积定义得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
故三个条件任选一个条件，都可以得到 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 .
7．（2023·河北·统考模拟预测）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C对应的边为a，b，c， SKIPIF 1 < 0 的面积为S，若 SKIPIF 1 < 0 .
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求A；
(2)若角B为 SKIPIF 1 < 0 的最大内角.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立，
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)答案见详解.
【分析】（1）由题意，根据正弦定理、特殊角的三角函数值和辅助角公式化简计算可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（2）分别以①②③中选取2个作为条件，根据正、余弦定理和三角形的面积公式计算，可证得第3个条件成立.
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若选①②为条件.
SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由（1） SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即③成立；
若选①③为条件.
SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即②成立；
若选②③为条件.
SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，等式两边同时平方，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，与B为 SKIPIF 1 < 0 的最大内角矛盾，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即①成立.
8．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中选择一个补充在下面问题中的横线上，然后求解.
问题：在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，______.（说明：只需选择一个条件填入求解，如果三个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 内切圆的半径.
【答案】(1)条件选择见解析， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，再根据两角差的正弦公式化简即可得解；
选②，根据两角差的余弦公式结合三角形内角和定理化简即可；
选③，利用正弦定理化边为角，再结合商数关系化简即可；
（2）先利用余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据三角形的面积公式求出面积，再根据等面积法即可得解.
【详解】（1）选①，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
选②，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
选③，因为 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 内切圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 内切圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 .
9．（2023·宁夏中卫·统考二模）在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 ；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_______．
(1)求角C；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）选择①根据两角和的正切公式化简可得角，选择②由正弦定理统一为边，再由余弦定理求解，选择③根据正弦定理统一为角，由辅助角公式求解；
（2）由余弦定理及三角形面积公式联立求解即可.
【详解】（1）选择①：由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
选择②：由已知及正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
选择③：由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，①
由等面积公式得 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 ．
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，②
联立①②，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
10．（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知圆 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外接圆，圆 SKIPIF 1 < 0 的直径 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题，
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .选择条件______.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的周长的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）若选①利用正弦定理将边化角，再结合两角和的余弦公式及诱导公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，在利用正弦定理计算可得；若选②，根据同角三角函数的基本关系、和差角公式及诱导公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，在利用正弦定理计算可得；若选③，利用面积公式及余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 ，在利用正弦定理计算可得；
（2）由题知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用正弦定理得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根据三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）若选①，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
若选②，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
若选③， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 外接圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题知 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
11．（2023·湖南益阳·统考模拟预测） SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角A的大小；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)选择条件见解析， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）选①②时，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求得答案；选③时，龙三角形面积公式结合余弦定理即可求得答案；
（2）方法一：利用三角恒等变换化简 SKIPIF 1 < 0 为只含有一个三角函数的形式，结合正弦函数性质，即可得答案；
方法二：利用余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由正弦定理边化角，可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）选择① SKIPIF 1 < 0 由正弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
选择② SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
选择③ SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）方法一：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
方法二：由余弦定理， SKIPIF 1 < 0 ，
再由正弦定理， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时“=”成立.
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）在① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别是 SKIPIF 1 < 0 ，且满足________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）选①：由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用正弦定理和三角形内角性质化简得到 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
选②：由正弦定理和三角函数的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
选③：由余弦定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解；
（2）由余弦定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合基本不等式求得 SKIPIF 1 < 0 ，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：选①：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得: SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
选②：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
选③：因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
13．（2023·山西吕梁·统考三模）在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
已知 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，___________.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的面积为2， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的周长.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据所选条件，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）由面积公式求得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用余弦定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的周长.
【详解】（1）若选①，由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
若选②，由已知及正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 的面积为2，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2023·全国·模拟预测）从① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的面积），③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答．
在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且______．
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）选条件①：利用正弦定理结合余弦定理可得出 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，结合角 SKIPIF 1 < 0 的取值范围可求得角 SKIPIF 1 < 0 的值；
选条件②：利用三角形的面积公式结合切化弦可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，结合角 SKIPIF 1 < 0 的取值范围可求得角 SKIPIF 1 < 0 的值；
选条件③：利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出 SKIPIF 1 < 0 的值，结合角 SKIPIF 1 < 0 的取值范围可求得角 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）利用余弦定理可得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式结合三角形三边关系可求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】（1）解：选条件①：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
选条件②：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由三角形的面积公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
选条件③：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：由 SKIPIF 1 < 0 及正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，所以由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
15．（2023·河北邯郸·统考二模）已知条件：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 .
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足：___________.
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的平分线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值.
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分
【答案】(1)条件选择见解析， SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）选①，利用余弦定理求解作答；选②，利用二倍角正弦、正弦定理边化角求解作答；选③，利用二倍角的余弦公式计算作答.
（2）根据给定条件，结合（1）的结论求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用正弦定理结合三角恒等变换求解作答.
【详解】（1）选择条件①， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
选择条件②， SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
选择条件③， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的平分线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的周长取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 周长的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
16．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数 SKIPIF 1 < 0 ______．
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期及单调递减区间；
(2)在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为 SKIPIF 1 < 0 的面积．若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）三个条件中任选一个，利用三角恒等变换化简 SKIPIF 1 < 0 ，根据三角函数的性质求解；
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 的解析式及三角函数的性质求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．由余弦定理结合基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．
【详解】（1）选择条件①：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
选择条件②：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
选择条件③：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
17．（2023·江苏·校联考模拟预测）在① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对应的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且满足________．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 边上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）选①：由条件和正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据二倍角公式得出 SKIPIF 1 < 0 ，进而得出 SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 的范围即可求出 SKIPIF 1 < 0 ；选②：由二倍角公式及同角三角函数的平方关系得出 SKIPIF 1 < 0 ，解出 SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 的范围即可求出 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）首先在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得出 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 代入，结合二倍角公式即可得出答案．
【详解】（1）选择①：
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
选择②：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所 SKIPIF 1 < 0 ．
18．（2023·海南·统考模拟预测）在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知△ABC中，点M在线段BC上，且 SKIPIF 1 < 0 ， ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)求AM的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）选择条件①，利用切化弦公式、正弦两角和公式、正弦定理进行求解；
选择条件②，利用余弦二倍角公式、正弦定理进行求解；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，接合余弦定理进行求解.
【详解】（1）若选择条件①：
依题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ．
在△ABM中，有 SKIPIF 1 < 0 ，①
在△ACM中，有 SKIPIF 1 < 0 ，②
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
若选择条件②：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
在△ABM中，有 SKIPIF 1 < 0 ，①
在△ACM中，有 SKIPIF 1 < 0 ．②
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在△ABM中， SKIPIF 1 < 0 ，
在△ACM中， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．