2024-2025学年山西省大同市高二上册10月月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山西省大同市高二上册10月月考数学检测试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若直线的倾斜角为，则（ ）．
A. 0B. C. D. 不存在
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（ ）
B.
C. D.
5. 如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，, D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知两点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知点和非零实数，若两条不同直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．已知，是一组“共轭线对”，则，的夹角的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B. 若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点
C. 过，两点的直线的方程为
D. 直线在轴上的截距为2
10. 在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（ ）
A
B. 向量与的夹角的余弦值为
C. 点关于轴的对称点坐标为
D. 向量在上的投影向量为
11. 如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥表面积为
B. 若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
C. 若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为
D. 的取值范围为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知点在平面上，点是空间内任意一点，且，则的值为_______________．
13. 直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的一般式方程为_______________.
14. 在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），若且与平面所成的角最大时，线段的长度为_______________.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点．
（1）求边上的中线的一般式方程；
（2）求经过点且与直线垂直直线方程．
16. 已知，，且.
（1）求
（2）求与夹角的余弦值.
17. 已知直线.
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时l的方程.
18. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、AD的中点，平面．
（1）求证：；
（2）求点B到平面EFM的距离；
（3）在线段上是否存在点N，使得直线与平面EFM所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．
19. 已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集．
（1）若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数；
（2）已知为的4阶等距平面，且点与点，，分别位于的两侧．是否存在，使的4阶等距集为，其中点到的距离为？若存在，求平面与夹角的余弦值；若不存在，说明理由。
2024-2025学年山西省大同市高二上学期10月月考数学检测试卷
一、选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若直线的倾斜角为，则（ ）．
A. 0B. C. D. 不存在
【正确答案】C
【分析】根据直线的方程即可求解.
【详解】因为，
为一常数，故直线的倾斜角为，
故选：C
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，求出的值.
【详解】向量，且，
所以，解得，
故选：B.
3. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】C
【分析】利用两直线平行的条件，求出值，再利用充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】当时，由，解得，所以可以推出，
当时，直线，直线，有，即可以推出，所以“”是“”的充要条件，
故选：C.
4. 在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据空间向量基本定理将用表示，从而可求出的值，进而可求得答案.
【详解】连接，因为，分别是的中点，
所以
，
故．
故选：A
5. 如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，, D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求直线AD与直线CE所成角的余弦值.
【详解】由题设，构造如下图示的空间直角坐标系，则，
所以，则.
所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为.
故选：A
6. 已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】，则点到直线距离为：
.
故选：B
7. 已知两点，，若直线与线段有公共点，则取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】先求出直线所过的定点，再分别求出直线的斜率，结合图象即可求解.
【详解】由，得到，所以直线过定点，
又，，所以，，
又直线与线段有公共点，结合图象可知，，

故选：D.
8. 已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．已知，是一组“共轭线对”，则，的夹角的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由“共轭线对”的定义，结合直线的夹角公式及基本不等式即可求解.
【详解】设直线的斜率为，则直线的斜率为，两直线的夹角为，
则，当且仅当，即时取等号，
又，所以，
故选：B.
二、选择题（本小题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B. 若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点
C. 过，两点的直线的方程为
D. 直线在轴上的截距为2
【正确答案】ACD
【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式，斜截式，两点式判断各项正误即可.
【详解】对于A，当倾斜角为锐角，斜率为正；当倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误；
对于B，直线方程为，即，显然在直线上，故B正确；
对于C，当或时不能使用两点式写方程，故C错误；
对于D，直线，令，，
则直线在轴上的截距为，故D错误.
故选：ACD.
10. 在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（ ）
A.
B. 向量与的夹角的余弦值为
C. 点关于轴的对称点坐标为
D. 向量在上的投影向量为
【正确答案】BD
【分析】根据空间两点距离公式可判断A；根据空间向量的夹角坐标公式可判断B；根据点的对称性可判断C；根据投影向量的概念可判断D.
【详解】记，，
对于A，，故A错误；
对于B，，，，
设与的夹角为，则，故B正确；
对于C，点关于轴的对称点坐标为，故C错误；
对于D，在上的投影向量为，D正确．
故选：BD．
11. 如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的表面积为
B. 若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
C. 若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为
D. 的取值范围为
【正确答案】ABD
【分析】连结OB.证明出面ABC.O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
对于A：直接求出三棱锥的表面积，即可判断；
对于B：用向量法求出异面直线与所成角的余弦值，即可判断；
对于C：用向量法求出二面角的平面角的正弦值为，即可判断；
对于D:把平面PBC展开，判断出当M与C重合时，最大；的最小值为AP，利用余弦定理可以求得.
【详解】连结OB.
在三棱锥中，，，.
所以,,且,.
所以，所以.
又因为，所以面ABC.
可以以O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，，所以,,,.
对于A：在三棱锥中，，，，
所以底面三角形为直角三角形，其面积为；
为边长为2的等边三角形，所以面积为；
和为腰长为2，底边为的等腰三角形，所以面积均为；
所以三棱锥的表面积为.故A正确；
对于B：为棱的中点，所以,所以,.
所以异面直线与所成角的余弦值为.故B正确；
对于C：点是棱上一动点，不妨设，（） .
所以.
设为面PAM的一个法向量，则，
不妨设y=1，则
.因为与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得：取，则
显然，面PAC的一个法向量为.
设二面角的平面角为，所以，
所以.
