2025高考数学一轮复习-11.2-对数函数的图象与性质-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-11.2-对数函数的图象与性质-专项训练【含答案】，共8页。试卷主要包含了若函数y＝f，函数f，已知函数f，设函数f＞0的解集为　　　　，设f＝2等内容，欢迎下载使用。
1.若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）＝（ ）
A.lg2x B.12x
C.lg12x D.2x－2
2.函数f（x）＝lgx＋lg（5－3x）的定义域是（ ）
A.0，53 B.0，53
C.1，53D.1，53
3.已知函数f（x）＝｜lg x｜，若a＝f14，b＝f12，c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A.a＞b＞c B.b＞c＞a
C.a＞c＞b D.c＞a＞b
4.函数f（x）＝lg2x4·lg4（4x2）的最小值为（ ）
A.－94 B.－2
C.－32 D.0
5.（多选）函数y＝lga（x＋c）（a，c为常数，其中a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A.a＞1 B.0＜c＜1
C.0＜a＜1D.c＞1
6.（多选）已知函数f（x）＝lg2（1－｜x｜），则关于函数f（x）有下列说法，其中正确的为（ ）
A.f（x）的图象关于原点对称B.f（x）的图象关于y轴对称
C.f（x）的最大值为0D.f（x）在区间（－1，1）上单调递增
7.若函数y＝4＋lga（2x－1）（a＞0，且a≠1）的图象恒过点A，则点A的坐标为 .
8.写出一个具有性质①②③的函数f（x）＝ .
①f（x）的定义域为（0，＋∞）；②f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2）；③当x∈（0，＋∞）时，f（x）单调递减.
9.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝lg（3x＋1）－1，则不等式f（x）＞0的解集为 .
10.设f（x）＝lga（1＋x）＋lga（3－x）（a＞0，且a≠1），且f（1）＝2.
（1）求实数a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间［0，32］上的最大值.
11.若函数f（x）＝lga（x2＋32x）（a＞0，且a≠1）在区间12，＋∞内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（ ）
A.（0，＋∞） B.（2，＋∞）
C.（1，＋∞） D.（12，＋∞）
12.（多选）已知函数f（x）＝ln x＋ln（2－x），则（ ）
A.f（x）在（0，2）上单调递增B.f（x）在（0，2）上的最大值为0
C.f（x）的图象关于直线x＝1对称D.f（x）的图象关于点（1，0）对称
13.已知f（x）＝（1－2a）x+5a，x0，lgx≥0，5－3x>0，即x1≤x＜53.
3.C ∵a＝lg14＝｜－lg 4｜＝lg 4，b＝lg12＝｜－lg 2｜＝lg 2，c＝｜lg 3｜＝lg 3，且f（x）＝lg x在（0，＋∞）上是增函数，∴lg 4＞lg 3＞lg 2，即a＞c＞b.故选C.
4.A 由题意知f（x）的定义域为（0，＋∞），所以f（x）＝（－2＋lg2x）（1＋lg2x）＝（lg2x）2－lg2x－2＝lg2x－122－94≥－94.当x＝2时，函数取得最小值.故选A.
5.BC 由图象可知0＜a＜1，令y＝0得lga（x＋c）＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0＜1－c＜1，∴0＜c＜1.
6.BC 函数f（x）的定义域为（－1，1），关于原点对称，由f（－x）＝lg2（1－｜－x｜）＝lg2（1－｜x｜）＝f（x），得f（x）＝lg2（1－｜x｜）为偶函数，所以A错误，B正确；根据f（x）的图象（图略）可知D错误；因为1－｜x｜≤1，所以f（x）≤lg21＝0，故C正确.
7.（1，4） 解析：令2x－1＝1，可得x＝1，当x＝1时，y＝4，所以函数图象恒过点（1，4）.
8.lg12x（答案不唯一） 解析：由①②知，对数函数形式的函数满足要求，又由③知，f（x）在定义域（0，＋∞）上为减函数，故f（x）可以为lg12x.
9.（－∞，－3）∪（3，＋∞） 解析：当x≥0时，由f（x）＝lg（3x＋1）－1＞0，得x＞3.
又因为函数f（x）为偶函数，所以不等式f（x）＞0的解集为（－∞，－3）∪（3，＋∞）.
10.解：（1）∵f（1）＝2，∴lga4＝2.又a＞0，且a≠1，∴a＝2.
由1+x>0，3－x>0，得－1＜x＜3，
∴函数f（x）的定义域为（－1，3）.
（2）f（x）＝lg2（1＋x）＋lg2（3－x）＝lg2[（1＋x）·（3－x）]＝lg2[－（x－1）2＋4]，
∴当x∈[0，1]时，f（x）单调递增；
当x∈（1，32］时，f（x）单调递减，故函数f（x）在［0，32］上的最大值是f（1）＝lg24＝2.
11.A 令M＝x2＋32x，当x∈（12，＋∞）时，M∈（1，＋∞），恒有f（x）＞0，所以a＞1，所以函数y＝lgaM为增函数，又M＝（x＋34）2－916，所以M的单调递增区间为（－34，＋∞）.又x2＋32x＞0，所以x＞0或x＜－32，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）.
12.BC f（x）＝ln x＋ln（2－x），定义域为（0，2），f（x）＝ln[x（2－x）]＝ln（－x2＋2x），令t＝－x2＋2x，y＝ln t，∵t＝－x2＋2x，x∈（0，2）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，故A不正确；f（x）max＝f（1）＝0，故B正确；∵f（1＋x）＝ln（1＋x）＋ln（1－x），f（1－x）＝ln（1－x）＋ln（1＋x），∴f（1＋x）＝f（1－x），∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D不正确.
13.［－13，12） 解析：要使函数f（x）的值域为R，则必须满足1－2a>0，lg71≤1－2a+5a，即a＜12，a≥－13，所以－13≤a＜12.
14.解：（1）f（x）是奇函数，证明如下：
因为f（x）＝lga（x＋1）－lga（1－x），
所以x+1>0，1－x>0，
解得－1＜x＜1，f（x）的定义域为（－1，1）.
f（－x）＝lga（－x＋1）－lga（1＋x）＝－[lga（1＋x）－lga（－x＋1）]＝－f（x），
故f（x）是奇函数.
（2）因为当a＞1时，y＝lga（x＋1）是增函数，
y＝lga（1－x）是减函数，
所以当a＞1时，f（x）在定义域（－1，1）内是增函数，
f（x）＞0即lga（x＋1）－lga（1－x）＞0，
lgax+11－x＞0，x+11－x＞1，2x1－x＞0，
2x（1－x）＞0，解得0＜x＜1，
故使f（x）＞0的x的取值范围为（0，1）.
15.解：（1）若函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，
∴lg2（1＋a）＝0，∴a＝0.
当a＝0时，f（x）＝－x是R上的奇函数.
∴a＝0.
（2）由已知得函数f（x）是减函数，故f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（0）＝lg2（1＋a），
最小值是f（1）＝lg2（12＋a）.
由题设得lg2（1＋a）－lg2（12＋a）≥2，
则lg2（1＋a）≥lg2（4a＋2）.
∴1+a≥4a+2，4a+2>0，解得－12＜a≤－13.
故实数a的取值范围是（－12，－13］.