初中数学浙教版（2024）九年级下册1.3 解直角三角形当堂达标检测题

这是一份初中数学浙教版（2024）九年级下册1.3 解直角三角形当堂达标检测题，共14页。试卷主要包含了5=10，5 ，等内容，欢迎下载使用。
一、基础练习
1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，∠A=42°，则BC的长约为 .（结果精确到0.1.参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90）
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AB=6，则BC的长为（ ）
A．6tanαB．6sinαC．6csαD．6tanα
3．如图，在△ABC中，BC=12，tanA= 34 ，∠B=30°；求AC和AB的长．
4．请你结合题意，分别画出示意图，并完成解答：
（1）在Rt△ABC中，若∠C=90°，若∠A=30°，AC=3，求AB的长；
（2）在△ABC中，AB=AC=9，BC=6，求∠C的正弦．
5．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i=1∶3，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是 ．
6．小明看完“上刀山”表演后，被表演艺人精湛技艺所震撼，他发现，艺人在如图大刀的AB段表演时最精彩，他想利用所学知识测量一下B点的高度，已知点P、A、B在一条直线上，点P、C、D也在一条直线上，AC⊥PD，BD⊥PD，AC=CD=2m，大刀的坡度（即∠APC的坡度）为i=12，则BD为（ ）
A．2mB．3mC．4mD．5m
7．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，已知上底CB=5m，迎水面CD的坡比为1：3，背水面AB的坡比为1：1，坝高为4 m，求坝底宽AD的长和迎水面CD的长．
8．图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE平行，踏板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝15°，支架AC长为1m，∠ACD＝75°，求跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.97，tan15°≈0.27，3≈1.73）
9．教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC=90°，黑板上投影图像的高度AB=120cm，CB与AB的夹角∠B=33.7°，则AC的长 cm（结果精确到1cm，参考数据：sin33.7°≈0.55，cs33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67）.
10．如图，测得两楼之间的距离为32.6m，从楼顶点A观测点D的俯角为35°12'，点C的俯角为43°24'.求这两幢楼的高度(精确到0.1m，参考数据：sin43°24'≈0.687，tan43°24'≈0.946，sin35°12'≈0.576，tan35°12'≈0.705).
11．如图，道路旁的一处测速仪A到道路BC的距离为8.8m，检测角∠BAC=35°，线段BC为监测范围.已知AB与道路BC的夹角为10°.
（1）求监测范围BC的长.
（2）如果道路BC的限速为90千米/时，一辆汽车通过BC段的时间为1.8秒，请你判断该车是否超速，并说明理由.
(参考数据：sin10°≈0.174,cs10°≈0.985,tan10°≈0.176)
12．为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上.(2=1.414，3=1.732，5=2.236)
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围30海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
二、综合运用
13．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
（1）若∠A=60°，求BC的长；
（2）若sinE=35，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
14．随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，小区物业部门拟建造一个新的地下停车库．建筑设计师提供了该地下停车库设计图（如图）．按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否驶入．为标明限高，请你根据该图计算CD（精确到0.1m）（参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，ct20°≈2.75）
15.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别为AB，AC的中点，G为边BC上一点，∠EGB=∠FDC，连结EF．
（1）求证：四边形EFCG是平行四边形．
（2）若tanB=45，tanC=2，BC=14，求GD的长．
16．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC=6m，∠CAB=60°；停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB=37°，点C，A，D在同一直线上，且直线CD与水平地面平行，图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）求AB的长；
（2）求物体上升的高度CE（结果保留根号）．
17．小兴同学在母亲节来临之际，为妈妈购买了如图1所示的台式桌面化妆镜，由镜面与底座组成，镜面可绕两固定点转动.如图2是将其放置在水平桌面上的正面示意图，镜面为圆形，底座上的固定点A，B所在直线经过镜面的圆心O，如图3是其侧面示意图.现测得底座最高点A到桌面高为18cm，C为镜面上的最高点，且直径（边框视为镜面的一部分）CD为16cm.
（1）在镜面转动的过程中，求镜面上的点D到桌面的最短距离（即图3中DH的长）.
（2）如图4小兴妈妈通过转动镜面，测得∠COH=160°.求此时镜面上的点D到桌面的距离.（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
18．在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度.