故C错误；
对于D:
如图示，把平面PBC展开，使A、B、C、P四点共面.
当M与B重合时，；
当M与C重合时，最大；
连结AP交BC于M1，由两点之间直线最短可知，当M位于M1时，最小.
此时，，所以.
由余弦定理得：
.
所以的取值范围为.
故D正确.
故选：ABD
立体几何题目的解题策略：
(1)证明题：几何关系的证明，用判定定理；
(2)计算题：求角或求距离（求体积通常需要先求距离），可以用向量法.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知点在平面上，点是空间内任意一点，且，则的值为_______________．
【正确答案】
【分析】根据条件，利用空间向量基本定理得到，进而可得到，结合条件有，即可求出结果.
【详解】因为点在平面上，由空间向量基本定理知，，
得到，即，
又，所以，解得，
故答案为.
13. 直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的一般式方程为_______________.
【正确答案】
【分析】由直线的方向向量得直线的斜率，进而利用直线方程的点斜式即可得出结果.
【详解】∵直线的方向向量,
∴直线的斜率，
又∵直线过点
∴由点斜式可得：,即，
故答案为.
14. 在棱长为1正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），若且与平面所成的角最大时，线段的长度为_______________.
【正确答案】##
【分析】建立空间直角坐标系，先求得点的轨迹，结合空间向量表示出与平面所成的角的正弦值，进而确定的坐标，从而求解.
【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
，，，，，设，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，即取，则.
在正方体中，可得平面，且平面，
所以，则，
所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，其圆心角为，
则，则，即，
又，设与平面所成的角为，
所以，
又，当且仅当时，等号成立，
所以，即时，与平面所成的角最大，
即，所以.
故答案为.
方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略：
1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点．
（1）求边上的中线的一般式方程；
（2）求经过点且与直线垂直的直线方程．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据条件，求出的坐标，再由直线的点斜式求出直线方程，化简即可求解；
（2）先求出直线的斜率，再由两直线垂直时斜率间的关系，求出垂线的斜纹，再由直线的点斜式，即可求解.
【小问1详解】
因为，，所以的中点，又，
所以边上的中线的方程为，整理得到，
故边上的中线的一般式方程为.
【小问2详解】
因为直线的斜率为，
又，所以经过点且与直线垂直的直线方程为，
整理得到.
16. 已知，，且.
（1）求
（2）求与夹角的余弦值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用空间向量垂直的坐标表示可求得，即可计算出即可求得模长为；
（2）根据向量夹角的计算公式即可求得结果.
【小问1详解】
根据题意由可得，
即，解得；
所以，
因此，即.
【小问2详解】
易知，且；
所以，
即与夹角的余弦值为.
17. 已知直线.
（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时l的方程.
【正确答案】（1）；（2）最小值是4，方程为．
【分析】（1）由直线过定点可得斜率的范围；
（2）求出两点坐标，求出面积，由基本不等式求得最值．
【详解】（1）直线方程为：，它过定点，在第二象限，因此直线不过第四象限，则
∴的取值范围是；
（2）易知，令得，令，得，即，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴最小值是4，此时方程为，即．
本题考查直线方程的一般式，第（1）小题由直线方程确定直线过定点是解题关键；第（2）小题，用基本不等式求最值是关键．
18. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、AD的中点，平面．
（1）求证：；
（2）求点B到平面EFM的距离；
（3）在线段上是否存在点N，使得直线与平面EFM所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．
【正确答案】（1）证明见详解
（2）3
（3）存在点满足题意，
【分析】（1）先证明平面，再证明，即可得证；
（2）求点到平面的距离即求点到平面的距离，利用三棱锥等体积法求解；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以，又底面是正方形，则，
且与是平面内两条相交直线，
所以平面，平面，所以，
又分别是的中点，所以，
所以.
【小问2详解】
因为分别是的中点，
所以，
所以平面即是平面，
由（1）知平面，则平面，平面，
，则，
设点到平面的距离为，由，
得，即，
解得，
所以点到平面的距离为.
【小问3详解】
如图以为原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，A2,0,0，，，，
，，，
设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且，
，，
，
设平面的一个法向量为n=a,b,c，
则，即，令，得，
，
，整理得，
解得或（舍），
，即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，此时.
19. 已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集．
（1）若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数；
（2）已知为的4阶等距平面，且点与点，，分别位于的两侧．是否存在，使的4阶等距集为，其中点到的距离为？若存在，求平面与夹角的余弦值；若不存在，说明理由．
【正确答案】（1）当的值为时，有4个；当的值为时，有3个
（2）
【分析】（1）分两种情况得出的所有可能值以及相应的的个数；
（2）先根据已知得出，再结合空间向量计算求得余弦值.
【小问1详解】
情形一：分别取的中点，
由中位线性质可知，
此时平面为的一个1阶等距平面，
为正四面体高的一半，等于.
由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况；
情形二：分别取的中点，
将此正四面体放置到棱长为1的正方体中，
则为正方体棱长的一半，等于.
由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线，
这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况.
综上所述，当的值为时，有4个；当的值为时，有3个.
【小问2详解】
在线段上分别取一点，
使得，，，则平面即为平面.
如图，取中点，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，
过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，
，设
，
，
设平面法向量为
所以，即，
所以，
又平面的法向量为，
设平面与夹角为
所以，
所以平面与夹角余弦值为.
关键点点睛：解题的关键在于有时候分类讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得