（参考数据：sin35°≈0.6，cs35°≈0.8，tan35°≈0.7）
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19．如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30° ，看这栋楼底部的俯角为60° ，热气球A处与高楼的水平距离为120m．
（1）求∠ABC的角度；
（2）这栋高楼有多高？（结果保留根号）
答案解析部分
1．【答案】8.0
2．【答案】B
3．【答案】解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
∴CH= 12 BC=6，BH= BC2−CH2 =6 3 ，
在Rt△ACH中，tanA= 34 = CHAH ，
∴AH=8，
∴AC= AH2+CH2 =10，
∴AB=AH+BH=8+6 3 ．
4．【答案】（1）解：如图，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴cs30°=ACAB=32,
∵AC=3，
∴3AB=32,
解得AB=23,
（2）解：如图，过点A作AH⊥BC垂足为H，
∵AB=AC，
∴CH=12BC=12×6=3,
∴AH=AC2−CH2=92−32=62,
∴sinC=AHAC=629=223,
5．【答案】20米
6．【答案】B
7．【答案】解：过点C作CE⊥AD于点E，过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BCEF是长方形
∴EF-CB=5 m，CE= BF=4 m
∵迎水面CD的坡比为1：3，
∴CEDE=13=33
∴DE=43m
∴CD=CE2+DE2=8m
∵背水面AB的坡比为1：1，
∴BFAF=11=1．
∴AF=BF=4 m
∴AD= DE+EF+AF= (9+43)m
8．【答案】解：如图，过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．
∵CD与地面DE的夹角∠CDE为15°，∠ACD为75°，
∴∠ACF＝∠FCD﹣∠ACD＝∠CGD+∠CDE﹣∠ACD＝90°+15°﹣75°＝30°，
∴∠CAF＝60°，
在Rt△ACF中，CF＝AC•sin∠CAF＝32m，
在Rt△CDG中，CG＝CD•sin∠CDE＝1.5•sin15°m，
∴FG＝FC+CG＝32+1.5•sin15°≈1.3m．
故跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3m．
9．【答案】80
10．【答案】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠FAC=43°24'，
∴∠BAC=90°-∠FAC=90°-43°24'=46°36'，
∵∠B=90°，
∴AB=BC÷tan∠BAC=BC÷tan46°36'=32.6÷1.06≈30.8（m），
在Rt△ADE中，AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12'≈23.0（m），
∴BE=CD=AB-AE=30.8-23.0=7.8（m）；
故建筑物AB的高约为30.8m、CD的高约为7.8m.
11．【答案】（1）解：过点A作AD⊥BC于点D，如图：
由题意得：AD=8.8m，∠BAC=35°，∠ABC=10°.
∴∠ACD=∠ABC+∠BAC=45°.
∴DC=DA=8.8m.
∴ADBD=tan∠ABC=tan10°≈0.176，
∴BD≈AD0.176=
∴BC=BD-DC=50－8.8=41.2（m）
故监测范围BC的长为41.2m.
（2）解：没有超速，利用如下：
根据题意BC段限速为90km/h=25m/s.
汽车的速度为：41.2÷1.8≈22.9m/s30，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
13．【答案】（1）解：∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6， tanA=BEAB，
∴∠E=30° ， BE=6tan60°=63
又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=CDCE，∠E=30°
∴CE=412=8，∴BC=BE−CE=63−8.
（2）解：∵∠ABE=90°，AB=6，sin•E=35， ∴AE=10， ∴BE=8，
∴tanE=ABBE=68=CDDE=4DE，解得DE=163，
∴AD=AE−DE=10−163=143
14．【答案】解：解：在△ABE中，∠ABE＝90°，∠BAE＝20°
∴tan∠BAE=BEAB，又AB=10，
∴BE＝AB•tan∠BAE＝10tan20°≈3.6m，
∵BC＝0.6∴CE＝BE﹣BC＝3m
在△CED中，∵CD⊥AE，∠ECD＝∠BAE＝20°
∴cs∠ECD=CDCE
∴CD＝CE•cs∠ECD＝3cs20°≈3×0.94≈2.8m．
故解答为2.8m．
15．【答案】（1）证明：∵F为AC边中点，AD⊥BC，
∴DF为Rt△ADC斜边上的中线，
∴DF=CF，
∴∠FDC=∠ACD，
∵∠EGB=∠FDC，
∴∠ACD=∠EGB，
∴EG∥CF．
∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥BC，即EF∥CG，
∴四边形EFCG是平行四边形
（2）解：∵AD⊥BC，tanB=ADBD=45，tanC=ADDC=2，
∴设AD=4x，则BD=5x，CD=2x，
∴BC=7x=14，∴x=2，
∴CD=2x=4．
在▱EFCG中，∴CG=EF=12BC=7，
∴GD=CG−CD=3．
16．【答案】（1）解：在Rt△ACB中，
AB=ACcs60°=12m，
答：AB长12m．
（2）解：在Rt△ACB中，
BC=AC⋅tan60°=63m ，
在Rt△BCD中，
BD=BCsin37°=103m，
∴CE=BD−BA=103−12m，
答：物体上升的高度CE为103−12m．
17．【答案】（1）解：∵直径CD=16cm，
∴OD=8cm.
∵A，B，O在同一水平面上，A到桌面的高为18cm，
∴OH=18cm，
∴DH=OH−OD=18cm−8cm=10cm
（2）解：过点D作DM⊥OH交OH于点M（如图）
∵DM⊥OH
∴∠OMD=90°
∵∠COM=160°
∴∠ODM=70°
∵OD=8cm，sin∠ODM=OM:OD
∴OM=OD×sin∠ODM=8×0.94≈7.5cm
∴镜面上的点到桌面的最短距离
（即MH）=OH−OM=18−7.5=10.5cm
18．【答案】解：由题意得，四边形ACDB，ACEN为矩形，
∴EN=AC=1.5，AB=CD=15，
在Rt△MED 中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，
∴∠EMD＝∠MDE＝45°，∴ME＝DE，
设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，
在Rt△MEC 中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，
∵ME=EC⋅tan∠MCE ，
∴x≈0.7(x+15) ，
∴x≈35 ，
∴ME≈35 ，
∴MN=ME+EN≈36.5 ，
∴人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米
19．【答案】（1）解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∵∠BAD=30°
∴∠ABC=90°−30°=60°
（2）解：在RtΔABD中，
∵∠BAD=30°, AD=120m
∴BD=AD⋅tan30°=120×33=403m
在Rt△ACD中，
∵∠CAD=60°, AD=120m,
∴CD=AD⋅tan60°=120×3=1203m
∴BC=BD+CD=403+1203=1603(m)